数学11.2.2 三角形的外角复习练习题

人教版2021年八年级上册：11.2.2三角形的外角 课时训练

一．选择题

1．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°

2．如图，在△ABC中，∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，则∠C的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（　　）

A．30° B．40° C．60° D．70°

4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　）

A．35° B．95° C．85° D．75°

6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°

二．填空题

7．如图，根据三角形的有关知识可知图中的x的值是　   　．

8．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为　    　．

9．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为　     　．

10．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝　    　度．

11．将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为　     　．

12．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝　   　°．

三．解答题

13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．

14．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数．

15．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．

16．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．

17．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．

18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

参考答案

一．选择题

1．解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．

故选：B．

2．解：∵∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，

∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，

故选：A．

3．解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，

∴∠1＝∠A＝70°，

∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，

∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．

故选：A．

4．解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，

∴∠1+∠2+∠3＝360°，

∵∠1＝∠2＝145°，

∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，

故选：B．

5．解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，

∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，

∵∠ACD＝∠B+∠A，

∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，

故选：C．

6．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，

∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，

∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，

∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，

∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，

∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，

∵∠PBC＝20°，

∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，

∴∠A+∠P＝90°，

故选：C．

二．填空题

7．解：根据三角形的外角性质得：x+80＝x+20+x，

解得：x＝60，

故答案为：60．

8．解：由题意得：∠B＝30°，∠A＝45°，

∵∠1＝90°，

∴∠A+∠3＝90°，

∴∠3＝45°，

∴∠4＝45°，

∵∠B＝30°，

∴∠2＝45°+30°＝75°，

故答案为：75°．

9．解：延长DC交AB于E，

∠CEB是△ADE的一个外角，

∴∠CEB＝∠A+∠D，

同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，

∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝150°，

故答案为：150°．

10．解：在△ABD中，

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，

∴∠BHC＝90°+35°＝125°．

11．解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°，

∴∠CAB＝120°，

∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°．

故答案为：165°．

12．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，

∴∠CBP＝∠ABP＝15°，

∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，

∴∠PCM＝∠ACP＝50°，

∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，

故答案为：35．

三．解答题

13．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．

因为∠BAC＝63°，

所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，

所以x＝39°；

所以∠3＝∠4＝78°，

∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．

14．解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，

∴∠ECD＝∠B+∠E＝55°．

∵CE是∠ACD的平分线，

∴∠ACE＝∠ECD＝55°．

∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°．

15．解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝35°，

∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．

16．解：∵∠A＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，

∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，

∵BP、CP是△ABC的外角平分线，

∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，

∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．

17．解：∵AD是高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，

∴∠BAC＝54°，

∴∠MAC＝126°，

∵AE是∠BAC外角的平分线，

∴∠MAE＝∠MAC＝63°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠ABC＝23°，

∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．

18．（1）解：∵∠A＝80°．

∴∠ABC+∠ACB＝100°，

∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，

∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，

（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，

∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）

＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）

＝（180°+∠A）

＝90°+∠A

∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；

（3）延长BC至F，

∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，

∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，

∴∠ACF＝2∠ECF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠EBC，

∵∠ECF＝∠EBC+∠E，

∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，

即∠ACF＝∠ABC+2∠E，

又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，

∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；

∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ

＝∠ABC+∠MBC

＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．

如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：

①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；

②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；

③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；

④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．

综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．