2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区九上期末数学试卷
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- 一元二次方程 的解为
A． B． C． D．
- 如图，在 中，，，，，则下列三角函数表示正确的是
A． B． C． D．
- 关于反比例函数 ，下列说法正确的是
A．图象过 点
B．图象在第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时， 随 的增大而增大
- 如图，，， 是 上的三点，已知 ，则
A． B． C． D．
- 抛物线 的顶点为
A． B． C． D．
- 如图，， 两点在双曲线 上，分别经过 ， 两点向轴作垂线段，已知 ，则
A． B． C． D．
- 我校图书馆三月份借出图书 本，计划四、五月份共借出图书 本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为 ，则根据题意列出的方程是
A．
B．
C．
D．
- 若点 ，， 在抛物线 上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
- 如图， 是 的直径，弦 于点 ，，，则
A． B． C． D．
- 二次函数 的图象如图所示，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D． 有两个不相等的实数根
- 若 是一元二次方程 的一个根，则 的值为 ．
- 如果反比例函数 在各自象限内 随 的增大而减小，那么 的取值范围是 ．
- 若抛物线 的对称轴是 轴，则 ．
- 如图， 内接于 ， 为直径，若 ，则 度．
- 计算题．
(1) 计算：；
(2) 解方程：．
- 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值．
- 如图，小明家的窗口到地面的距离 米，他在 处测得正前方花园中树木顶部 点的仰角为 ，树木底部 点的俯角为 ，求树木 的高度．（参考数据：，，）
- 如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 为它的顶点，求 的面积．
- 如图，一次函数 与反比例函数 图象在第一象限交于 ， 两点， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，连接 ，过 作 轴，垂足为 ．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 在射线 上是否存在一点 ，使得 是直角三角形，求出所有可能的 点坐标．
- 如图， 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于 ，过点 作 于 ，交 于 ，连接 ，．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的长．
- 如图，已知 的半径为 ，弦 垂直平分半径 ，与 围成阴影部分，则 ．
- 二次函数 上一动点 ，当 时， 的取值范围是 ．
- 已知关于 的方程 的两根分别是 ，，则 的最小值是 ．
- 如图 ，点 在第一象限， 轴于 点，连接 ，将 折叠，使 点落在 轴上，折痕交 边于 点，交斜边 于 点，
（）若 点的坐标为 ，当 时，点 的坐标是 ；
（）若 与原点 重合，，双曲线 的图象恰好经过 ， 两点（如图 ），则 ．
- 如图直线 与 轴、 轴分别交于点 ，， 是 的中点，点 在直线 上，以 为直径的圆与直线 的另一交点为 ，交 轴于点 ，，已知 ，，则 的长是 ．
- 随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析研究表明：当 时，车流速度 （千米/小时）是车流密度 （辆/千米）的一次函数．当该道路的车流密度达到 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 千米/小时；当车流密度为 辆/千米时，车流速度为 千米/小时．
(1) 当 时，求车流速度 （千米/小时）与车流密度 （辆/千米）的函数关系式；
(2) 为使该道路上车流速度大于 千米/小时且小于 千米/小时，应控制该道路上的车流密度在什么范围内？
(3) 车流量（辆/小时）是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数，即：车流量 车流速度 车流密度．当 时，求该道路上车流量 的最大值．此时车流速度为多少？
- 如图所示，以 的边 为直径作 ，点 在 上， 是 的弦，，过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 交 的延长线于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 求证：；
(3) 若 ，，求 的长．
- 如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，交 轴于 ， 两点，连接 ，，已知 ，．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 为 轴右侧抛物线上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，问：是否存在点 ，使得以 ，， 为项点的三角形与 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 设 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒一个单位速度运动到 点，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，当点 的坐标是多少时，点 在整个运动中用时最少？
答案
1. 【答案】A
【解析】 ，
，
，即 ．
2. 【答案】A
【解析】在 中，，，，，则
A．，所以本选项正确；
B．，所以本选项错误；
C．，所以本选项错误；
D．，所以本选项错误．
3. 【答案】D
【解析】根据反比例函数 的图象， 时位于第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小； 时位于第二、四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大；在不同象限内， 随 的增大而增大．可由 ，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内 随 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A，B，C错误．
4. 【答案】C
【解析】同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，
与 是同弧所对的圆心角与圆周角，，
．
5. 【答案】C
6. 【答案】D
【解析】 点 ， 是双曲线 上的点，分别经过 ， 两点向 轴、 轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于 ，
．
7. 【答案】B
【解析】三月份借出图书 本，
四月份共借出图书量为 ，
五月份共借出图书量为 ，
则 ．
8. 【答案】C
【解析】 时，；
时，；
时，．
，
．
9. 【答案】A
【解析】 弦 于点 ，，
．
在 中，，，
，
．
10. 【答案】D
【解析】A．抛物线开口向下，则 ，故本选项错误；
B．由于对称轴在 轴右侧，则 ， 异号，而 ，则 ，故本选项错误；
C．因为二次函数对称轴是直线 ，所以 ，故本选项错误；
D．抛物线与 轴有 个交点，故 有两个不相等的实数根，所以本选项正确．
11. 【答案】
【解析】把 代入 ，得：，解得：．
12. 【答案】
【解析】 反比例函数 在各自象限内 随 的增大而减小，
，解得：．
13. 【答案】
【解析】根据题意，得：，解得：．
14. 【答案】
【解析】 为直径，
，
，
，
．
15. 【答案】
(1)
(2)
16. 【答案】由题意，得：，解得：．
17. 【答案】由题意， 米，则 米，
在 中， 米，，则 米，
在 中， 米，，
则 米．
米．
答：树木 的高度是 米．
18. 【答案】
(1) 设抛物线的解析式为：，
把 代入，得：，解得：，
抛物线的解析式为：，即 ．
(2) ，
抛物线的顶点 的坐标为 ，
过点 作 轴于点 ，如图，
则 ，
的面积 ．
19. 【答案】
(1) 点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的表达式为 ，
点 的纵坐标为 ，点 在反比例函数 图象上，
．
把点 ， 代入 中，
得： 解得：
一次函数的表达式为 ．
(2) 由于点 在射线 上，
．
①当 时，如图 ，
直线 的解析式为：，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入，得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，，
；
②当 时，设 ， 交于点 ，如图 ，
，， 轴，
，，
点 的坐标为 ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 ．
20. 【答案】
(1) 是 的切线，
，即 ，
，
，
，
，
，
；
(2) 是 的直径，，
，
，，
，
，
在直角 中，
，
设 ，，则由勾股定理得：，
，
，
．
21. 【答案】
【解析】 的半径为 ，弦 垂直平分半径 ，
，，，，
，，
，，
阴影部分的面积 ．
22. 【答案】
【解析】 抛物线的解析式是 ，
抛物线的对称轴是直线：，顶点坐标是 ，抛物线的开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
且当 时，；当 时，；
当 时，；当 时，，
当 时， 的取值范围是：．
23. 【答案】
【解析】 关于 的方程 的两根分别是 ，，
，，
，解得 ，
当 时， 的值最小，最小为 ．
故 的最小值是 ．
24. 【答案】 ；
【解析】（） 轴， 点的坐标为 ，
，，
，
，
轴，
，
由折叠的性质可得：，
，
，，
，
点 的坐标为：；
（）设点 的坐标为：，
与原点 重合，
点 的坐标为：，
双曲线 的图象恰好经过 ， 两点，
，
点 的坐标为：，
，，，
由折叠的性质可得：，
在 中，，即
在 中，，即
联立①②解得：，，
．
25. 【答案】
【解析】如图，设 的中点为 ，设直线 交直线 于 ，直线 交 轴于 ，作 于 ，连接 ，作 于 ， 于 ．
是 的直径，
，
直线 与 轴、 轴分别交于点 ，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
设 ，则 ，
，，
，
．
在 中，由勾股定理，得：．
解得：．
．
26. 【答案】
(1) 设车流速度 与车流密度 的函数关系式为 ，
由题意，得 解得：
当 时，．
(2) 由题意，得： 解得：，
应控制该道路上的车流密度在 范围内．
(3) 设车流量 与 之间的关系式为 ，
当 时，，
当 时，，此时 千米/时．
当车流密度是 辆/千米时，车流量 取得最大值是每小时 辆，此时车流速度是 千米/时．
27. 【答案】
(1) 连接 ，如图．
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 为直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
(3) ，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
28. 【答案】
(1) 把 ， 代入抛物线的解析式，
得： 解得：
抛物线的解析式为：．
(2) 存在点 ，使得以 ，， 为顶点的三角形与 相似．
联立 解得： 或
点 的坐标为 ．
，，，
，，，
，
是直角三角形，
，且 ；
过点 作 轴于 ，则 ．
设点 的横坐标为 ，由 在 轴右侧可得 ，则 ．
，，
．
若点 在点 的下方，
①如图 ①，当 时，则 ．
，，
，
，
，则 ，
把 代入 ，得 ，
解得：（舍去），（舍去）；
②如图 ②，当 时，则 ．
同理可得：，则 ，
把 代入 ，得 ，
解得：（舍去），，
；
若点 在点 的上方，
①当 时，则 ，
，
，
，则 ，
把 代入 ，得 ，
解得：（舍去），；
点 的坐标为 ．
②当 时，则 ．
同理可得：，则 ，
把 代入 ，得 ，
解得：（舍去），，
．
综上所述：满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
(3) 如图 ，过 作射线 轴，过 作射线 轴，
与 交于点 ， 与 交于点 ．
，，
，
，，
，
，
，
，
点 在整个运动中的用时为：，
即当 时， 取得最小值 ，
此时点 在整个运动中的用时最少，
抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，解得：，，
点坐标为 ，则 点横坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
．
即当点 的坐标为 时，点 在整个运动中用时最少．
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