人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试教案及反思

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教学设计文本课程基本信息课题整式的乘法与因式分解全章复习教科书书名：义务教育教科书 数学 八年级 上册                                 出版社：人民教育出版社                出版日期：2013年6月教学目标教学目标：1.巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题；2.通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系.教学重点：熟练地运用整式的乘法法则进行运算.教学难点：灵活运用整式的乘法法则解决有关问题.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟            一、本章知识结构          本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法.整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法，还学习了特殊形式，乘法公式等.利用“除法是乘法的逆运算”，学习了简单的除法，掌握了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形.这是本章的知识结构图. 我们这节课主要复习整式的乘法，因式分解的具体内容下节课再复习.22分钟                        二、典例选讲                        在整式的运算中，幂的运算是基础，有着至关重要的作用,下面我们通过具体的例题来看一下.【例1】判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？（1）a2·a3=a6；    （2）(b4)3=b7；（3）a10÷a2=a5；   （4）(-2ab2)3=-8a3b6.【分析】（1）明确运算法则；（2）法则具体内容.【答案】解：（1）a2·a3=a6，×，改正：a2·a3=a5；（2）(b4)3=b7，×，改正：(b4)3=b12；（3）a10÷a2=a5，×，改正：a10÷a2=a8；（4）(-2ab2)3=-8a3b6，√，(-2ab2)3=(-2)3a3(b2)3=-8a3b6.【小结】1.幂的运算法则：（1）am·an=am+n(m,n都是正整数)；（2）(am)n=amn(m,n都是正整数)；（3）am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；（4）(ab)n=anbn(n都是正整数).2.使用法则时，要明确法则和具体内容. 【例2】已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.【分析】要想求102m+3n的值，可以先求m，n的值，10的多少次方等于5呢？10的多少次方等于3呢？就我们现在来说是求不出来的.观察题目中已知条件与所求值的代数式的特点，都是幂的形式，并且底数相同都是10，指数不同，用10m，10n如何表示102m+3n呢，102m+3n是指数相加的形式，我们不难想到同底数幂相乘，逆用就得到am+n=am·an，所以102m+3n=102m·103n，而102m与103n是指数相乘的形式，我们想到幂的乘方，逆用得到amn=(am)n=(an)m，102m=(10m)2，103n=(10n)3，这道题就可以解决了.【答案】解：102m+3n=102m·103n=(10m)2·(10n)3.将10m=5，10n=3代入，原式=52×33=675.【巩固练习】计算：【分析】运算中有乘、乘方，按照运算顺序，先算乘方，但是计算比较复杂，观察式子的特点，底数虽然不同，但是0.125与-8乘积等于-1，逆用anbn=(ab)n，但是指数需要相同，所以逆用am+n=am·an后就解决问题.【答案】解：原式        【小结】幂的运算算法则不仅可以正用，也可以逆用.（1）am+n=am·an(m,n都是正整数)；（2）amn=(am)n(m,n都是正整数)；（3）am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；（4）anbn=(ab)n(n都是正整数). 在复习了幂的运算的基础上，我们来看一道例题.【例3】若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，求x*(x+2y).【分析】这道题定义了一种新运算，两数*运算，它的法则是什么？=2ab-b2，也就是这两数乘积的2倍与后一个数的平方的差，转化为我们已经学过的整式的运算,关键是确定这两数.【答案】解：（1）∵a*b=2ab-b2，法一：∴x*(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2 （单×多）（完全平方公式）=2x2+4xy-(x2+4xy+4y2)=2x2+4xy-x2-4xy-4y2=x2-4y2；此题是化简，结果应为一个整式，注意和因式分解结果的区别.同学们，这道题还有其他的方法化简吗？法二：∴x*(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2=(x+2y)[2x-(x+2y)]=(x+2y)(2x-x-2y)=(x+2y)(x-2y)（平方差公式）=x2-4y2；我们不仅可以利用整式乘法化简，也可以利用分解因式达到化简的目的.【巩固练习】先化简再求值：(ab+2)(ab-2)-(a2b2-4ab)÷ab，其中a=-3，b=.分析：明确运算顺序，运算法则.按照要求对代数式先化简，运算有加、减、乘、除，按照运算顺序，先算乘除，后算加减.解：原式=a2b2-4-(ab-4)（平方差公式）（多÷单）=a2b2-4-ab+4=a2b2-ab将a=-3，b=代入，原式=(ab)2-ab=. 【小结】1.明确运算顺序：（1）有括号要先算括号里的；（2）先乘方，再乘除，最后加减.2.明确运算法则：（1）整式的运算法则，单项式的乘除法是关键；（2）新定义的运算法则，一般转化为学过的运算法则.3.运算中正确使用乘法公式：平方差公式：  (a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2. 【例4】如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
(1)观察图2，请写出(a+b)2，(a-b)2，ab之间的数量关系；
(2)应用：根据(1)中的结论，若x+y=5，，求x-y的值.
     【分析】(1)结合图2，(a+b)2表示的是大正方形的面积，ab是一个小长方形的面积，而(a-b)2呢？观察图2发现，中间阴影部分的图形是正方形，边长是a-b，所以(a-b)2是中间阴影小正方形的面积.由图2发现，大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积；(2)由(1)得到，a+b，a-b，ab的关系，整体代入，可以解决.【答案】解：(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(2)由(1)得：(a+b)2=(a-b)2+4ab，∵x+y=5，，∴52=(x-y)2+4×.∴(x-y)2=16.对于(a+b)2=(a-b)2+4ab这个关系，我们不仅可以通过图形之间的面积关系得到，也可以通过完全平方公式变形得到.【小结】完全平方公式既可以直接使用，也可以变形使用，通过这些关系式，a+b，a-b，ab，a2+b2，知二求二.  【巩固练习】已知长方形ABCD的周长为20，面积为28，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？【分析】我们一起画一下示意图，为了使条件更加直观，设长为x，宽为y，则2(x+y)=20，xy=28，要求的是x2+y2的值.直接求x，y的值，就现在的知识还不能解决，那么x2+y2，x+y，xy之间有什么关系呢？利用完全平方公式的变形，解决问题.【答案】解：设这个长方形的长为x，宽为y，则    ，   .∴x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×28=44.∴分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是44. 1分钟    三、归纳总结这节课复习了整式的乘法，并灵活运用，相信同学们对这一章有了比较清晰的认识.对于运算问题：明确法则，理清顺序；使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；既可以直接用，也可以变形用.四、课后练习1.计算：（1）(2a)3·b4÷12a3b2；     （2）(2a+3b)(2a-b)；（3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)；（4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y.2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.