人教版八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.3 整数指数幂教案

这是一份人教版八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.3 整数指数幂教案，共9页。教案主要包含了目标和目标解析，教学问题诊断分析，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
分式的运算 15.2.3 整数指数幂一、内容和内容解析1．内容整数指数幂的运算性质，用科学记数法表示小于1的正数．2．内容解析负整数指数幂的意义是通过同底数幂的除法法则和分式的约分得出的，从而将正整数指数幂的运算性质推广到全体整数．而推导过程采用的方法是从特殊情形入手，归纳概括出一般性结论，这一过程蕴含着从“特殊到一般”的数学方法．用科学记数法表示小于1的正数，是负整数指数幂的性质的重要应用．关键是弄清楚10的负整数次幂的次数与小数点的移动位数间的相互关系．由以上分析，确定本节课的教学重点是运用整数指数幂的运算性质进行计算，以及用科学记数法表示小于1的正数．二、目标和目标解析1．目标（1）了解负整数指数幂的意义．（2）了解整数指数幂的运算性质．（3）能用科学记数法表示小于1的正数．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能够叙述负整数指数幂的意义＝(a≠0，n是正整数)，并会运用它进行计算．达成目标(2)的标志是：学生能用文字语言和符号语言叙述整数指数幂的性质,并会运用它们进行计算．达成目标(3)的标志是：学生会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示小于1的正数．三、教学问题诊断分析在本节之前，学生已经学习过正整数指数幂和零指数幂，对于正整数的指数幂，还学习了5条运算性质，这些性质能否推广到全体整数指数幂？尤其是对于同底数幂的除法，要求被除式的指数要大于除式的指数.为了让学生更好地理解负整数指数幂的合理性，教学中从约分和同底数幂的除法两方面说明定义负整数指数幂的背景，以前曾规定，这里要求m＞n，为了使这一法则能适合于m＜n的情形，就需要定义＝(a≠0，n是正整数)，这样可以扩大原有的指数运算法则的适用范围．学生第一次接触负整数指数幂的运算，虽已有正整数指数幂的性质做基础，并能够迁移正整数指数幂的性质进行负整数指数幂的运算，但有时忘了把最终计算结果化成正整数指数幂．教学中可通过安排相应的练习让学生意识到有关幂的运算最终结果要化成正整数指数幂．学生在用科学记数法表示小于1的正数时，有时在10的指数中漏掉了负号．教学中可举出实例，让学生把一些大于10的正数和小于1的正数分别用科学记数法表示，通过比较发现区别，并加深印象． 基于以上分析，确定本节课的难点是负整数指数幂的意义的合理性和整数指数幂的性质应用． 四、教学过程设计1.复习回顾，引入新知正整数指数幂有以下运算性质：（1） （m,n是正整数）；（2）（m,n是正整数）；（3） （n是正整数）；（4）（a≠0,m,n是正整数，m＞n）；（5）（n是正整数）.其中，第（5）个性质就是分式的乘法法则.    此外，我们还学习过0指数幂，即当a≠0时， .  师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案．如果学生存在问题，教师可适时启发.设计意图：通过复习引入新课．          2．探索负整数指数幂的意义思考 中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂表示什么？（1）由分式的约分，当a≠0时，如何计算？（2）如果把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像的情形也能使用，如何计算？师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，交流自己的做法，激发学生探究新知的欲望．教师板书两种解法的过程(或结果)，通过比较两个结果发现：如果规定＝(a≠0)，就能使这条性质也适用于这样的情形．于是提出：为使上述运算性质适用范围更广，数学中规定：当n是正整数时，＝(a≠0)这就是说，(a≠0)是的倒数．设计意图：由旧知直接引出新知，让学生体会知识之间的联系及延伸，便于理解负整数指数幂意义的合理性，同时也可以更简便地表示分式．练习  填空：（1）＝____，＝____； （2）＝____， ＝____；（3）＝____，＝____(b≠0)．设计意图：巩固对负整数指数幂意义的认识．3．探索整数指数幂的性质问题3  引入负整数指数和0指数后，(m，n是正整数)这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？师生活动：教师提出问题，引发学生思考．教师可以适当引导学生从特殊情形入手进行研究.然后再用其他整数指数验证这个规律是否仍然成立．设计意图：通过推导，确认规律的正确性，从而归纳出这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．问题4  类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？师生活动：让学生用探究第一个性质的方法探究其他幂的运算性质，由学生进行推导，并归纳出结论：（1） （m,n是整数）；（2）（m,n是整数）；（3） （n是整数）；（4）（a≠0,m,n是整数，m＞n）；（5）（n是整数）.其中，第（5）个性质就是分式的乘法法则.设计意图：进一步体会从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法，并把幂的运算范围扩大到整数范围．4．整数指数幂性质的应用例9  计算：（1）；   （2）；  （3）；  （4）．师生活动：学生口述解题过程，教师板书．让学生明确负整数指数幂的运算方法与正整数指数幂是一致的，所不同的是最终结果要化成正整数指数幂．设计意图：这道例题是直接运用幂的运算性质进行计算，让学生经历应用性质进行计算的全过程．练习  计算：（1）；     （2）．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给与指导，解题过程可由学生进行评价．设计意图：让学生感受到学以致用，体会完整地解决问题后的喜悦，同时训练书面表达能力，巩固整数指数幂的性质．问题5  能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？师生活动：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，，因此，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法．特别地，，所以，，即商的乘方可以转化为积的乘方．这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1） （m,n是整数）；（2）（m,n是整数）；（3） （n是整数）.设计意图：让学生感受到由于负指数幂的引入，可以使除法转化为乘法、商转化为积(除以转化为乘)．5．用科学记数法表示小于1的正数（1）回顾科学记数法我们曾用科学记数法表示一些大于10的正数，即利用10的正整数次幂，把一个大于10的正数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，1≤a＜10．例如，0.000 025 7可以写成2.57×．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，即将它们表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，1≤a＜10．设计意图：类比较大正数的科学记数法的表示方法，引入较小正数的科学记数法的表示方法，完善科学记数法知识结构．追问2 观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？师生活动：学生独立思考后交流看法，师生共同寻找规律：对于一个小于1的正数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几．设计意图：让学生通过探索体会出：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示，而且这种形式更便于比较数的大小．例10  纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝ m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)？师生活动：教师提出问题，由学生独立思考，并讲解解题思路．首先需要将1 mm3和1 nm3的单位统一．由于1 mm＝10-3m ，1 nm＝10-9m，所以1 mm3＝(10-3)3 m3，1 nm3＝(10-9)3 m3，再做除法即可求解．设计意图：体会用科学记数法表示小于1的正数的简洁性．练习1．用科学记数法表示下列各数：0.000 001，  0.0012，  0.000 000 345，  0.000 000 0108．2．计算：（1）( 2×10-6 )×( 3.2×103 )；    （2）( 2×10-6 )2 ÷ (10-4 )3师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给与指导，解题过程可由学生进行评价．设计意图：让学生感受到学以致用，体会到能够完整地解决问题后的喜悦，同时训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．6．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容， 并请学生回答以下问题：本节课学习了哪些主要内容？（1）负整数指数幂：一般的，当 n 是正整数时，＝(a≠0，n是正整数)．（2）整数指数幂的运算性质：    ① （m,n是整数）；②（m,n是整数）；③ （n是整数）.（3）能用科学记数法表示小于1的正数．小于1的正数用科学记数法表示为 a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数 . 设计意图：通过小结，使学生掌握本节课的核心——整数指数幂的性质．引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．7．布置作业教科书第147页习题15.2第7，8，9题．五、目标检测设计1．填空（1）－22＝         ；(－2)2＝          ；(－2)0＝          ；（2）20＝          ；2-3＝           ；(－2)-3＝         ．（3）1 nm＝0.000 000 001 m，用科学记数法表示0.25 nm＝______m；1 m＝______nm．（4）用小数表示：3.14×10-4＝________；10-6＝________．设计意图：检测学生对负整数指数幂和零指数幂的性质的掌握情况．2．肥皂泡厚度约为0.000 000 7m，用科学记数法表示为(     ).（A）0.7×10-6 m      （B）0.7×10-7 m     （C）7×10-7 m     （D）7×10-6 m 3．计算(1)(x3y-2)2；      (2)x2y-2 ·(x-2y)3；       (3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3．设计意图：检测学生对负整数指数幂的性质的掌握情况．4．计算：(1)(3×103)2×(2×10-5)   (2)(4×10-2)2÷(2×103)-2设计意图：检测学生对科学记数法的掌握情况．说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第十五章第15.2节的内容，见教科书第142页至第146页.