2019-2020学年四川省成都市锦江区成都嘉祥外国语学校（锦江校区）八上期中数学试卷
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- 在 ，，，，，， 中，有理数的个数为
A． B． C． D．
- 下列说法不正确的是
A． 的平方根是 B． 是 的一个平方根
C． 的算术平方根是 D．
- 三角形的三边分别为 ，，，由下列条件不能判断它是直角三角形的是
A． ，， B．
C． D．
- 若 ， 为实数，且 ，点 的坐标是
A． B．
C． D．
- 在平面直角坐标系中，点 在第四象限，到 轴， 轴的距离分别为 ，，则点 的坐标为
A． B．
C． D．
- 关于 的一次函数 的图象不经过第三象限， 的取值范围是
A． B． C． D．
- 早餐店里，李明妈妈买了 个馒头， 个包子，老板少要 元，只要 元；王红爸爸买了 个馒头， 个包子，老板九折优惠，只要 元．若馒头每个 元，包子每个 元，则所列二元一次方程组正确的是
A． B．
C． D．
- 已知 ，，，，若 与 有交点，则 取值范围为
A． B．
C． D． 或
- 若实数 ，， 满足 ，且 ，则函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
- 如图，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 在直线 上运动，当 最大时点 的坐标为
A． B． C． D．
- 函数 中，自变量 的取值范围是 ．
- 将直线 向左平移 个单位，并向下平移 个单位所得的解析式为 ．
- 直线 和两坐标轴相交所围成的三角形面积为 ，则 值为 ．
- 中，，点 是 中点且 ，如果 面积为 ，则它周长为 ．
- 计算：．
- 解方程组．
(1)
(2)
(3) 解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
- 如图，图中的小方格都是边长为 的正方形，若 ，，，已知 ， 关于原点对称， 在二、四象限平分线上．
(1) 求 ，， 点的坐标．
(2) 结合 ，， 坐标画出坐标轴．
(3) 求出 的面积．
- 为了贯彻落实“精准扶贫”精神，某单位决定运送一批物资到某贫困村，货车自早上 时出发，行驶一段路程后发现未带货物清单，便立即以 的速度回返，与此同时单位派车去送清单途中相遇拿到清单后，货车又立即掉头并开到目的地，整个过程中，货车距离出发地的路程 与行驶时间 的函数图象如图示．
(1) 两地相距 千米，当货车司机拿到清单时，距出发地 千米．
(2) 试求出途中 段的函数表达式，并计算出中午 点时，货车离贫困村还有多少千米？
- 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 坐标为 , 点 坐标为 ，，， 满足
(1) 若 没有平方根，判断点 在第几象限并说明理由．
(2) 若点 到 轴的距离是点 到 轴距离的 倍，求点 的坐标．
(3) 点 的坐标为 ， 的面积是 面积的 倍，求点 的坐标．
- 如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，，点 在 轴上运动，连接 , 将 沿直线 折叠，点 的对应点记为 ．
(1) 求 ， 的值．
(2) 在 轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由．
(3) 若点 恰好落在直线 上，求 的面积．
- 若 ， , 则 ．
- 已知关于 的不等式组 只有 个整数解，则实数 的取值范围是 ．
- 我们知道：当 时，不论 取何实数，函数 的值为 ，所以直线 一定经过定点 ；同样，直线 一定经过的定点为 ．
- 在直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，按如图方式作正方形 、 、 ，，， 在直线 上，点 ，， 在 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 ，，， ，则 的值为 （用含 的代数式表示， 为正整数）．
- 如图，在平面直角坐标系 中，，，直线的函数关系式为 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是 ．
- 梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发，其中 品牌的批发价是每包 元， 品牌的批发价是每包 元，小王需购买 ， 两种品牌的龟苓膏共 包．
(1) 若小王按需购买 ， 两种品牌龟苓膏粉共用 元，则各购买多少包？
(2) 凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得 折优惠，会员卡费用为 元．若小王购买会员卡并用此卡按需购买 包龟苓膏粉，共用了 元，设 品牌买了 包，请求出 与 之间的函数关系式．
(3) 在（2）中，小王共用了 元，他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉，每包龟苓膏粉小王需支付邮费 元，若每包销售价格 品牌比 品牌少 元，请你帮他计算， 品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？
- 按要求解答以下问题：
(1) 问题背景：
如图 ，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ，且 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，可证 ，易得线段 ，， 之可的数量关系为 （直接填写）．
(2) 实践应用：
在平面直角坐标系中边长为 的正方形 的两顶点 ， 分别为 轴 轴的正半轴上， 在原点，现将正方形 绕点 按顺时针方向旋转，旋转角为 ，当点 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中， 边交直线 于点 ， 边交 轴于点 ，如图 ，设 的周长为 ，在旋转正方形 的过程中， 值是否有变化？请证明你的结论．
(3) 拓展研究：
如图 将正方形改为长与宽不相等的矩形，且 ，请你直接写出线段 ，， 之间的数量关系．
- 已知直线 与轴交于点 ．直线 与 轴交于点 ，直线 ， 交于点 ，且 点的横坐标为 ．
(1) 求直线 的解析式．
(2) 如图 ，过点 作 轴的垂线，若点 为垂线上的一个点； 是 轴上一动点，若 ，求此时点 的坐标．
(3) 若 在过 作 轴的垂线上，点 为 轴上的一个动点，当 的值最小时，求此时 的坐标．
(4) 如图 ，点 的坐标为 ，将直线 绕点 旋转，使旋转后的直线 刚好过点 ，过点 作平行于 轴的直线 ，点 ， 分别为直线 ， 上的两个动点，是否存在点 ，，使得 是以 点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. 【答案】B
【解析】有理数是：，，，，
有理数有 个．
故选B．
2. 【答案】C
3. 【答案】A
4. 【答案】C
【解析】 ，
，
，
．
故选C．
5. 【答案】A
【解析】 点 在第四象限，
，，
点 到 轴， 轴的距离分别为 ，，
，，
，，
点 的坐标为 ．
故选A．
6. 【答案】C
【解析】 函数 的图象不经过第三象限，
函数 的图象经过第一、二、四象限或二、四象限，
且 ，
解得 ．
故选C．
7. 【答案】B
【解析】若馒头每个 元，包子每个 元，由题意得：
，
故选B．
8. 【答案】B
【解析】如图，
由图可知：当 过点 时，，，
当 过点 时，，，
与 有交点，
．
故选B．
9. 【答案】B
【解析】 ，
其中需要 负 正或 正 负，
，
，，
过一、二、四象限．
故选B．
10. 【答案】B
【解析】如图：作 关于直线 对称点 ，易得 的坐标为 ；
连接 ，可得直线 的方程为 ；
求 与直线 的交点，可得交点坐标为 ；
此时 取得最大值，其他 ，， 不共线的情况，根据三角形三边的关系可得 ；
故答案为B．
11. 【答案】 且
【解析】 ，
，，
，，
且 ．
12. 【答案】
【解析】将直线 向左平移 个单位后变为 ，再向下平移 个单位可得 ．
13. 【答案】
【解析】 与 轴， 轴的交点坐标分别为：，，
当 时，则 ，
，
当 时，则 ，
，
综上 ．
故答案为：．
14. 【答案】
【解析】如图，
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，
，
的周长为 ．
故答案为：．
15. 【答案】
16. 【答案】
(1) ① 得：③ ②得：将 代入①得所以
(2) 由①得：将 代入②得：所以
(3) 解①得：解②得：所以画图如下．
17. 【答案】
(1) ，，．
(2) 画图见解析．
(3) ．
【解析】
(1) ， 关于原点对称， 在二、四象限平分线上，
，，
，，
，，
，，．
(2) 如图，
由 可知坐标，所以坐标轴如图所示．
(3)
18. 【答案】
(1) ；
(2) 设直线 的解析式为 ，
，，
解得
直线 的解析式为 ．
千米/小时．
【解析】
(1) 当 时，
所以两地相距 ．
，
所以货车司机拿到清单时，距出发地 千米．
故答案为：；．
19. 【答案】
(1) 没有平方根，
，
，
，
点 在第二象限．
(2)
① 得：
③ ②得：，
，
将④代入②得：，
，，
点 到 轴的距离是点 到 轴距离的 倍，
，
当 ，
解得 ，
则 ，
当 ，
解得 ，则 ．
综上所述 ．
(3) 由（）可知：，，
，且 与 轴平行，
， 的面积是 面积的 倍，
点 ，点 在 轴的右侧，即 ，
，
解得 或 ，
．
20. 【答案】
(1) ；
(2) ；；；
(3)
【解析】
(1) 将点 ，点 的坐标代入 得：
，．
(2) 设 ，
①当 时，
，， ,
当 ，即 时，
，，
，
当 ，即 时，
，，
；
②当 时，
两点关于原点对称，
；
③当 时，
，，
为等腰直角三角形，
当 时，， 两点重合，
综上所述：，，，．
(3) 如图，当点 在直线 上时，
设 ，
，，
，
在 中，
，
，
．
21. 【答案】
【解析】
，，
22. 【答案】
【解析】解不等式 得：，
解不等式 得：，
此不等式组有 个整数解，
这 个整数解为 ，， ,
的取值范围是 ，
当 时，不等式组的解集为 ，此时有 个整数解，舍去，
当 时，不等式组的解集为 ，此时有 个整数解，符合要求．
实数 的取值范围是 ．
23. 【答案】
【解析】根据题意， 可化为 ，
当 时，不论 取何实数，函数 的值为 ，
直线 一定经过的定点为 ．
24. 【答案】
【解析】
直线 ，当 时，，当 时，，
，，
，
，
，
．
，
，
同理得 ，，
．
25. 【答案】
【解析】因为 ，垂足为 ，直线的函数关系式为 ，
所以点 的轨迹为以 为直径的半圆 ，
连接 ，，
因为 ，
所以 ，
所以当 ，， 在同一直线上时， 的最小值为 ，
又因为 中，，，
所以 ，
所以 ，
所以 的最小值是 ．
26. 【答案】
(1) 设小王购买 ， 两种品牌龟苓膏粉分别为 包、 包．则有解得 所以小王购买 ， 两种品牌龟苓膏粉分别为 包， 包．
(2) ．
所以 与 之间的函数关系式为：．
(3) 由（2）得 ，解得：．
所以小王购买 品牌龟苓膏粉 包，则购买 品牌龟苓膏粉 包．
设销售 品牌龟苓膏粉的售价为 元，则销售 品牌龟苓膏粉的售价为（）元．
由题意可列式解得：所以 品牌的龟苓膏粉每包定价不低于 元时才不亏本．
27. 【答案】
(1)
(2) 没有变化，
方法一：
利用旋转角，
延长 交 轴于点 ．由 ，， 可证两个绿色三角形全等，由直线 可知 ，利用（）中方法易证黄蓝三角形全等，可得 ，则 ．
(3)
【解析】
(1) 由旋转，可知：，
，
．
，
．
(2) 方法二：
利用共顶点直角，
构造黄色三角形全等，进而 ，与方法一相同．
(3) 方法一：为了研究此问方便，统一表示 ，，，则 ．只需证明 或 即可，由后者我们也不难得出 这一延伸结论．
以下提供几条解决策略，同一策略下所做辅助线不同但思路相同的不再赘述．
策略一利用旋转，
由前两问的经验出发首先就会考虑旋转绿色三角形，全等后还有黄蓝两个三角形全等，为了进一步找到三条线段关系构造如图红色直角三角形：，
即 ．
方法二：
策略二利用对称，
两个黄色三角形关于 对称，可得两个绿色三角形也对称，再构造红色三角形使用勾股定理，思路过程与策略一相同．
方法三：
策略三化矩为方，
延长 ，与 ， 延长线交于 ，，不难看出 是一个等腰直角三角形，即正方形的一半，这里有我们熟知的正方形中半角模型的另一个结论：，易得 ，
如不能直接回忆起该结论，可以考虑绿色三角形全等，再得出 ，
最后在紫色三角形中使用勾股定理．
方法四：
策略四利用相似，
（方法一）由受到上图启发，构造 即可得到绿色三角形与 相似，则 ，即 ，
．
（方法二）由以 为顶点的三个角的关系可知 ，只要再构造一个 角 即可得黄绿两个三角形相似，则 ，即 ，
．
（方法三）既然知 ，搭配直角也是很方便的，这是做辅助线最少的方法了．蓝黄两个三角形相似可得 ，．
．
方法五：策略五巧找外心，
翻折 ，得到黄色正方形，由角的关系可知 ，即 为 的外心，在蓝色直角三角形中可得 ．
28. 【答案】
(1) 点 在直线 上，且横坐标为 ，
点 的坐标为：，
将点 的坐标代入 得：，，
直线 的解析式为：．
(2) 如图， 与 轴交于点 ，
直线 ，
，
，
设直线 的解析式为：，
将点 、点 的坐标代入得：
，
，
设点 ，
当点 在点 的上方时，即 时，
，，
．
当点 在点 的下方时，即 时，
，，
．
综上： 或 ．
(3) 如图，作点 关于 的对称点 ，
点 关于 轴的对称点 ，连接 ，，，
，，
，
，
设 的解析式为：，
将点 ，点 的坐标代入解析式得：
，
，
，
点 的坐标为 ．
(4) 如图过点 ， 分别作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线分别交于点 ，．
设直线 的解析式为：，
将点 ， 的坐标代入得：
，
设点 ，，
则 ，，
，，
，
在 与 中，
，
，，
，，
，，
，
当点 在 下方时，则 ，，
，，
．
综上，．
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