2017-2018学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校本部九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷

这是一份2017-2018学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校本部九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校本部九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1，0
2．（3分）某市大约有36万中小学生参加了“校园文明礼仪”的主题活动，将数据36万用科学记数法记成a×10n﹣1的形式后，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）下列因式分解中，正确的个数为（　　）
①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+4x+4＝（x+2）2；③﹣x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．（3分）若一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是2，方差是2，则另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．2，2 B．2，18 C．4，6 D．4，18
5．（3分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
6．（3分）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠FAD比∠FAE大48°，设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）关于x的不等式组恰好只有两个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜6 D．4＜a≤6
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°．以AB为直径的⊙O交AC于点D，则∠BOD的大小为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
9．（3分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）当直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点时，关于k的不等式a（k﹣2）﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜ B．a＜﹣1 C．a＜ D．a＞﹣1
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若2＜x＜3，化简的正确结果是　 　．
12．（3分）若a、b是方程x2﹣2013x+1＝0的两根，则代数式的值为　 　．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点P，且AB＝BD，AP＝4PC＝4，则cos∠ACB的值是　 　．

14．（3分）甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下　 　m．
15．（3分）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为　 　．

16．（3分）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，若△DQK的面积为2，则图中三个阴影部分的面积和为　 　．

17．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　 　．

18．（3分）通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2017个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2017个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为　 　．

三、解答题（共66分）
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）

20．（6分）当a为何值时，关于x的方程＝无解？
21．（6分）为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，王晓所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：
组别
分组
频数
频率
1
50≤x＜60
9
0.18
2
60≤x＜70
a
b
3
70≤x＜80
21
0.42
4
80≤x＜90
m
0.06
5
90≤x≤100
2
n
（1）a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　，n＝　 　．
（2）老师说：“王晓的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么王晓的测试成绩所在范围是　 　？
（3）若要从小明、小敏等几位成绩优秀（分数在80≤x≤100范围内为优秀）的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：几位同学请用A、B、C、D…表示，其中小明为A，小敏为B）

22．（8分）如图，点C是直径为4的半圆O上的一个动点（与A、B两点不重合），CD⊥AB于D，点P是线段AC的中点，设BD＝x，DP＝y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）如果∠B＝∠A，求BD的长．

23．（8分）菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．
（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．

24．（10分）我们规定：函数y＝（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a＝b＝0时，奇特函数y＝就是反比例函数y＝（k是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式为　 　，并判断它　 　（是/否）为奇特函数；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y＝的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；
（3）把反比例函数y＝的图象向右平移4个单位，再向上平移　 　个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；
（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，那么点P的坐标为　 　．

25．（10分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x2+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

26．（12分）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．


2017-2018学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校本部九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1，0
【分析】根据任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，进行进行解答．
【解答】解：根据平方根与立方根的性质，
一个数的平方根与它的立方根完全相同，
则这个数是0．
故选：C．
2．（3分）某市大约有36万中小学生参加了“校园文明礼仪”的主题活动，将数据36万用科学记数法记成a×10n﹣1的形式后，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据科学记数法将36万表示出来，由此即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵360000＝3.6×105＝3.6×10n﹣1，
∴5＝n﹣1，
解得：n＝6．
故选：D．
3．（3分）下列因式分解中，正确的个数为（　　）
①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+4x+4＝（x+2）2；③﹣x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：①x3+2xy+x＝x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4＝（x+2）2；正确；
③﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
4．（3分）若一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是2，方差是2，则另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．2，2 B．2，18 C．4，6 D．4，18
【分析】数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数比数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数的3倍少2；数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的方差是数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差的9倍，据此求解即可．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是2，
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数是：2×3﹣2＝4；

∵数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是2，
∴×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x6﹣2）2]＝2，
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的方差是：
×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x6﹣2﹣4）2]
＝×[9（x1﹣2）2+9（x2﹣2）2+…+9（x6﹣2）2]
＝×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x6﹣2）2]×9
＝2×9
＝18
∴另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数和方差分别是4，18．
故选：D．
5．（3分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．
【解答】解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正方形，
因此左视图的面积最小．
故选：C．
6．（3分）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠FAD比∠FAE大48°，设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由∠FAD比∠FAE大48°和∠DAB＝90°列出二元一次方程组．
【解答】解：设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°，y°，
根据题意∠FAD比∠FAE大48°，∠FAD+∠FAB＝90°，∠FAB＝2∠FAE，
列出二元一次方程组为：
．
故选：C．
7．（3分）关于x的不等式组恰好只有两个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜6 D．4＜a≤6
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据有2个整数解，求出a的取值范围．
【解答】解：解2x﹣1≤11得：x≤6，
解x+1＞a得：x＞a﹣1，
故不等式组的解集为：a﹣1＜x≤6，
∵关于x的不等式组恰好只有两个整数解，
∴两个整数为：5，6，
∴4≤a﹣1＜5，
解得：5≤a＜6．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°．以AB为直径的⊙O交AC于点D，则∠BOD的大小为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】由在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°，即可求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：D．
9．（3分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．
【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，
∵BE∥x轴，
∴点F纵坐标为，
∵点F是抛物线y＝x2上的点，
∴点F横坐标为x＝＝，
∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，
∵点D是抛物线y＝上的点，
∴点D横坐标为x＝＝2a，
∴AD＝a，BF＝a，CE＝a2，OE＝a2，
∴＝＝×＝．
故选：D．
10．（3分）当直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点时，关于k的不等式a（k﹣2）﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜ B．a＜﹣1 C．a＜ D．a＞﹣1
【分析】当直线y＝kx+2与函数y＝（x＞0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点，直线y＝kx+2与函数y＝﹣（x＜0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点，通过解方程求得k的值，即可求得符合题意的k的取值，然后解不等式即可求解．
【解答】解：当直线y＝kx+2与函数y＝（x＞0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点
故令kx+2＝（x＞0），
整理得，kx2+2x﹣1＝0，
令△＝22﹣4k•（﹣1）＝0，解得k＝﹣1；
直线y＝kx+2与函数y＝﹣（x＜0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点
故令kx+2＝﹣（x＜0），
整理得，kx2+2x+1＝0，
令△＝22﹣4k＝0，解得k＝1；
∴﹣1≤k≤1时，
∵a（k﹣2）﹣k＞0，
∵k＝﹣1，
∴a＜；
故选：C．

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若2＜x＜3，化简的正确结果是　1　．
【分析】根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并．
【解答】解：∵2＜x＜3，
∴|x﹣2|＝x﹣2，|3﹣x|＝3﹣x，
原式＝|x﹣2|+3﹣x
＝x﹣2+3﹣x
＝1．
故答案为：1．
12．（3分）若a、b是方程x2﹣2013x+1＝0的两根，则代数式的值为　﹣1　．
【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝2013＞0，ab＝1＞0，则a＞0，b＞0，再根据方程解的定义得到a2﹣2013a+1＝0，b2﹣2013b+1＝0，即2013a﹣1＝a2，2013b﹣1＝b2，所以原式＝，然后根据二次根式的性质化简后约分即可．
【解答】解：∵a、b是方程x2﹣2013x+1＝0的两根，
∴a+b＝2013＞0，ab＝1＞0，
∴a＞0，b＞0，
∵a、b是方程x2﹣2013x+1＝0的两根，
∴a2﹣2013a+1＝0，b2﹣2013b+1＝0，
∴2013a﹣1＝a2，2013b﹣1＝b2，
∴原式＝
＝
＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点P，且AB＝BD，AP＝4PC＝4，则cos∠ACB的值是　　．

【分析】作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD．可证明A、B、C、D四点共圆，根据相交弦定理得出PD，则计算出AB，由勾股定理得出BC，从而得出答案．
【解答】解：作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD，
由AB＝BD得E是AD的中点，因此OE是△ACD的一条中位线，从而O是AC的中点，
以O为圆心，OA为半径作圆，则由∠ABC＝∠ADC＝90°可知该圆经过A、B、C、D四点，
易知 AP＝4，PC＝1，AC＝AP+PC＝5，
因此，OA＝OC＝2.5．OP＝OC﹣PC＝1.5，
由BE∥CD得，BP：PD＝OP：PC＝1.5，
因此BP＝1.5PD，从而 AB＝BD＝BP+PD＝2.5PD，
由相交弦定理得 BP•PD＝AP•PC＝4，
即 1.5PD2＝4，
因此 PD2＝，
从而 AB2＝（2.5PD）2＝6.25PD2＝，
由勾股定理得
BC2＝AC2﹣AB2＝52﹣＝，
因此 BC＝，
∴cos∠ACB＝BC：AC＝．

14．（3分）甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下　240　m．
【分析】本题是行程问题，有三个基本量：路程、速度、时间．
关系式为：路程＝速度×时间．如果设甲上山速度为6x，则乙上山速度为4x．首先求出甲第三次到达山顶时所用时间，然后根据二人所行时间相等及他们速度之间的关系求出乙所在的位置是距离山脚的高度．
【解答】解：设甲上山速度为6x，则乙上山速度为4x，甲下山速度为9x，乙下山速度为6x．
甲第三次到达山顶时耗时+＝．
乙第一次上山所用时间：，
乙第一次下山所用时间：，
乙第二次上山所用时间：，
∴﹣﹣﹣＝，
则第二次下山路上行驶×6x＝120m，
所以此时乙所在的位置是距离山脚下360﹣120＝240m．
15．（3分）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为　226　．

【分析】由0+2＝1×2，2+10＝3×4，4+26＝5×6，6+50＝7×8，得出规律：左下和右下的两数和等于另外两数的积，即可得出a的值．
【解答】解：根据题意得出规律：14+a＝15×16，
解得：a＝226．
故答案为：226．
16．（3分）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，若△DQK的面积为2，则图中三个阴影部分的面积和为　26　．

【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥HF，再根据全等三角形对应边相等BC＝CE＝EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF＝3PC，KE＝2PC，所以PC＝DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠HFE，BC＝CE＝EF，
∴AC∥DE∥HF，
∴，，
∴KE＝2PC，HF＝3PC，
又DK＝DE﹣KE＝3PC﹣2PC＝PC，
∴△DQK≌△CQP（相似比为1）
设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，
则xh＝2，整理得xh＝4，
S△BPC＝x•2h＝xh＝4，
S四边形CEKQ＝×3x•2h﹣2＝3xh﹣2＝3×4﹣2＝12﹣2＝10，
S△EFH＝×3x•2h＝3xh＝12，
∴三个阴影部分面积的和为：4+10+12＝26．
故应填26．
17．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　．

【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．
【解答】解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接AA′，延长CD交AA′于点N，连接BD，DA′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵∠BDC＝∠ADB＝60°，
∴∠ADN＝60°，
∴∠A′DN＝60°，
∴∠ADB+∠ADA′＝180°，
∴A′，D，B在一条直线上，
由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE＝1，PF＝2，
∴PE+PF的最小值是3．
故答案为：3．

18．（3分）通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2017个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2017个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为　1346　．

【分析】它从C位置开始，滚过与它相同的其他2017个圆的上部，则该圆共滚过了2017段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2015段是半径为2r，圆心角为60度的弧长，所以可求得．
【解答】解：弧长＝＝1346πr，
所以来回总路程为：1346πr×2＝2692πr，
所以动圆C自身转动的周数为：2692πr÷2πr＝1346，
故答案为：1346圈．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）

【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG＝，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．

20．（6分）当a为何值时，关于x的方程＝无解？
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1）得：
a（x﹣1）＝x+2，
整理得：（a﹣1）x＝2+a，
（i）当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解；
（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x＝0或1，
当x＝0时，2+a＝0，即a＝﹣2；
当x＝1时，a﹣1＝2+a，无解，
即当a＝1或﹣2时原方程无解．
21．（6分）为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，王晓所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：
组别
分组
频数
频率
1
50≤x＜60
9
0.18
2
60≤x＜70
a
b
3
70≤x＜80
21
0.42
4
80≤x＜90
m
0.06
5
90≤x≤100
2
n
（1）a＝　15　，b＝　0.3　，m＝　3　，n＝　0.04　．
（2）老师说：“王晓的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么王晓的测试成绩所在范围是　70≤x＜80　？
（3）若要从小明、小敏等几位成绩优秀（分数在80≤x≤100范围内为优秀）的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：几位同学请用A、B、C、D…表示，其中小明为A，小敏为B）

【分析】（1）先利用第1组的频数除以它的频率得到调查的总人数，再计算出m、n、然后计算出b的值；
（2）分数由低到高，第25个数数据落在第3组，从而确定中位数所在的组别；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出小明、小敏同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为9÷0.18＝50（人），
∴m＝50×0.06＝3，
∴a＝50﹣9﹣21﹣3﹣2＝15，
b＝＝0.3，
n＝＝0.04；
故答案为15，0.3，3，0.04；
（2）王晓的测试成绩所在范围是70≤x＜80；
故答案为70≤x＜80；
（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2，
所以小明、小敏同时被选中的概率＝＝．
22．（8分）如图，点C是直径为4的半圆O上的一个动点（与A、B两点不重合），CD⊥AB于D，点P是线段AC的中点，设BD＝x，DP＝y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）如果∠B＝∠A，求BD的长．

【分析】（1）连接OP，由垂径定理得到OP与AC垂直，又CD与AB垂直，得到一对直角相等，再由∠A为公共角，根据两对对应角相等的三角形相似，得到三角形AOP与三角形ACD相似，由相似得比例，再由直角三角形ACD中，P为斜边AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AP＝PD＝y，由直径为4得到圆的半径OA＝2，且AD＝AB﹣BD＝4﹣x，分别把表示出的各条边代入得到的比例式中，即可得到y与x的关系式，根据x表示线段BD故x大于0，且负数没有平方根得到x小于4（D不与A、B重合，故x不等于4），从而得到函数的定义域；
（2）由∠B＝∠A得到∠A＝2∠B，而AP＝PD，根据等边对等角得到∠A＝∠PDA，故∠PDA＝2∠B，又∠PDA为三角形PDB的外角，根据三角形的外角性质得∠PDA＝∠B+∠BPD，等量代换得到∠BPD＝∠PBD，根据等角对等边得到PD＝BD，即y＝x，把（1）得到的函数关系式中y换为x，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到BD的长．
【解答】解：（1）连接OP，
∵P是AC的中点，
∴OP⊥AC，又CD⊥AB，
∴∠OPA＝∠CDA＝90°，又∠OAP＝∠CAD，
∴△AOP∽△ACD，
∴，
∵P为AC中点，
∴AP＝PC＝AC，又CD⊥AD，即△ADC为直角三角形，
∴DP＝AC，又AB＝4，DP＝y，BD＝x，
∴AC＝2y，AP＝y，AO＝2，AD＝4﹣x，
∴，
∴y＝（0＜x＜4）；

（2）当∠B＝∠A时，
∵AP＝DP，
∴∠A＝∠PDA，
∵∠B＝∠A，即∠A＝2∠B，
∴∠PDA＝2∠B，又∠PDA为△PDB的外角，
∴∠PDA＝∠B+∠BPD，
∴∠B＝∠BPD，
∴DP＝DB，
即y＝x，即x2+x﹣4＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴BD＝．

23．（8分）菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．
（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．

【分析】（1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA即可．
（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN＝BE，ON＝PD即可．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD
∵PD＝4，
∴PC＝6，
∵PB⊥CD，
∴PB⊥AB，
∴∠CPB＝∠ABP＝90°，
在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，
∴PB＝＝＝8，
在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，
∴PA＝＝＝2．
（2）△OMN是等腰三角形．
理由：如图2中，延长PM交BC于E．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CB＝CD，
∵PE⊥AC，
∴PE∥BD，
∴＝，
∴CP＝CE，
∴PD＝BE，
∵CP＝CE，CM⊥PE，
∴PM＝ME，
∵PN＝NB，
∴MN＝BE，
∵BO＝OD，BN＝NP，
∴ON＝PD，
∴ON＝MN，
∴△OMN是等腰三角形．


24．（10分）我们规定：函数y＝（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a＝b＝0时，奇特函数y＝就是反比例函数y＝（k是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式为　y＝．　，并判断它　是　（是/否）为奇特函数；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y＝的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；
（3）把反比例函数y＝的图象向右平移4个单位，再向上平移　2　个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；
（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，那么点P的坐标为　（2，+4）或（2+8，）　．

【分析】（1）只需运用矩形的面积公式就可求出函数关系式，从而解决问题；
（2）可先求出直线OB和直线CD的解析式，求出它们的交点E的坐标，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（3）只需将（2）中所求的奇特函数y＝转化为y＝2+，就可解决问题；
（4）将坐标原点平移到点M的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点P在点B的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点P在新坐标系下的坐标，就可求出点P在原坐标系下的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）＝8．
即3+y＝，
∴y＝﹣3＝．
故答案为：y＝，是．

（2）如图1，

由题意得：B（6，3）、D（3，0），
设直线OB的解析式为y＝mx，
则有6m＝3，
解得：m＝，
∴直线OB的解析式为y＝x．
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
把C（0，3），D（3，0）代入得，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3．
解方程组，得，
∴点E（2，1）．
将点B（6，3）和E（2，1）代入y＝得，
解得：，
∴奇特函数的表达式为y＝．

（3）∵y＝＝＝2+．
∴把反比例函数y＝的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，就可得到奇特函数y＝的图象；
故答案为：2．

（4）①若点P在点B的左边，如图2①，

以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系，
在该坐标系下该奇特函数的解析式为y′＝，点B的新坐标为（2，1）．
∵直线PQ与双曲线y′＝都是以点M为对称中心的中心对称图形，
∴MP＝MQ．
∵MB＝ME，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∴S▱BPEQ＝4S△BMP＝16，
∴S△BMP＝4．
过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H，
根据反比例函数比例系数的几何意义可得：
S△PGM＝S△BHM＝×2＝1，
∴S△BMP＝S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM＝S梯形BHGP＝4，
设点P在新坐标系中的坐标为（x′，），
则有S梯形BHGP＝（1+）•（2﹣x′）＝4，
解得x1′＝﹣4﹣2（舍去），x2′＝﹣4+2，
当x＝﹣4+2时，＝＝+2，
即点P在新坐标系中的坐标为（﹣4+2，+2），
∴点P在原坐标系中的坐标为（﹣4+2+4，+2+2）即（2，+4）；
②若点P在点B的右边，如图2②，

同理可得：
点P在原坐标系中的坐标为（4+2+4，﹣2+2）即（2+8，），
综上，满足条件的点P的坐标为（2，+4）或（2+8，）．
故答案为（2，+4）或（2+8，）．
25．（10分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x2+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

【分析】（1）由矩形的性质可求出C点的坐标，把B和C点的坐标代入y＝x2+bx+c求出b和c的值即可该抛物线解析式；设直线AD的解析式为y＝k1x+b1把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函数的解析式，再联立二次函数和一次函数的解析式即可求出F点的坐标；
（2）①连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小；②过M作MN⊥OA交OA于N，再分别讨论当PM＝HM时，M在PH的垂直平分线上，当PH＝PM时，求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3，
设直线AD的解析式为y＝k1x+b1
∵A（4，0）、D（2，3），
∴∴，
∴，
联立，
∵F点在第四象限，
∴F（6，﹣3）；
（2）①∵E（0，6），∴CE＝CO，（如图（1）），
连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y＝k2x+b2
∵C（0，3）、F（6，﹣3），
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+3
当y＝0时，x＝3，
∴H′（3，0），
∴CP＝3，∴t＝3；
②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴，
∴，
∴AN＝t，MN＝，
I如图3，当PM＝HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN＝PH，
∴MN＝，
∴t＝1；
II如图1，当HM＝HP时，MH＝3，MN＝，
HN＝OA﹣AN﹣OH＝4﹣2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2＝MH2，
∴，
即25t2﹣64t+28＝0，
解得：t1＝2（舍去），；
III如图2，图4，当PH＝PM时，
∵PM＝3，MT＝，PT＝BC﹣CP﹣BT＝|4﹣2t|，
∴在Rt△PMT中，MT2+PT2＝PM2，
即，
∴25t2﹣100t+64＝0，
解得：，
综上所述：，，1，．



26．（12分）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD＝∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF＝∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF＝∠DCO，＝，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．
【解答】解：（1）方法一：
过点E作EG⊥x轴于G点．
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA＝OC＝2，OD＝1，∠AOC＝∠DGE＝90°．
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠GDE＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠GDE．
在△OCD和△GED中，
∴△ODC≌△GED （AAS），
∴EG＝OD＝1，DG＝OC＝2．
∴点E的坐标为（3，1）．
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x＝2，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将C、E点的坐标代入解析式，得
．
解得，
抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+；

方法二：
过点E作EG⊥x轴于G点．
DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH＝90°，
EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH＝90°，
∴∠CDO＝∠DEH，DC＝DE，
∴△ODC≌△GED⇒DG＝OC＝2，EG＝OD＝1，
∴E（3，1），
∴9a+3b+2＝1，
∵﹣＝2，
抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+；

（2）方法一：
①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC＝OD＝1，
∴t＝1；
②若△PFD∽△COD，则∠DPF＝∠DCO，＝．
∴∠PCF＝90°﹣∠DCO＝90﹣∠DPF＝∠PDF．
∴PC＝PD，
∴DF＝CD．
∵CD2＝OD2+OC2＝22+12＝5，
∴CD＝，
∴DF＝．
∵＝，
∴PC＝PD＝×＝，
t＝，
综上所述：t＝1或t＝时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法二：
过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，
PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH＝90°，
GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH＝90°，
∴∠PFG＝∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，
∵PF⊥CD⇒KPF×KCD＝﹣1，
∴lCD：y＝﹣2x+2，
∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），
∴，
∴m＝，
∴F（，﹣），
∴＝，
∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
①，∴，∴t＝，
②，∴，∴t＝1，
综上所述：t＝1或t＝时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法三：
若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
则∠OCD＝∠PDF或∠ODC＝∠PDF，
①∠OCD＝∠PDF⇒PD∥OC，∴CP＝OD＝1，∴t＝1，
②∠ODC＝∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，
∴KOO′×KCD＝﹣1，
∴lCD：y＝﹣2x+2，
∴H（m，﹣2m+2），
∴﹣2×＝﹣1，
∴m＝，
∴H（，），
∵H为OO′中点，∴O′（，），
∴lO′D：y＝，
令y＝2，∴x＝，
即P（，2），
∴t＝．

（3）存在，
四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；
四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；
四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．


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