数学八年级上册1 探索勾股定理精练

这是一份数学八年级上册1 探索勾股定理精练，共16页。
A．5B．10C．D．28
2．（2021春•巴南区期中）直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（ ）
A．4B．C．4或D．4和
3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
4．（2021•临沂）如图，每一小格的长度为1，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）
A．B．C．2D．3
5．（2021春•朝阳区校级期中）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A．B．C．3D．或
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•普陀区校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝ ．
7．（2021春•台江区期中）图中A代表的是所在的正方形的面积，则A的值是 ．
8．（2021春•鼓楼区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线CD交AB于D且将△ABC平分为面积相同的两部分，线段CD长为 ．
9．（2021春•拱墅区校级月考）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是 ．
10．（2021春•西城区校级期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•开福区校级月考）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出的值．
12．（2021春•津南区月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
13．（2021春•东丽区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
14．（2020秋•门头沟区期末）如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．
15．（2021春•青山区期中）已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．
求这个直角三角形的斜边长．
2021年新初二数学北师大新版新课预习《1.1探索勾股定理》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•静海区月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．D．28
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】已知直角三角形的两条直角边，由勾股定理直接求斜边即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴根据勾股定理知，AB＝＝＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，关键是对定理的掌握和运用．
2．（2021春•巴南区期中）直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（ ）
A．4B．C．4或D．4和
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边就可以求出斜边．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边的长分别为3，5，
∴由勾股定理得：
第三边的长＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟练运用勾股定理是本题的关键．
3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
【考点】勾股定理的证明．
【专题】三角形；应用意识．
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
4．（2021•临沂）如图，每一小格的长度为1，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
AB＝＝＝＝2，
∵BC＝，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出AB的长，利用数形结合的思想解答．
5．（2021春•朝阳区校级期中）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A．B．C．3D．或
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】先分析得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．
【解答】解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，用勾股定理进行计算是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•普陀区校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝ 13 ．
【考点】勾股定理．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】与勾股定理求出斜边即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理，直接运用勾股定理解题即可，属于基础题，要熟练掌握．
7．（2021春•台江区期中）图中A代表的是所在的正方形的面积，则A的值是 225 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【分析】根据勾股定理可直接求解．
【解答】解：A所在正方形的面积为172﹣82＝225，
故答案为225．
【点评】本题主要考查考查勾股定理，勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，找我勾股定理是解题的关键．
8．（2021春•鼓楼区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线CD交AB于D且将△ABC平分为面积相同的两部分，线段CD长为 5 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，在根据S△ACD＝S△BCD得出D是直角三角形斜边的中点，得出CD＝．
【解答】解：∵AB为Rt△ABC的斜边，△ACD和△BCD的高均为△ABC的高，并设为h，
∵S△ACD＝S△BCD，
∴AD×h＝BD×h，
∴AD＝BD，
∴D为AB的中点，CD为直角三角形斜边上的中线，
∴CD＝AB，
∵AB＝＝＝10，
∴CD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查勾股定理和斜边上中线的应用，解题的关键是利用三角形的面积相等．
9．（2021春•拱墅区校级月考）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，则该四边形的面积是 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】延长DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB和OD，根据勾股定理求出OA和OC，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：延长DA和CB交于O，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠O＝30°，
∵AB＝4，DC＝5，
∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10，
由勾股定理得：OA＝＝4，OC＝＝5，
∴四边形ABCD的面积是S△OCD﹣S△OAB＝×OC×CD﹣×OA×AB＝×5×5﹣×4×4＝．
故答案为．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
10．（2021春•西城区校级期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：AB＝5，根据三角形等面积法S△ABC＝AB•CD＝AC×3＝3，即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理可知：AB＝5，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC×3＝3，
∴CD＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于中等题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•开福区校级月考）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出的值．
【考点】规律型：图形的变化类；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；空间观念；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根据（1）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解．
【解答】解：（1）结合已知数据，可得：Sn＝；
故答案为：；
（2）∵；
；
；
……
∴OA102＝＝10；
∴OA10＝．
故答案为：．
（3）
＝+++
＝+++
＝2×（﹣+﹣+﹣）
＝2×
＝2﹣2．
【点评】本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识．
12．（2021春•津南区月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝＝＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝＝＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．
13．（2021春•东丽区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；
（2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3，
∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16，
∴CD＝4．
（2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48，
∴AD＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+3．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14．（2020秋•门头沟区期末）如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，DE＝CE，结合∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，进而可得出AE＝BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的长，即BD+DC＝4，结合BD﹣DC＝1可求出DC的长．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE．
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（4）2，
∴BE＝4，
∴BD+DC＝4．
又∵BD﹣DC＝1，
∴DC+1+DC＝4，
∴DC＝2．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．
15．（2021春•青山区期中）已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．
求这个直角三角形的斜边长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣），
∴斜边长＝＝．
【点评】本题主要考查勾股定理，比较简单，熟练掌握勾股定理运算是解题的关键．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
4．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
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日期：2021/7/2 9:05:32；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867