2018高考真题数学文全国I-III卷（含答案）

1 2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 (全国Ⅰ卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝(　　)

A．{0，2}　　　　　　　 B．{1，2}　 

C．{0}　　　　　　　　 D．{－2，－1，0，1，2}

2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0 B．

C．1 D．

3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)

A. B．

C． D．

5．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π B．12π

C．8π D．10π

6．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x B．y＝－x

C．y＝2x D．y＝x

7．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－ B．－

C.＋ D．＋

8．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

9．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2 B．2

C．3 D．2

10．(2018·高考全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)

A．8 B．6

C．8 D．8

11．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A. B．

C． D．1

12．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)

C．(－1，0) D．(－∞，0)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．

14．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最大值为________．

15．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．

16．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式．

18．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q­ABP的体积．

19．(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)

20．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM＝∠ABN.

21．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当a≥时， f(x)≥0.

22．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

23．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

22018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 (全国 Ⅱ 卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2018·高考全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)

A．3－2i B．3＋2i

C．－3－2i D．－3＋2i

2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　)

A．{3} B．{5}

C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}

3．(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

4．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)

A．4 B．3

C．2 D．0

5．(2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)

A．0.6 B．0.5

C．0.4 D．0.3

6．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

7．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4 B．

C． D．2

8．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2

C．i＝i＋3 D．i＝i＋4

9．(2018·高考全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A. B．

C． D．

10．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A. B．

C． D．π

11．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)

A．1－ B．2－

C． D．－1

12．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A．－50 B．0

C．2 D．50

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．

14．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

15．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝________．

16．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

18．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

20．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

21．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

22．(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．

23．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．

32018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 (全国 Ⅲ 卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)

A．{0} B．{1}　　　

C．{1，2} D．{0，1，2}

2．(2018·高考全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i B．－3＋i

C．3－i D．3＋i

3．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

4．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A． B．

C．－ D．－

5．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3 B．0.4

C．0.6 D．0.7

6．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A. B．

C．π D．2π

7．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)

8．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2，6] B．[4，8]

C．[，3] D．[2，3]

9．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

10．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　)

A. B．2

C． D．2

11．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A． B．

C． D．

12．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)

A．12 B．18

C．24 D．54

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. (2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．

14. (2018·高考全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

15. (2018·高考全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是________．

16. (2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1, f(a)＝4，则f(－a)＝________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

18．(2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2＝，

19. (2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

20．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．

(1)证明：k<－；

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.

21．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时， f(x)＋e≥0.

22．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

23．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时， f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

2018年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷

1．解析：选A.由题意知A∩B＝{0，2}．

2．解析：选C.z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.

3．解析：选A.设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.

建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；

建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；

建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；

建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确．

4．解析：选C.不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.

5．解析：选B.因为过直线O1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π×2＝12π.

6．解析：选D.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.

7．解析：选A.由题可得＝＋＝－(＋)＋＝－.

8．解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

9．解析：选B.设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM＝2，ON＝4，则从M到N的最短路径为＝＝2.

10．解析：选C.连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，故该长方体的体积V＝2×2×2＝8.

11．解析：选B.由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝± ，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.

12．解析：选D.当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需或所以x<0，故选D.

13．解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.

答案：－7

14．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋2y＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B(2，0)时，直线z＝3x＋2y在y轴上的截距最大，z取得最大值，即当时，zmax＝3×2＋0＝6.

答案：6

15．解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.

答案：2

16．解析：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝ bcsin A＝××＝.

答案：

17．解：(1)由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

18．解：(1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.

又AB⊂平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.

又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.

作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.

由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.

因此，三棱锥Q­ABP的体积为

VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1.

19．解：(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48.

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．

20．解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．

所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.

由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.

直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①

将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，

可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.

综上，∠ABM＝∠ABN.

21．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.

由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.

从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.

当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.

所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．

(2)当a≥时，f(x)≥－ln x－1.

设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.

当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．

故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.

因此，当a≥时，f(x)≥0.

22．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点；当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

23．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝

故不等式f(x)>1的解集为.

(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；

若a>0，|ax－1|<1的解集为，所以≥1，故0<a≤2.

综上，a的取值范围为(0，2]．

2018年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷

1．解析：选D.i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.

2．解析：选C.因为集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{3，5}，故选C.

3．解析：选B.因为f(－x)＝＝－＝－f(x)(x≠0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)中心对称，排除选项A；因为f(1)＝e－>2，所以排除选项C，D，选B.

4．解析：选B.因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B.

5．解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.

6．解析：选A.因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A.

7．解析：选A.因为cos ＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.

8．解析：选B.由题意可将S变形为S＝－，则由S＝N－T，得N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋.据此，结合N＝N＋，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.

9．解析：选C.如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.故选C.

10．解析：选C.法一：f(x)＝cos x－sin x＝cos.当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.

法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin .于是，由题设得f′(x)≤0，即sin≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.

11．解析：选D.由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.

12．解析：选C.法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0，0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.

法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.

13．解：由题意知，y′＝，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.

答案：y＝2x－2

14．解析：法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值．联立，得解得所以B(5，4)，故zmax＝5＋4＝9.

法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数z＝x＋y可求得z的值是3，9，5，故zmax＝9.

答案：9

15．解析：法一：因为tan＝，

所以＝，即＝，解得tan α＝.

法二：因为tan＝，

所以tan α＝tan＝＝＝.

答案：

16．解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2.

故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.

答案：8π

17．解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2n－9.

(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.

所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

18．解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

＝99＋17.5×19＝256.5(亿元)．

(2)利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

19．解：(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，

所以OP⊥AC，且OP＝2.

连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，

且OB⊥AC，OB＝AC＝2.

由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.