高中第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式综合训练题

这是一份高中第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式综合训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A.eq \f(a＋d,2)＞eq \r(bc) B.eq \f(a＋d,2)＜eq \r(bc) C.eq \f(a＋d,2)=eq \r(bc) D.eq \f(a＋d,2)≤eq \r(bc)
a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2=2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab|
若a≥0，b≥0且a＋b=2，则( )
A．ab≤eq \f(1,2) B．ab≥eq \f(1,2) C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
已知a，b∈R，且a＋b=1，则ab＋eq \f(1,ab)的最小值为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(17,4) D．2eq \r(2)
若x＞0，则函数y=－x－eq \f(1,x)( )
A．有最大值－2 B．有最小值－2 C．有最大值2 D．有最小值2
已知0A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
下列命题正确的是( )
A．函数y=x＋eq \f(1,x)的最小值为2
B．若a，b∈R且ab>0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C．函数eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))的最小值为2
D．函数y=2－3x－eq \f(4,x)的最小值为2－4eq \r(3)
下列不等式正确的是( )
A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．(-a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))≤-2 C．a2＋eq \f(1,a2)≥2 D．(-a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))2≤-2
若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A.eq \f(2ab,a＋b)＜eq \f(a＋b,2)＜eq \r(ab) B.eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)
C.eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \f(2ab,a＋b) D.eq \r(ab)＜eq \f(2ab,a＋b)＜eq \f(a＋b,2)
若-4A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值-1 D．有最大值-1
二、填空题
若0＜a＜b且a＋b=1，试判断eq \f(1,2)，a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序________．
已知a，b∈R，如果ab=1，那么a＋b最小值为_____；如果a＋b=1，那么ab最大值为_____．
若x，y均为正实数，且x＋4y=1，则x·y的最大值为________．
当x>eq \f(1,2)时，函数y=x＋eq \f(8,2x－1)的最小值为________．
三、解答题
已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc=1.
求证：eq \r(a)＋eq \r(b )＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).
已知a，b，c为正数，证明：eq \f(2b＋3c－a,a)＋eq \f(a＋3c－2b,2b)＋eq \f(a＋2b－3c,3c)≥3.
\s 0 参考答案
答案为：A；
解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d=b＋c，
又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2eq \r(bc)，故eq \f(a＋d,2)＞eq \r(bc).
答案为：A；
解析：因为a2＋b2－2|ab|=(|a|－|b|)2≥0，
所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立)．
答案为：C；
解析：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，
即2(a2＋b2)≥(a＋b)2=4，所以a2＋b2≥2.
答案为：C；
答案为：A；
解析：因为x＞0，所以x＋eq \f(1,x)≥2.
所以－x－eq \f(1,x)≤－2.当且仅当x=1时，等号成立，故函数y=－x－eq \f(1,x)有最大值－2.
答案为：B；
解析：由x(3-3x)=eq \f(1,3)×3x(3-3x)≤eq \f(1,3)×eq \f(9,4)=eq \f(3,4)，当且仅当3x=3-3x，即x=eq \f(1,2)时等号成立．
答案为：B；
解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，
因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，且eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2；C错误，
若运用基本不等式，需eq \r(x2＋2)2=1，x2=－1无实数解；D错误，
y=2－(3x＋eq \f(4,x))≤2－4eq \r(3).
答案为：C；
解析：因为a2＋eq \f(1,a2)中a2>0，所以eq \f(a2＋\f(1,a2),2)≥eq \r(a2·\f(1,a2))，即eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋\f(1,a2)))≥1，所以a2＋eq \f(1,a2)≥2.
答案为：C；
解析：a＞b＞0，eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，eq \f(2ab,a＋b)＜eq \f(2ab,2\r(ab))=eq \r(ab).从而eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \f(2ab,a＋b).
答案为：D；
解析：f(x)=eq \f(x2－2x＋2,2x－2)=eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(1,x－1)))，
又∵-40.∴f(x)=-eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x－1＋\f(1,－x－1)))≤-1.
当且仅当x-1=eq \f(1,x－1)，即x=0时等号成立．
答案为：a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b；
解析：因为0＜a＜b，a＋b=1，所以a＜eq \f(1,2)＜b ①；2ab＜a2＋b2 ②
下面寻找②中数值在①中的位置．
因为a2＋b2＞2(eq \f(a＋b,2))2=eq \f(1,2)，
a2＋b2=a·a＋b2＜a·b＋b2=(1－b)b＋b2=b，所以eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b.
又2ab＜2(eq \f(a＋b,2))2=eq \f(1,2)，2ab＞2×eq \f(1,2)a=a，
所以a＜2ab＜eq \f(1,2).所以a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b.
答案为：2，eq \f(1,4)；
解析：因为a，b∈R，所以eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，所以a＋b≥2eq \r(ab)=2.
故当ab=1时，a＋b取最小值2，此时a=b=1.
又当a＋b=1时，eq \r(ab )≤eq \f(a＋b,2)=eq \f(1,2).所以ab≤eq \f(1,4).
答案为：eq \f(1,16)；
解析：1=x＋4y≥2eq \r(4xy)=4eq \r(xy)，∴xy≤eq \f(1,16)，当且仅当x=4y时等号成立．
答案为：eq \f(9,2)；
解析：设t=2x-1，∵x>eq \f(1,2)，∴2x-1>0，即t>0，∴y=eq \f(t＋1,2)＋eq \f(8,t)=eq \f(t,2)＋eq \f(8,t)＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(t,2)·\f(8,t))＋eq \f(1,2)=eq \f(9,2).
当且仅当eq \f(t,2)=eq \f(8,t)，即t=4， x=eq \f(5,2)时，取等号．
证明：因为 a，b，c都是正实数，且abc=1，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))=2eq \r(c)，
eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(\f(1,bc))=2eq \r(a)，
eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(\f(1,ac))=2eq \r(b)，
以上三个不等式相加，得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))，
即eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).
证明：
左式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(3c,a)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2b)＋\f(3c,2b)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3c)＋\f(2b,3c)－1))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(a,2b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,a)＋\f(a,3c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2b)＋\f(2b,3c)))－3
≥2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＋2eq \r(\f(3c,a)·\f(a,3c))＋2eq \r(\f(3c,2b)·\f(2b,3c))－3=3，
当且仅当a2=4b2=9c2，即a=2b=3c时，等号成立．