2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（六）（含答案解析）

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2021学年高三数学第三次月考模拟卷（六）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）设全集，集合，，则等于A. 2，3， B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出全集U和，由此能求出．
【解答】
解：全集1，2，3，4，，
集合，，
2，3，，
．
故选：C．
 “”是“”的  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题由可得一定成立当时，不一定成立，即可得解．
【解答】
解：当时，成立，因此是的充分条件
当时，不一定成立，因此是的不必要条件，
综上可得，是的充分不必要条件．
故选A．
 如图所示，向量A，B，C在一条直线上，且，则      

 A.  B.
C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的加法，减法及集合意义，考查学生推理能力，属于基础题．
由得，即可求解．
【解答】
解：由得，

所以，
即．
故选D．
 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
 A.
B. AB与CD相交
C.
D. AB与CD所成的角为
 【答案】D【解析】【分析】
本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题．
还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为．【解答】解：还原成正方体如下图，，是与所成角，，，在原来的正方体中与所成的角为．故选：D．
 学校举办运动会时，高一班有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是     A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】
本题考查同时参加田径比赛和球类比赛的人数的求法，考查韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，作出韦恩图，由韦恩图能求出同时参加田径比赛和球类比赛的人数．
【解答】
解：设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，
作出韦恩图，由韦恩图，得


解得，，．
同时参加田径比赛和球类比赛的人数为4．
故选：B．
 已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】解：设扇形的圆心角为，
扇形的半径为，
扇形的面积为，
解得．
故选：A．
本题考查了扇形的面积公式，是基础题．
设扇形的圆心角为，根据面积公式列方程求出的值．
 函数的单调递减区间为A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
令，求得函数的定义域．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在y的定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在y的定义域内的减区间．
【解答】
解：令，则，．
令，求得，或，故函数y的定义域为．
根据复合函数的单调性，本题即求函数t在y的定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得，函数t在y的定义域内的减区间为，
故选：A．
 若偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是     A.  B.
C.  D. ，【答案】B【解析】【分析】
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得当或时，；当时，，则分或与两种情况讨论的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合函数的奇偶性、单调性，对不等式进行分类讨论．
【解答】
解：根据题意，偶函数在区间上单调递减，则其在上为增函数，
又由，则，
则有当或时，；当时，，
当或时，若，必有，解可得，
当时，若，必有，解可得，
综合可得：不等式的解集是；
故选B．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）．多选题加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间单位：分钟满足函数关系b，c是常数，如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间不可能为A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟【答案】ACD【解析】【分析】
本题主要考查二次函数模型的应用由二次函数的图象过点，，，
利用待定系数法可求二次函数的解析式，再求最值即可；
【解答】
解：由实验数据和函数模型知，二次函数的图象过点，，，
分别代入解析式，得，解得
所以，
所以当时，可食用率p最大．
故选ACD．
 已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为    A.  B.  C. 24 D. 25【答案】BCD【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义与性质，属于中档题．
由题意得椭圆的左焦点，由点A在椭圆内部得，可解得m的范围，结合椭圆的定义可得P，，A三点共线时最大，从而，即可得m的值．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，则，
由点A在椭圆内部得，结合，
解得，
根据椭圆的定义及得，
又当P，，A三点共线时最大，
从而，解得，
综上，，
故选BCD．
 函数的部分图象如图所示，轴．当时，若不等式恒成立，则m的取值可能是
 
A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据三角函数的化简和三角函数的性质即可求出．
本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，属于中档题．
【解答】
解：因为轴，所以的图象的一条对称轴方程为，，所以．
由，，且，得，
所以
不等式恒成立等价于，
由，得，
则的最大值为，所以、D符合，
故选BD．
 下列命题中，正确的是若，则若，则若，则若，则．A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】
本题主要考查不等式性质，基本不等式应用，考查推理能力，属于基础题．
利用不等式性质以及基本不等式依次验证选项，即可得到答案．
【解答】
解：当时，根据基本不等式有，
当且仅当时取等号，所以正确
当时，，当且仅当时取等号，所以正确
当时，，所以正确
当时，不成立，所以错误．
故选ABC．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）在三棱柱中，侧棱平面，，底面是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为______．【答案】【解析】解：如图，连接，则，
又，
，
平面，，底面是边长为4的正三角形，
，
，
．
故答案为：．
由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．
本题考查三棱柱的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 已知抛物线C：的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则______ ．【答案】【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题．
设出A、B坐标，利用焦半径公式求出，结合，，求出A、B的横坐标，然后结合抛物线定义求解．
【解答】
解：设，，则，，
，
由直线l倾斜角为，
则直线l的方程为：， 
联立抛物线方程，消去y并整理，，，
则，，可得，，
则，
，
故答案为．
 等比数列中，，，则______．【答案】10【解析】【分析】
本题考查了对数的运算性质，等比数列的性质．属于基础题．
根据等比数列的性质，得出，再根据对数的运算性质化简计算即可．
【解答】解：根据等比数列的性质，，

，
故答案为10．
 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点，使改造后的公园成四边形OACB，如图所示，当OC取得最大值时，________．【答案】【解析】【分析】
本题考查了正余弦定理，以及解三角形的实际应用，考查三角函数最值求法，属中档题．
依题意，设，，根据正余弦定理求得，化简即可求解．
【解答】
解：设，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由正弦定理得，所以，
得，
由余弦定理得
，所以，
所以
，
所以当，即时，存在四边形OACB，OC取得最大值300．故答案为．
 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知．
Ⅰ求角B的大小；
Ⅱ设，，求b和的值．【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，是中档题．
Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．
Ⅱ由余弦定理得，由，得，，由此能求出．
【答案】解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，
，
即，
，
又，．
Ⅱ在中，，，，
由余弦定理得，
由，得，
，
，
，
，
． 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，，Q为棱的中点．求直线与平面所成角的正弦值；求二面角的余弦值．【解析】本题考查空间中的线面位置关系以及空间向量，考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力．
【答案】解：由题意知，四棱柱是直四棱柱，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
 则，，1，，0，，1，，所以，，，，．设平面的法向量为，所以即令，则为平面的一个法向量，故，所以直线与平面所成角的正弦值为．设平面的法向量为，则即令，则为平面的一个法向量．故，由图象可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． 某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益单位：万元、养鸡的收益单位：万元与投入单位：万元满足，设甲合作社的投入为单位：万元，两个合作社的总收益为单位：万元．
当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？ 【解析】本题主要考查函数的应用问题，根据条件求出函数的解析式，利用分段函数的性质是解决本题的关键．综合较强，考查学生的运算能力．
结合所给的关系式求解当甲合作社的投入为25万元时，两个合作社的总收益即可；
首先确定函数的定义域，然后结合分段函数的解析式分类讨论确定最大收益的安排方法即可．
【答案】解：当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，
此时两个合作社的总收益为万元；
设甲合作社的投入为x万元，则乙合作社的投入为万元，
当时，，则

．
令，得，
则总收益为，
显然当时，函数取得最大值，
即此时甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元；
当时，，则
，
易知在上单调递减，
，
即此时甲、乙两个合作社的总收益小于87万元．
又，
当甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元．已知离心率为的椭圆，与直线l交于P，Q两点，记直线OP的斜率为，直线OQ的斜率为．
求椭圆方程；
若，则三角形OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了三角形面积的求法，考查计算能力，是中档题．
由题意列关于a，b，c的方程组，求解可得椭圆方程；
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线的距离公式结合三角形面积公式求解；当直线的斜率不存在，直接求得三角形面积得结论．
【答案】解：由题意，，解得，，
．
椭圆方程为；
设，，
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，
联立椭圆方程可得：．
则，，
．
点O到直线的距离．
．
由．
化简得：，代入三角形面积可得；
若直线的斜率不存在，可得．
综上可得，三角形POQ的面积为定值． 设a，，已知函数，．
求的单调区间；
已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，
求证：在处的导数等于0；
若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．【解析】求出函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得的单调区间；
求出的导函数，由题意知，求解可得得到在处的导数等于0；
由知且在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立．由，得，构造函数，，利用导数求其值域可得b的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是难题．
【答案】解：由，可得，
令，解得，或由，得．
当x变化时，，的变化情况如下表：x的单调递增区间为，，单调递减区间为；
证明：，由题意知，
，解得．
在处的导数等于0；
解：，，由，可得．
又，，
故为的极大值点，由知．
另一方面，由于，故，
由知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，从而在上恒成立．
由，得，．
令，，
，
令，解得舍去，或．
，，，故的值域为．
的取值范围是． 设数列满足，其中，且，为常数．
若是等差数列，且公差，求的值；
若，，，且存在，使得对任意的都成立，求m的最小值；
若，且数列不是常数列，如果存在正整数T，使得对任意的均成立．求所有满足条件的数列中T的最小值．【解析】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列不等式恒成立问题和周期数列的判断和证明，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
由等差数列的通项公式，化简可得，又，可得所求值；
求得，数列是首项为1，公比的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在，使得，即对任意都成立，由参数分离可得m的最小值；
由题意可得，讨论，，根据条件，推理得到结论．
【答案】解：由题意，可得，
化简得，又，所以．
将，，，代入条件，
可得，解得，
所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，
所以．
欲存在，
使得，即对任意都成立，
则，所以对任意都成立．
令，则，
所以当时，；当时，；当时，．
所以的最大值为，所以m的最小值为；
因为数列不是常数列，所以，
若，则恒成立，从而，，
所以，
所以，又，所以，可得是常数列，矛盾．
所以不合题意．
若，取，满足恒成立．
由，得．
则条件式变为．
由，知；
由，知；
由，知；
所以，数列适合题意．
所以T的最小值为3．