2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（八）（含答案解析）

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2021学年高三数学第三次月考模拟卷（八）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）已知集合，，则等于A.  B.  C. 2， D. 【答案】C【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，根据并集的定义是解决本题的关键，属于基础题．先求出集合B，根据集合并集的定义进行求解即可．
【解答】
解：，，
2，，
故选C．
 ““是““成立的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】
本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断．
【解答】
解：由一定能推出，当由，则不一定推出，
故““是““成立的充分不必要条件，
故选：A．
 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b的长为A.  B. 1 C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，是基础题．
由sinA，sinB，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．
【解答】
解：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，
由正弦定理得：，
故选C．
 若平面向量和互相平行，其中，则A. 或0 B.  C. 2或 D. 2或10【答案】C【解析】【分析】
本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的坐标运算进行解答，是基础题．
根据，求出x的值，再计算的值．
【解答】
解：向量和互相平行，
，
解得，或；
当时，，；
当时，，；
综上，的值是2或．
故选：C．
 高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】解：选择物理的学生人数为，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为．
故选：B．
先求出只选择物理的学生人数，再与样本容量相比即可得解．
本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
 命题；命题若为假命题，为真命题，则实数x的取值范围是A.  B. 或
C. 或 D. 或【答案】B【解析】【试题解析】【分析】
本题考查了复合命题的真假，考查了不等式的计算，属于基础题．
依题意，为假命题，为真命题，则p和q一真一假，分情况处理即可．
【解答】
解：命题p：，命题q：，
因为若为假命题，为真命题，
所以命题p，q是一真一假，
若p真q假，则，解得，
若p假q真，则，解得，
综上或，
故选：B．
 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，属于基础题．
根据题意，可得函数在上是减函数，且在上恒成立，进而即可求得结果．
【解答】
解：由题意，函数在上是增函数，
设，
说明内层函数在上是减函数，且在上恒成立，
只需对称轴且，
解得．
故选B．
 若定义在R上的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是     A.  B.
C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，难度一般．
根据题意，不等式可化为 或，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可．
【解答】解：根据题意，不等式可化为 或由奇函数性质得，在上单调递减，所以，解得或．满足的x的取值范围是．故选D．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）下列命题中正确的是A. 若角是第三象限角，则可能在第三象限
B.
C. 若且，则为第二象限角
D. 锐角终边上一点坐标为，则【答案】ACD【解析】【分析】
本题较为综合，考查了象限角、诱导公式、三角函数定义等知识，解答题目时能够熟练运用各知识进行计算并判断，需要牢牢掌握基础知识逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，角是第三象限角，即，
所以，当时， 为第一象限角
当时， 为第三象限角当时， 为第四象限角，
故可能在第三象限正确，故A选项正确．对于B，运用诱导公式化简，故B选项不正确．对于C，若，则为第二象限角或者第四象限角，若，则为第一象限角或者第二象限角，
同时满足且，则为第二象限角，故C正确．对于D，因为锐角终边上一点坐标为，由三角函数定义可得，又因为，所以，故D正确．综上ACD选项正确故选ACD
 下列结论错误的是    A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角为
C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D. 与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条【答案】ABD【解析】【试题解析】【分析】
本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆、直线的倾斜角的应用，属于中档题．
选项A直线方程化为，即可判断，
选项B：求出斜率判断倾斜角即可，
选项C根据圆心到直线的距离与半径作比较，判断直线和圆的位置关系，即可判断，
选项D：分别讨论截距为0和非0的情况即可．
【解答】
解：对于A，直线方程可化为，
令，，则，，
所以直线恒过定点，故A错误；
对于B，直线化简成，
所以倾斜角为，故B错误；
对于C，因为圆心到直线的距离等于1，
所以直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故C正确
对于D，当直线l截距为0时，设l的方程为，直线与圆相切，
，解得，则直线的方程为，
当直线l截距不为0时，设l的方程为，即，
直线与圆相切，，
解得舍或，
则直线的方程为，
综上，满足条件的直线共有三条，故D错误．
故选ABD．
 函数在一个周期内的图象如图所示，则
 
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的对称中心为
C. 该函数的单调递增区间是
D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题目．
根据函数图象得出函数解析式，再借助正弦函数的图象与性质得出答案即可．
【解答】
解：由图可知，函数的周期为，故即，代入最高点有．
因为故故A正确．对B， 的对称中心：故该函数的对称中心为故B错误．对C，单调递增区间为，解得故C正确．对D，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到故D正确．
故选ACD．
 已知且，那么下列不等式中，恒成立的有    ．A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值属于中档题．
运用基本不等式可以判定A，C，D的正误，利用换元法以及对勾函数的性质，可以判定B的正确，由此即可得到答案．
【解答】
解：因为a，且，所以，
当且仅当时，取等号，故A正确．
令，则，
则函数在上单调递减，
则，故B正确；
令，
则，
当且仅当时取等号，则，故C正确；

，
当且仅当，
即，时取等号，故D错误；
故选ABC．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则______．


 【答案】【解析】解：由已知得，，
因为D、E、F三点重合，所以，，
则在中，由余弦定理可得，
所以，
则在中，由余弦定理得，
故答案为：．
根据条件可知D、E、F三点重合，分别求得BC、CF、BF即可．
本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题．
 设双曲线的右顶点为A，右焦点为过点F的直线l与双曲线的一条渐近线平行，且直线l交双曲线于点B，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质及几何意义的相关知识，试题难度一般
【解答】解：由题意知双曲线的一条渐近线的方程为，右顶点，右焦点．
由于直线l与渐近线平行，
则直线l的方程为，即，
从而，
代入双曲线方程，得，
可得，
从而的面积．
 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为          ．
 【答案】【解析】【试题剖析】

【试题解析】【分析】
本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项相关知识，关键是求出等比数列模型，正确利用相应的公式．
正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．
【解答】
解：由题意，得正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，
现已知共得到1023个正方形，
则有，
，
最小正方形的边长为．
故答案为：．
 
 已知函数若存在实数，使，则函数的最大值为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数、对数函数的图象与性质及多元函数的最值等，考查数形结合思想与考生的运算求解能力．
本题有三个关键点：一是准确地画出函数的图象；二是结合图象得，；三是利用导数求函数的最大值．
【解答】解：画出函数的大致图象如图所示．因为存在实数，使，
所以，
所以函数，
即．当时，，．
由图可知，若存在实数，使得，则需，即．
对于，当时，，
所以在上，是增函数．
所以y的最大值为．
 三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数，．
求的单调递增区间；
设为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求的面积．【解析】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；
由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【答案】解：函数，，
由，，
解得，，
当时，，
可得的单调递增区间为；
设为锐角三角形，
角A所对边，角B所对边，
若，即有，A为锐角，
解得，即，
由余弦定理可得，
化为，
解得或3，
若，则，
即有B为钝角，
不成立，
则，经检验符合条件，
的面积为．
 在三棱柱中，，平面ABC，E，F分别是AC，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
【解析】证明，然后利用直线与平面平行的判断定理证明平面；
证明，结合，证明平面，然后证明平面平面．
本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
【答案】证明：，F分别是AC，的中点．
所以，因为平面，平面，
所以平面；
因为平面ABC，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面． 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本万元当年产量不足80台时，万元，当年产量不小于80台时，万元，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．求年利润万元关于年产量台的函数关系式．年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．
通过利润销售收入成本，分、两种情况讨论即可；
通过配方可知当时，当时y取得最大值为万元，利用基本不等式可知当时，当时y取最大值为万元，比较即得结论．
【答案】解：当时，，
当时，，
于是．
由可知当时，，
此时当时y取得最大值为万元，
当时，，
当且仅当即时y取最大值为万元，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元． 设椭圆的左焦点为F，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若为原点，且，求直线PB的斜率．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．
Ⅰ由题意可得，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；
Ⅱ，，设PB的方程为，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由，运用斜率之积为，解方程即可得到所求值．
【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，，，
解得，，
可得椭圆方程为；
Ⅱ，，设PB的方程为，
代入椭圆方程，
可得，
解得或，
即有，
，令，可得，
又，，
可得，解得，
可得PB的斜率为． 已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求a的取值范围．【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题．
求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得的单调性；
由知：当时才可能有两个零点，求得最小值，令，即可求得a的取值范围，然后分别找到两个零点所在的区间，说明存在两个零点．
【答案】解：由，
则
，
导函数中恒成立，
当时，恒成立，
所以在上有，
所以在上单调递减；
当时，令，，
令，解得，
在上，单调递减，
在上，单调递增．
综上可知：当时，在R单调递减，
当时，在是减函数，在是增函数；
若时，由可知：最多有一个零点，
所以不符合题意；
当时，，
函数有两个零点，的最小值必须小于0，
由知，，
，即，
令，，
所以在上单调递增，
又因为，
．
接下来说明时，存在两个零点：
当时，，，
此时，故，
又在上单调递减，，
故存在，使得，
当时，易证，
此时，
故，且满足，
又在上单调递增，，
故存在使得，
所以当时，存在两个零点．
综上所述，a的取值范围是． 记2，，，对数列和U的子集T，若，定义；若，定义例如：3，时，现设是公比为3的等比数列，且当时，．
求数列的通项公式；
对任意正整数，若2，，，求证：；
设，，，求证：．【解析】根据题意，由的定义，分析可得，计算可得，进而可得的值，由等比数列通项公式即可得答案；
根据题意，由的定义，分析可得，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；
设，，则，进而分析可以将原命题转化为证明，分2种情况进行讨论：、若，、若，可以证明得到，即可得证明．
本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．
【答案】解：当时，，
因此，从而，
故，
，
设，，则，
分析可得，，则，
因此原命题的等价于证明，
由条件，可得，
、若，则，故，
、若，由可得，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，
若，则其与相矛盾，
因为，所以，则，
，即，
综上所述，，
故．