2021学年15.1.1 从分数到分式教案设计

分式 

15.1   分式

一、内容和内容解析

1．内容

 分式和最简分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分．

2．内容解析

本节课是“分式”一章的起始课. 分式属于“数与代数”领域的“数与式”部分，它是在学生学习了整式的基础上学习的另一种刻画数量关系的代数式， 是整式和分数的延伸和拓广． 分式与分数具有类似的形式，类比小学学过的分数的知识来学习分式，从具体到抽象，从特殊到一般，有助于学生把握本章的内容，这样的学习过程对于培养学生良好的学习方法有指导作用．

“15.1分式”首先列式表示某些实际问题中的量，通过概括这些式子的共同特点，类比分数给出分式的概念.分式是不同于整式的另一类有理式，它更适合作为某些类型实际问题的数学模型.具有整式不可替代的特殊作用.分式的概念是建立在整式和分数概念的基础上的，是代数式中重要的基本概念．分式概念的学习同样要类比分数的概念．通过从实际问题抽象出分式概念的过程，体会分式可以表示更多的数量关系；通过分数的概念得到分式的概念.本节类比分数讨论要使分式有意义时分式中分母应满足的条件；类比分数的基本性质给出分式的基本性质，在此基础上，类比分数讨论分式的约分、通分等分式变形，本节内容是全章的理论基础.

本节课的教学重点是：了解分式的概念，掌握并能利用分式的基本性质进行约分和通分．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式.

(2)类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.

(3)探究分式的基本性质和分式的约分与通分的过程中，体会类比的数学思想方法.

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：学生能够认识并找出分式及能够确定什么条件下分式有意义.

达成目标(2)的标志是：会找分子分母的公因式能将分式化简为最简分式；能准确确定分母的最简公分母，并能够正确通分．

达成目标(3)的标志是：本节课的教学是在学生学习了分数基础之上，创设情境，产生认知冲突，引导学生开展观察、类比等探究活动，在活动中向学生渗透从特殊到一般的类比的思想.

三、教学问题诊断分析

学生已经学习过分数的约分和通分，对于分式的约分和通分理解要相对容易一点.学生在约分的时候，找分子和分母的公因式时容易找漏，并且最后结果总是忘记化简到最简分式，当分子分母是多项式时，还要先进行因式分解再进行约分.分式的通分与分式的约分相同，都是重要的分式变形，是学生必须掌握的知识.它是学习分式的加减运算的前提和基础，是分式加减运算的关键，有着不可替代的重要作用.分式的通分的依据仍然是分式的基本性质．

分式的通分的关键在于确定最简公分母．确定最简公分母的基本思路是取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积，作为最简公分母；若分母是多项式，则先将各分母分解因式，然后确定最简公分母．分式的通分的学习可以类比分数的通分，体现类比的数学思想和数式通性．

学生确定最简公分母有点困难，尤其在通分的时候，会出现分子分母漏乘的情况.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是能准确找到分子和分母的公因式进行约分及准确确定分式的最简公分母来进行通分．

四、教学过程设计

1．引入新知

章引言:　

 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？

师生活动：教师以本章开头的实际问题引入提问，学生思考并回答问题.教师通过问题的设置引导学生列式，学生回答，教师补充.

设计意图：通过具体实例，建立实际背景，用实际问题的形式引导出今天要学习的内容—分式.

2. 探索新知

思考  填空：

（1）长方形的面积为 10 cm2，长为 7 cm，则宽为      cm；长方形的面积为S，长为a，则宽为         .

（2）把体积为 200 cm3 的水倒入底面积为 33 cm2 的圆柱形容器中，则水面高度为        cm；把体积为V 的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为          .   

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答问题，学生回答完毕，教师订正.

设计意图：填空题由数到式，让学生从式子的形式上进行观察，寻找它们的共同点.

思考  式子以及引言中的式子，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？   

可以发现，这些式子与分数一样都是的形式.分数的分子与分母都是整数，而这些式子中的与都是整式，并且中都含有字母.    

一般地，如果,表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，叫做分子，叫做分母.

师生活动：通过前面的引言和填空，教师引导学生总结出分式的定义，如果学生没有思路，教师适当点拨.

设计意图：通过分式与分数的类比，渗透类比的思想，抽象出分式的概念，培养合情的推理能力.

练习　下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧.

师生活动：教师展示练习，学生独立思考并回答，教师分析并加以订正.

设计意图：巩固分式的概念，并强化分式与整式的区别，虽然都存在分母，但要观察分母中是否含有字母.

思考  我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？  

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义.     

例1　下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

（1）；（2）；（3）；（4）.

师生活动：教师引导学生类比分数，由学生总结要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件，并展示例1，学生自主完成，教师加以订正.  

设计意图：巩固分式的概念，并强化分式与整式的区别，虽然都存在分母，但要观察分母中是否含有字母.

问题　下列分数是否相等？

追问　这些分数相等的依据是什么？

分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.

思考　类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？

分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．

上述性质可以用式子表示为   ，，其中,,是整式.

师生活动：学生根据教师提出的问题进行回答，教师分析并加以订正并得出分式的基本性质.

设计意图：再次通过分式与分数的类比，渗透类比的思想，总结出分式的基本性质，培养合情的推理能力.

例 2   填空：

（1）， ；（2），.

师生活动：教师展示教材例2，学生自主完成，教师加以指导订正.   

设计意图：巩固分式的基本性质，为后面学习约分和通分打好基础.

3. 深入探索

思考  联想分数的约分，由例2你能想出如何对分式进行约分吗？               

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．

分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式.

例 3   约分：

（1）；（2）；（3）.

师生活动：教师带领学生一起完成，教师边提问边分析，学生回答.

设计意图：为约分，要先找出分子分母的公因式，这是约分的第一步.之后才能正确地进行约分.学生能否找到公因式，主要看两个方面，一方面是系数，一方面是分子分母的相同因式.强调如果分子或分母是多项式，先分解因式有助于进行约分.

思考  联想分数的通分，由例2你能想出如何对分式进行通分吗？     

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

追问1:　你认为分式通分的关键是什么？

分式通分的关键是确定分式各分母的公分母.

追问2:　上面问题中的分式与的公分母是什么？

为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.

与的最简公分母是.

师生活动：学生思考讨论，教师点拨.

设计意图：联想分数的通分和例2，让学生自己思考，通过类比得到分式的通分，感受数学的类比思想.

例 4   通分：

（1）与；（2）与.

师生活动：学生思考讨论，教师点拨.

设计意图：学生先进行思考讨论，在脑海里形成一个大致的思路想法，再由教师带领着学习，可以加深学生对新知识的印象.

思考  分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？

分数和分式在约分和通分上分别依据分数的基本性质和分式的基本性质，它们具有一致性，这也可以说是数式通性.

师生活动：教师带领学生一起进行总结归纳.

设计意图：根据数式通性的原则进行小结，使知识融会贯通.

4. 应用新知

满足什么条件时下列分式有意义？

（1）；（2）.

下列各式对不对？如果不对，写出正确答案.  

（1）；（2）.

    练习

（1）当为       时，分式的值为0；

（2）当为                时，分式的值为0.

师生活动：学生独立思考并讨论，完成后由学生进行讲解,教师加以指导订正.  

设计意图：这三道题目是对本节课所学内容的巩固练习，加深对知识的印象.第二题要先判断对错，然后改错.这可以从正反两方面加深对分式约分的认识，预防常见错误；第三题要在分式有意义的条件下考虑分式何时为0，这既需要解方程又需要考虑所得的方程的解是否使分式有意义.

5. 归纳总结

（1）你能举例说明什么是分式吗？如何确定分式有意义的条件？ 

（2）分式的约分和通分的依据是什么？

（3）运用分式的基本性质时应注意什么？

（4）探究分式的基本性质和分式的约分与通分的过程，你认为主要体现的数学思想方法是什么？

师生活动：教师与学生一起回顾本节课所学的内容.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心———分式的基本性质及分式的约分与通分.

6. 布置作业

1. 教科书第132页练习第1，2题．

2. 教科书第133页习题15.1第2，3题．

五、目标检测设计

1．约分：

（1）；（2）；（3）；（4）.

设计意图：考查学生对约分的理解和掌握情况．

2．通分：

（1）与；（2）与.

设计意图：考查学生运对通分理解和掌握情况.

说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第十五章第一节的内容，见教科书第127页至第134页.