高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案及答案

4.5.1：函数的零点与方程的解

知识点1：函数的零点

1.函数零点的概念

对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.即哈数的零点就是使函数值为零的自变量的值.

2.函数的零点与方程的解的关系

函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与x轴的公共点的横坐标.所以方程有实数解函数有零点函数的图像与x轴有公共点.

3.几种常见函数的零点

（1）二次函数的零点

一元二次方程的实数根也称为函数的零点.

当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：

类似可得当的情形.

（2）正比例函数仅有一个零点0.

（3）一次函数仅有一个零点

（4）反比例函数没有零点.

（5）指数函数没有零点.

（6）对数函数仅有一个零点1.

（7）幂函数当时仅有一个零点0；当时，没有零点.

例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在上哪个函数有零点.

答案：在上有零点，在上没有零点.

例1-2：判断下列说法是否正确：

（1）函数的零点为1；

（2）函数的零点为（0,0），（2,0）.

答案：（1）不正确   （2）不正确

例1-3：函数的零点个数是（    ）

1. 0             B. 1           C. 2              D. 3 

答案：D

例1-4：是“函数有零点”的（   ）

1. 充分不必要条件       B.充要条件    

C.必要不充分条件       D.既不充分也不必要条件

答案：C

知识点2：函数零点存在定理

1.函数零点存在定理

如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个c也就是方程的解.

2.函数零点存在定理的几何意义.

在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起点与终点分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.

3.函数零点的性质

如果函数图像通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，都是变号零点；如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数有一个不变号零点（或叫二重零点）.

对于任意函数，只要它的图像是连续不断的，则有：

（1）当它的图像听过零点且穿过x轴时，零点两侧的函数值异号；

（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

例2-5：若函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（    ）

A.若，则不存在实数，使得

B.若，则只存在实数，使得

C.若，则有可能在实数，使得

D.若，则有可能不存在实数，使得

答案：C

例2-6：已知定义在R上的函数的图像是连续不断的，当x=1,2,3,5时对应的函数值如下表，那么下列区间内，函数不一定存在零点的是（   ）

A.（1,2）        B.[1,3]          C.[2,5)           D.（3,5） 

答案：D

变式训练1：针对例2-6，函数在区间[1,5]上的零点至少有（   ）

1. 1个          B. 2个           C. 3个           D. 4个

答案：C

题型与方法

题型1：求函数的零点（方程的根）

例7：判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

；

；

；

.

答案：（1）零点为；（2）零点为；（3）不存在零点；（4）零点为.

例8：函数的零点的个数是（   ）

1. 0           B. 1            C. 2             D. 3

答案：C

变式训练2：若函数的图像如图所示，则函数的零点是        .

答案：

题型2：函数零点存在定理的应用——判断函数零点（方程的根）

例9：若是方程的根，则属于区间（   ）

A.（）      B.（）       C.（）         D.（） 

答案：C

例10：函数的一个零点在区间（1,2）内，则实数的取值范围是（   ）

A.（1,3）     B.（1,2）        C.（0,3）          D.（0,2）

答案：C

变式训练3：表示不超过的最大整数，例如.已知是方程的根，则（    ）

1. 2         B. 3            C. 4            D. 5

答案：C

题型3：利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题

1.函数零点的个数

例11：已知函数，则函数的零点个数为（   ）

1. 3         B. 2          C. 1           D. 0

答案：B

变式训练4：函数的零点的个数是（   ）

1. 0          B. 1           C. 2          D. 3

答案：B

2.已知函数零点个数或零点所在区间求参数的取值范围

例12：已知函数有且只有两个零点，则的取值范围是（   ）.

1.         B.       C.        D.

答案：B

变式训练5：已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.         B.        C.          D.

答案：C

3.涉及图像变换

例13：若关于有两个不等的实数根，则的取值范围是        .

答案：

4.函数零点位置的确定

例14：已知是函数的一个零点.若，则（   ）

A.             B.

C.             D.

答案：B

例15：若方程的根为，方程的根为，则的取值范围为（    ）.

A.（0,1）       B.（1，+）       C.（1,2）      D.[1，+）

答案：A

题型4：一元一次方程根的分布及应用

例16：当为何值时，方程有；两个不相等的实根？

答案：∵方程有两个不相等的负根，

∴

故当时，方程有两个不相等的负根.

例17：若方程的两个根满足，求实数的取值范围.

答案：由题意可知，

即，解得

故实数的取值范围是

【变式1】若本例题中的条件改为“方程的一根小于1，另一根大于1”，实数的取值范围是什么呢？

答案：

【变式2】若将本例题中的条件改为“方程在时有两个相异实根”，实数的取值范围是什么呢？

答案：

例18：已知，关于的方程，，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实数解；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实数解；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实数解；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实数解；

其中真命题的个数是（   ）

1. 1           B. 2             C. 3              D. 4

答案：D

易错提醒

易错1：误解零点的概念

例19：函数的零点是（   ）

A.（1,0）         B.（2,0）       C.（1,0）,（2,0）       D. 1,2

答案：D

易错2：错用函数零点存在定理

例20：函数的零点个数为（    ）

1. 0            B. 1           C. 2              D. 4

答案：B

易错3：求参数的取值范围忽略限制条件

例21：若函数在区间[0,4]内至少有一个零点，求实数的取值范围 .

答案：    解得

高考链接

考向1：确定函数零点所在的区间

例22：已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（   ）

A.（0,1）        B.（1,2）       C.（2,4）        D.（4,）

答案：C

考向2：确定函数零点的个数

例23：已知函数，函数，则函数的零点个数为（   ）

1. 2           B. 3             C. 4                D. 5

答案：A

考向3：与函数零点相关的参数问题

例24：已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（   ）

A.          B.         C.         D.

答案：C

基础巩固

1.下列命题中真命题的个数是（   ）

①若，函数在上单调且图像连续，则函数在上只有一个零点；

②若，函数在上单调且图像连续，则函数在内一定没有零点；

③若，函数在上不单调且图像连续，则函数在内是否存在零点不确定；

④若，则或是函数的零点.

1. 1          B. 2            C. 3               D. 4

2.下列函数不存在零点的是（   ）

A.        B.     C.       D.

3.根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（   ）

A.（1,2）     B.（2,3）     C.（3,4）     D.（4,5）

4.若是函数的零点，则（   ）

A.      B.     C.    D.

5.方程的根所在的区间为（   ）

A.（-1,0）      B.（0,1）      C（1,3）      D.（2,3）

6.函数有两个零点，其中，则实数的取值范围是（    ）.

A.          B.        C.        D.

7.已知函数

（1）如果函数的一个零点为0，求的值；

（2）当函数有两个零点，求的取值范围；

（3）当函数有两个零点，且其中一个大于1，另一个小于1，求的取值范围.

能力提升

8.若函数的零点与的零点之差的绝对值不大于0.5，则可以是（    ）.

A.              B.

C.              D.

9.函数的零点个数为（     ）.

A. 1              B. 2             C. 3               D. 4

10.已知分别是关于的方程的根，则下面为定值的是（   ）.

A.          B.          C.            D.

11.设函数.若实数满足，则（   ）.

A.   B.    C.     D.

12.定义在R上的偶函数满足，且在时，.若关于的方程在时恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ）

A.（1,2）      B.（2,+）        C.（）       D.（）  

13.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为        .

14.偶函数满足，且当时，，则函数在（0,10）上的零点的个数为       .

15.若函数有两个零点，则实数的取值范围是         .

16.已知函数，当时，函数的零点，，则         .

17.设函数

（1）当时，求函数在[-1,1]上的最小值的表达式；

（2）已知函数在[-1,1]上存在零点，.求的取值范围.

参考答案

1. D
2. D
3. C
4. C
5. B
6. A

7. .,

的取值范围为：.，解得.故的取值范围为

8.D

9.B

10.C

11.A

12.D

13.

14.10

15.（0,2）

16.2

17.（1）  

（2）设为方程的解，且，则.

由于，因此

当时，，

由于

所以，

当 时，

由于和，所以

故b的取值范围是