2021学年2.2 基本不等式习题

这是一份2021学年2.2 基本不等式习题，共18页。
A．最大值为2B．最小值为2C．最大值为4D．最小值为4
2．（2021春•洛阳期末）已知a＞1，b＞1，且ab＝2，则（ ）
A．B．
C．a2+b2＞4D．
3．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m，n满足m（n﹣1）＝4n，则m+4n的最小值是（ ）
A．25B．18C．16D．8
4．（2021•浙江模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021春•宁江区校级期末）已知正实数x，y满足4x+3y＝2，则+的最小值为（ ）
A．+B．+C．+D．+
二．填空题（共5小题）
6．（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为 ．
7．（2021•湖南模拟）已知a＞b，关于x的不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在实数x0，使得ax02+2x0+b＝0成立，则的最小值为 ．
8．（2021春•香坊区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为 ．
9．（2021•北仑区校级模拟）已知正实数x，y满足（x+3y﹣1）（2x+y﹣1）＝1，则x+y的最小值是 ．
10．（2021•海曙区校级模拟）已知正数a，b满足，则的最大值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•凉山州模拟）已知a+b＝1，∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣2|+|x+1|恒成立．
（1）若a＞0，b＞0，求+的最小值；
（2）求x的取值范围．
12．（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
13．（2021•碑林区校级模拟）已知函数的定义域为R．
（1）求实数d的取值范围；
（2）设实数m为d的最大值，若正数a，b，c满足a+b+c＝m2，求的最小值．
14．（2021春•鼓楼区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求tanA+tanB的值；
（2）求cs2A+cs2B的最大值．
15．（2021•江西模拟）设a＞0，b＞0，且a+b＝2ab．
（1）若不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围；
（2）当实数a，b满足什么条件时，a﹣b+取得最小值，并求出最小值．
2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.2基本不等式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•广州月考）已知x＞0，则x+的（ ）
A．最大值为2B．最小值为2C．最大值为4D．最小值为4
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用基本不等式可解决此题．
【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2＝4，当且仅当x＝即“x＝1”时，取“＝”．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．
2．（2021春•洛阳期末）已知a＞1，b＞1，且ab＝2，则（ ）
A．B．
C．a2+b2＞4D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理．
【分析】由已知结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：a＞1，b＞1，且ab＝2，
所以lg2a•lg2b≤（）2＝（）2＝，当且仅当lg2a＝lg2b且ab＝2，即a＝b＝时取等号，A正确；
B：例如a＝，b＝，a﹣b＞，B错误；
C：当a＝b＝时，a2+b2＝4，不满足题意，C错误；
D：当a＝b＝时，＝，不满足题意，D错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质，属于基础题．
3．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m，n满足m（n﹣1）＝4n，则m+4n的最小值是（ ）
A．25B．18C．16D．8
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为m（n﹣1）＝4n，可得mn﹣m＝4n，整理可得1＝+，
所以m+4n＝（m+4n）（+）＝8++≥8+2＝16，
当且仅当，即＝时，即m＝8，n＝2时等号成立，
所以m+4n的最小值为16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题．
4．（2021•浙江模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】变形利用基本不等式即可得出结论．
【解答】解：∵正实数a，b满足a+2b＝2,
∴＝a++2b+2﹣4+＝+,
＝(a+2b+2)(+)＝(1+4++)≥×(5+2)＝,
当且仅当a＝，b＝时，取得最小值，
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（2021春•宁江区校级期末）已知正实数x，y满足4x+3y＝2，则+的最小值为（ ）
A．+B．+C．+D．+
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由题意，4x+2+3y+2＝6，然后结合乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】解：由题意，4x+2+3y+2＝6，
故+＝（）（4x+2+3y+2）＝（3+）≥，
当且仅当，即x＝，y＝时等号成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用乘1法，还考查了基本不等式求解最值中应用，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为 2 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，而5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2，然后利用基本不等式即可求解，
【解答】解：因为2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，
令t＝2x﹣y,则x+y＝,
则5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2＝＝2,
当且仅当，即t＝±1时取等号，此时5x2﹣2xy+2y2取最小值2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．
7．（2021•湖南模拟）已知a＞b，关于x的不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在实数x0，使得ax02+2x0+b＝0成立，则的最小值为 2 ．
【考点】函数恒成立问题；基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，可得△≤0，存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则△≥0，可得ab的等式关系，利用基本不等式的性质求解的最小值即可．
【解答】解：由题意，不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，可得，解得ab≥1，
存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则△≥0，即4﹣4ab≥0，得ab≤1，
∴ab＝1，
∵a＞b，∴a＞1，∴＞0，
由b＝，
＝＝（a﹣）+，
当且仅当（a﹣）2＝2时取等号．
故答案为：2．
【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用和构造思想，特别是构造分子，分母适合基本不等式，属于中档题．
8．（2021春•香坊区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为 5 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】将所求解的式子变形，然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解最值即可．
【解答】解：因为a+b＝1，则a＝1﹣b，
所以+＝，
因为，
当且仅当a＝，b＝时取等号，
所以的最小值为9，
则+的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了基本不等式的运用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
9．（2021•北仑区校级模拟）已知正实数x，y满足（x+3y﹣1）（2x+y﹣1）＝1，则x+y的最小值是 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】将所求解的式子转化为，然后利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，则x+3y﹣1＞﹣1，2x+y﹣1＞﹣1，
因为（x+3y﹣1）（2x+y﹣1）＝1，
所以x+3y﹣1＞0，2x+y﹣1＞0，
因此x+y＝＝，
当且仅当，即，
所以时取等号，
所以x+y的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
10．（2021•海曙区校级模拟）已知正数a，b满足，则的最大值为 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；构造法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：因为，所以a+b＝2ab，
当a＝时，，不符合题意，
所以，
则＝，
因为a＞,则a＞，所以3a﹣1＞0，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以,
则的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•凉山州模拟）已知a+b＝1，∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣2|+|x+1|恒成立．
（1）若a＞0，b＞0，求+的最小值；
（2）求x的取值范围．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解；
（2）结合（1）中的最值及不等式的恒成立与最值的相互转化即可求解．
【解答】解：（1）因为a+b＝1，a＞0，b＞0，
所以＝＝1+＝3，
当且仅当且a+b＝1，即a＝b＝时取等号，此时取得最小值3；
（2）因为+≥|2x﹣2|+|x+1|恒成立，
由（1）知|2x﹣2|+|x+1|≤3，
即或或，
解得0≤x≤1或1．
故x的取值范围是[0，]．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，及由不等式恒成立求解最值，体现了转化思想的应用，属于中档题．
12．（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；
（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．
【解答】解：（1）因为a、b是正数，
所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．
（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题．
13．（2021•碑林区校级模拟）已知函数的定义域为R．
（1）求实数d的取值范围；
（2）设实数m为d的最大值，若正数a，b，c满足a+b+c＝m2，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式；数学运算．
【分析】（1）问题转化为d≤2|x﹣6|﹣|x|恒成立，设g（x）＝2|x﹣6|﹣|x|，求出g（x）的最小值，求出d的取值范围即可；
（2）求出a+b+c＝36，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．
【解答】解：（1）当x∈R时，d≤2|x﹣6|﹣|x|恒成立，
设g（x）＝2|x﹣6|﹣|x|＝，
因此x＝6时g（x）取得最小值﹣6，
故实数d的取值范围是（﹣∞，﹣6]．
（2）由（1）知m＝﹣6，因此a+b+c＝36，
＝[++]
＝[3+（+）+（+）+（+）]
≥[3+2+2+2]
＝，
当且仅当a＝13，b＝12，c＝11时上式取等号，
此时取得最小值．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及基本不等式的性质，考查转化思想，是中档题．
14．（2021春•鼓楼区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求tanA+tanB的值；
（2）求cs2A+cs2B的最大值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和和角展开式的应用求出结果；
（2）利用同角三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
整理得，
所以两边同除以csAcsB，
所以tanA+tanB＝2．
（2）cs2A+cs2B＝＝＝，
＝＝，
由于（tanAtanB﹣1）2+12＞0，
所以14﹣2tanAtanB＞0，
令t＝14﹣2tanAtanB，
则t＞0，
tanAtanB＝，
所以＝．
当且仅当t＝时，等号成立，
故最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15．（2021•江西模拟）设a＞0，b＞0，且a+b＝2ab．
（1）若不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围；
（2）当实数a，b满足什么条件时，a﹣b+取得最小值，并求出最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）先利用基本不等式求出a+b的最小值，从而将所求的不等式转化为|x+1|+2|x|≤2，根据绝对值的定义分别讨论，求解不等式即可；
（2）利用已知的等式，将b用a表示出来，然后代入a﹣b+中化简变形，由基本不等式求解最值即可．
【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，可得，
所以．
当且仅当a＝b＝1时取等号，
不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，即|x+1|+2|x|≤2，
当x＜﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时x∈∅；
当﹣1≤x≤0时，不等式可化为x+1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x≤0；
当x＞0时，不等式可化为x+1+2x≤2，解得，此时．
综上所述，实数x的取值范围是；
（2）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，所以，
故a﹣b+＝
＝，
当4a﹣2＞0，即时，a﹣b+＝，
当且仅当时，a﹣b+有最小值．
【点评】本题考查了不等式的求解以及基本不等式的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
考点卡片
1．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
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日期：2021/7/2 8:42:05；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867