人教版四年级下册5 三角形综合与测试教学设计及反思

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知识点一：三角形的特性
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标
3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
知识点二：三角形的分类
1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。
3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念）
4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是特殊的等腰三角形
知识点三：三角形的内角和
1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。
（2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。
并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。
（3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成
（平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。
（4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。
（5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。
（6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。
至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。
至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。
至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。
至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。
（7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。
密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形
【易错典例1】下面三组小棒，不能围成三角形的是（ ）
A．B．C．
【易错知识点分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【完整解答】A、因为3+3＞5，所以能围成三角形；
B、因为4+4＞4，所以能围成三角形；
C、因为3+3＝6，所以不能围成三角形；
故选：C．
【考察知识点】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答．
【易错典例2】一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米． ．（判断对错）
【易错知识点分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【完整解答】4﹣4＜第三边＜4+4
即0＜第三边＜8，所以一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米，说法错误；
故答案为：×．
【考察知识点】解答此题的关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答即可．
【易错典例3】有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、3厘米、4厘米、6厘米，可以摆成几种不同的三角形？请你列举出来．
【易错知识点分析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此解答．
【完整解答】根据分析知，共有以下情况，
①3厘米，3厘米，3厘米；
②3厘米，3厘米，4厘米；
③3厘米，4厘米，6厘米；
答：一共可以拼成3个不同的三角形．
【考察知识点】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．
【易错典例4】一个三角形，如果它的两个内角度数之和等于第三个内角的度数，那么这个三角形是（ ）三角形．
A．锐角B．直角C．钝角
【易错知识点分析】三角形的内角和等于180°，如果它的两个内角的度数之和等于第三个内角的度数，那么第三个内角就是最大角，是三角形内角和的一半，然后根据三角形的分类进行解答．
【完整解答】这个三角形中的最大角是：
180°÷2＝90°，
90°的角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形．
故选：B．
【考察知识点】本题的关键是求出三角形的最大角，然后根据三角形的分类确定其形状．
【易错典例5】求出下面各角的度数．
（1）∠C＝ （2）∠C＝ （3）∠B＝ ．
【易错知识点分析】因为三角形的内角和是180度，所以用180度，减去已知的两个角的度数，即可求出三角形的第三个角的度数，据此即可解答问题．
【完整解答】（1）180°﹣60°﹣65°＝55°
（2）180°﹣20°﹣145°＝15°
（3）180°﹣90°﹣50°＝40°
故答案为：55°，15°，40°
【考察知识点】此题考查了三角形内角和定理的实际应用．
考点1：三角形的特性
1．把一根14厘米长的吸管剪成3段，围成一个三角形，能围成（ ）种不同的三角形。（边长取整厘米数）.
A．3B．4C．5
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
解：围成的三角形为：
①2、6、6；
②3、4、5；
③3、5、6；
④4、4、6；
⑤4、5、5。
共5种；
故选：C。
【考察知识点】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。
2．下面（ ）组的三条线段能围成一个三角形．
A．0.5cm、1cm、3cmB．1cm、2.5cm、3cm
C．2cm、2cm、4cm
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
解：A、0.5+1＜3，所以不能围成三角形；
B、1+2.5＞3，所以能围成三角形；
C、2+2＝4，所以不能围成三角形；
故选：B．
【考察知识点】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
3．有两根6厘米的小棒，如果再添一根小棒围城一个三角形，则这根小棒一定小于 12 厘米．
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
解：6+6＞第三边，即第三边小于12厘米；
故答案为：12．
【考察知识点】此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．
4．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，这个直角三角形互相垂直的两条边的长度分别是 3 厘米和 4 厘米．
【思路引导】在直角三角形里，斜边最长，剩下2条边就是直角边，据此解答即可．
解：由分析得出：5厘米长的边是斜边，3厘米和4厘米长的边是直角边，互相垂直，
所以这个直角三角形互相垂直的两条边的长度分别是3厘米和4厘米．
故答案为：3，4．
【考察知识点】解决本题的关键是明确在直角三角形里，斜边最长．
5．一个三角形的两条边分别是8厘米和12厘米，第三条边必须比 20 厘米短，比 4 厘米长．
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
解：12﹣8＜第三边＜12+8
所以4＜第三边＜20
即第三边在4厘米～20厘米之间（不包括4厘米和20厘米），
即第三条边必须比20厘米短，比4厘米长．
故答案为：20，4．
【考察知识点】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
6．从三角形的一个顶点到它的对边作一条 垂线 ， 顶点和垂足 之间的线段叫做三角形的高．由三条 线段首尾相连 的图形叫做 三角形 ．三角形 任意两边 之和要大于第三边．
【思路引导】根据三角形的意义、三角形的高、三角形的底、三角形高的条数、以及三角形的特征和特性，解答即可．
解：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．这条对边叫做三角形的底．由三条线段首尾相连的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形．三角形任何两边之和要大于第三边．
故答案为：垂线；顶点和垂足；线段首尾相连；三角形；任何两边．
【考察知识点】此题考查了三角形的特征，注意平时基础知识的积累．
7．用如图的三根小棒可以围成一个三角形。 × （判断对错）
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
解：2+4＝6，
所以用三根长度分别为2厘米、4厘米和6厘米的小棒不可以围成一个三角形，说法错误；
故答案为：×。
【考察知识点】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。
8．一个三角形两边分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于多少厘米？同时小于多少厘米？
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
解：9﹣6＜第三边＜9+6，
即3厘米＜第三边＜15厘米．
答：第三条边的长度一定大于3厘米，同时小于15厘米．
【考察知识点】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
9．有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．
【思路引导】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此解答．
解：根据分析知，共有以下情况，
①2厘米，3厘米，4厘米；
②3厘米，4厘米，5厘米；
③2厘米，4厘米，5厘米；
答：一共可以拼成3个不同的三角形，分别为2厘米，3厘米，4厘米；3厘米，4厘米，5厘米；2厘米，4厘米，5厘米．
【考察知识点】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．
10．王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图．选用其中的部分小棒搭成一个长方体．
（1）长方体一共有 12 条棱，每组相对的棱有 4 条，
因此，不可能选用 8 cm的小棒．
（2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是 5 cm、 4 cm和 4 cm．
（3）计算这个长方体的表面积．
【思路引导】（1）（2）根据长方体的特征即可求解；
（3）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．
解：（1）长方体一共有 12条棱，每组相对的棱有 4条，
因此，不可能选用 8cm的小棒．
（2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、4cm和 4cm．
（3）（5×4+5×4+4×4）×2
＝（20+20+16）×2
＝56×2
＝112（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是112平方厘米．
故答案为：12，4，8；5，4，4．
【考察知识点】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
11．求下面三角形中其中一条边长的可能取值（整厘米数）
【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
解：5﹣4＜第三边＜5+4，
1＜第三边＜9，（不包括1厘米和9厘米）
所以第三条边的长度可能是 2、3、4、5、6、7、8厘米．
故第三边的长度为5厘米
12﹣7＜另一条边＜12+7
5＜另一条边＜19（不包括5厘米和19厘米）
所以另一条边的长度可能是6、7、8、9、10、1112、13、14、15、16、17、18厘米．
故另一条边最长应是18厘米
故答案为：
【考察知识点】根据三角形的特性确定第三条边的取值范围是完成本题的关键．
考点2：三角形的分类
12．一个三角形中每个角都不小于60°，它是一个什么三角形？（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形C．不能确定
【思路引导】由题意“一个三角形的三个内角都不小于60度”可知：如果三个内角都大于60°，则内角和大于180°，这与三角形的内角和是180°相矛盾，所以该三角形的三个内角都等于60°，则这个三角形一定是等边三角形。
解：由分析知：一个三角形的三个内角都不小于60度，即都等于60°，这个三角形一定是等边三角形。
故选：B。
【考察知识点】此题考查了三角形的分类及三角形的内角和是180度。
13．三角形按角分，可分为（ ）三角形．
A．等腰、等边 B．锐角、直角、钝角C．不确定
【思路引导】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，进而解答即可。
解：三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
故选：B。
【考察知识点】此题考查了三角形的分类。
14．分类填一填。
（1）锐角三角形有 ①⑨ ，直角三角形有 ③⑥⑧ ，钝角三角形有 ⑤⑩⑫ ，等腰三角形有 ⑧⑨⑫ 。
（2）平行四边形有 ②④ ，梯形有 ⑦⑪ ，等腰梯形有 ⑦ 。
【思路引导】（1）根据三角形的分类，解答第一小题即可。
（2）根据平行四边形、梯形和等腰梯形的特征，解答第二小题即可。
解：（1）锐角三角形有①⑨，直角三角形有③⑥⑧，钝角三角形有⑤⑩⑫，等腰三角形有⑧⑨⑫。
（2）平行四边形有②④，梯形有⑦⑪，等腰梯形有⑦。
故答案为：①⑨；③⑥⑧；⑤⑩⑫；⑧⑨⑫；②④；⑦⑪；⑦。
【考察知识点】熟练掌握平面图形的特征。
15．（1）在一个三角形中，有一个角的度数是101度，这是 钝角 三角形．
（2）如果有两个角的度数相同，是一个 等腰 三角形．
（3）如果其中一个角是90度，是一个 直角 三角形．
【思路引导】①依据钝角三角形的意义可知：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
②如果有两个角的度数相同即这个三角形的两条边相等，根据两条边相等的三角形是等腰三角形即可解答；
③依据直角三角形的意义，如果一个三角形其中一个角是90度，它是一个直角三角形．
解：（1）在一个三角形中，有一个角的度数是101度，这是 钝角三角形；
（2）如果有两个角的度数相同，是一个 等腰三角形；
（3）如果其中一个角是90度，是一个 直角三角形；
故答案为钝角，等腰，直角．
【考察知识点】考查了学生是否掌握三角形的分类，记住钝角三角形、直角三角形和锐角三角形的概念是解答此题的关键．
16．在一个三角形中，最小的角是59度，这个三角形按角分是 锐角 三角形。
【思路引导】根据三角形的内角和是180°，另外两角的和＝180°﹣59°＝121°，然后进行假设，进而得出结论．
解：另外两角的和＝180°﹣59°＝121°
假设一个角是90°，则另外一个角的度数小于59°，这与题干“一个三角形最小的内角是50°”相违背，
所以另外两个角都应小于90°，这个三角形应该是一个锐角三角形。
故答案为：锐角。
【考察知识点】此题主要考查三角形的分类及三角形的内角和公式。
17．只看三角形的一个角，不一定能判断它是什么三角形。 √ （判断对错）
【思路引导】如果这个角大于或等于90°，就可以判定是钝角或者直角三角形；如果小于90°，则不能；进而得出结论。
解：由分析知：只看三角形的一个角，不一定能判断出它是什么三角形。
故答案为：√。
【考察知识点】此题考查的是三角形的分类，应根据具体情况进行分析解答。
18．如果一个三角形中最大的角小于90度，那么这个三角形一定是锐角三角形． √ （判断对错）
【思路引导】因为三角形中最大的一个角小于90度，是锐角，说明三个角都是锐角，根据锐角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形，是锐角三角形；据此判断即可．
解：三角形中最大的一个角是锐角，说明三个角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，说法正确；
故答案为：√．
【考察知识点】此题应根据锐角三角形的含义进行判断、进而得出结论．
19．梳理多边形的有关知识，探索并完成实践。
（1）用你喜欢的方式，表示出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的关系。
（2）根据特点表示出长方形、正方形、和平行四边形之间的关系。
【思路引导】（1）锐角三角形、钝角三角形、直角三角形是平等关系；
（2）长方形、正方形、和平行四边形是包含关系。
解：（1）
（2）平行四边形
【考察知识点】根据各图形的特征解答此题即可。
20．分一分，将正确答案的序号填在括号内．
【思路引导】根据三角形按照角的大小分类情况，三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此进行判断即可．
解：锐角三角形：①④⑦
直角三角形：②⑧
钝角三角形：③⑤⑥
故答案为：
【考察知识点】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类的情况及应用，要熟悉各类三角形的判定条件．
21．认一认，写出下面的三角形是哪一类三角形．
【思路引导】锐角三角形：三个角都小于90°；直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°；钝角三角形：有一个角大于90°，由此解答即可。
解：
故答案为：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形。
【考察知识点】本题考查了三角形按角进行分类。
22．下面3个三角形被盖住了一个或两个角，你能知道各是什么三角形吗？
【思路引导】根据三角形按角分类的特征可知，三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，解答即可．
解：观图可知：第一个三角形有一个角是直角，所以是直角三角形，
第二个三角形有一个角是钝角，所以是钝角三角形
第三个三角形有2个角是锐角，并且和大于90°，所以是锐角三角形；
故答案为：
【考察知识点】正确理解锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义是解决此题的关键．
考点3：三角形的内角和
23．已知图中的三角形是等腰三角形，那么∠1是（ ）°．
A．25B．145C．120D．130
【思路引导】已知等腰三角形的顶角是130°，根据等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和是180°可求得等腰三角形的一个底角是（180°﹣130°）÷2＝25°，由于等腰三角形的一个底角和∠1、35°的角组成一个平角（180°），所以可求得∠1＝180°﹣25°﹣35°＝120°；据此解答。
解：（180°﹣130°）÷2
＝50°÷2
＝25°
∠1＝180°﹣25°﹣35°＝120°
答：∠1是120°。
故选：C。
【考察知识点】本题考查了三角形内角和定理，关键是熟悉平角等于180°，等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和是180°。
24．下面各组中的三个角不可能在同一个三角形内的是（ ）
A．35°、65°和80°B．50°、50°和 100°
C．30°、60°和 90°
【思路引导】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
解：因为50°+50°+100°＝200°≠180°
所以选项B中的三个角不可能在同一个三角形内。
故选：B。
【考察知识点】熟练掌握三角形的内角和定理。
25．如图：
∠A＝ 42° ．∠D＝ 115° ．
【思路引导】（1）根据平角的意义，180°的角是平角，∠ACB＝180°﹣80°＝100°，三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去∠B再减去∠C就是∠A的度数。
（2）四边形的内角和是360°，用四边形的内角和减去已知的三个角的度数就是∠D的度数。
解：（1）∠A＝180°﹣38°﹣（180°﹣80°）
＝142°﹣100°
＝42°
（2）∠D＝360°﹣（90°+40°+115°）
＝360°﹣245°
＝115°
故答案为：42°、115°。
【考察知识点】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和、四边形的内角和、平角的意义及应用。
26．如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是 65 度．原来这张纸片的形状是 锐角 三角形，也是 等腰 三角形．
【思路引导】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去已知的两个角的度数就是被撕去的那个角的度数。再根据三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按照边的长度可以分为等腰三角形（等边三角形）和不等边三角形。据此确定这个三角形属于哪一种三角形。
解：180°﹣50°﹣65°＝65°
三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；因为有两个角的度数相等，所以这个三角形属于等腰三角形。
故答案为：65、锐角、等腰。
【考察知识点】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用，以及三角形按照角的大小分类情况、按照边的长度分类情况及应用。
27．求三角形中∠1的度数．
【思路引导】根据三角形内角和等于180°，此题知道三个角中的两个角，用减法可以求出另一个角．
解：（1）∠1＝180°﹣35°﹣35°＝110°
（2）∠1＝180°﹣90°﹣28°＝62°
（3）∠1＝180°﹣27°﹣68°＝85°
故答案为：110°；62°；85°．
【考察知识点】熟练掌握三角形的内角和定理是解决此题的关键．
28．（1）在三角形中，已知∠1＝53°，∠2＝27°，求∠3．
（2）等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是多少度？它又是什么三角形？如果顶角是40°呢？
【思路引导】（1）根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，∠1、∠2的度数已知，据此即可求∠3的度数．
（2）根据等腰三角形的特征，两个底角度数相等，再根据三角形内角和定理即可求出这个等腰三角形的顶角，根据顶角度数、三角形按角分类即可确定这个三角形按角分类属于什么三角形．根据前面所述可知，用180°减顶角的度数再除以2就是底角的度数，然后再确定它按角分属于什么三角形．
解：（1）∠3＝180°﹣53°﹣27°＝100°
答：∠3是100°．
（2）①180°﹣40°﹣40°＝100°
答：它的顶角是100°，它是钝角三角形．
②（180°﹣40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
答：如果顶角是40°，它是锐角三角形．
【考察知识点】此题考查的知识有：三角形的内角和定理、等腰三角形的特征、三角形的分类等．三
角
形
最短边的长度
最长边的长度
第三边的长度
4厘米
5厘米
7厘米
12厘米
三
角
形
最短边的长度
最长边的长度
第三边的长度
4厘米
5厘米
5厘米
7厘米
18厘米
12厘米