4.3考点1三角函数的单调性练习题

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（2018·江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解析】（1）如图，设PO的延长线交MN于点H，则PH⊥MN，
所以OH＝10.
过点O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，
故OE＝40cs θ，EC＝40sin θ，
则矩形ABCD的面积为2×40cs θ·（40sin θ＋10）
＝800（4sin θcs θ＋cs θ），
△CDP的面积为
12×2×40cs θ（40－40sin θ）
＝1 600（cs θ－sin θcs θ）．
过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10.
令∠GOK＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈0,π6.
当θ∈θ0,π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sin θ的取值范围是14,1.
答 矩形ABCD的面积为800（4sin θcs θ＋cs θ）平方米，△CDP的面积为1 600（cs θ－sin θcs θ）平方米，sin θ的取值范围是14,1.
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k＞0），
则年总产值为4k×800（4sin θcs θ＋cs θ）＋3k×1 600（cs θ－sin θcs θ）
＝8 000k（sin θcs θ＋cs θ），θ∈θ0,π2.
设f（θ）＝sin θcs θ＋cs θ，θ∈θ0,π2，
则f′（θ）＝cs2θ－sin2θ－sin θ＝－（2sin2θ＋sin θ－1）
＝－（2sin θ－1）（sin θ＋1）．
令f′（θ）＝0，得θ＝π6，
当θ∈θ0,π6时，f′（θ）＞0，所以f（θ）为增函数；
当θ∈π6,π2时，f′（θ）＜0，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ＝π6时，f（θ）取到最大值．
答 当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】见解析
（2018·天津卷（文））将函数y＝sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间-π4,π4上单调递增
B．在区间-π4,0上单调递减
C．在区间π4,π2上单调递增
D．在区间π2,π上单调递减
【解析】将函数y＝sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度，得到y＝sin2x-π10)+π5＝
sin 2x的图象．
由2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π4≤x≤kπ＋π4，k∈Z，
所以函数y＝sin 2x的单调递增区间为kπ－π4,kπ+π4，k∈Z.取k＝0，得y＝sin 2x在区间-π4,π4上单调递增．
故选A．
【答案】A
（2018·全国Ⅱ卷（文））若f（x）＝cs x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A．π4
B．π2
C．3π4
D．π
【解析】∵f（x）＝cs x－sin x＝－2sinx-π4，
∴当x－π4∈-π2,π2，即x∈-π4,3π4时，
y＝sinx-π4单调递增，
f（x）＝－2sinx-π4单调递减，
∴-π4,3π4是f（x）在原点附近的单调减区间，
结合条件得[0，a]⊆ -π4,3π4，
∴a≤3π4，即amax＝3π4.
【答案】C