数学九年级上册1 菱形的性质与判定当堂检测题

这是一份数学九年级上册1 菱形的性质与判定当堂检测题，共20页。

2021年新初三数学北师大新版新课预习《1.1菱形的性质与判定》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．（2021•乐山）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（　　）

A． B． C．2 D．
3．（2021•成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）

A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
4．（2021春•海淀区校级期中）菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．（2021春•沙坪坝区校级月考）下列说法中不正确的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．菱形的对角线互相垂直且相等
二．填空题（共5小题）
6．（2021•铁岭二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　 　．

7．（2021春•裕华区校级期末）已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是　 　，面积是　 　．
8．（2021春•阳谷县期末）菱形的两条对角线的长分别为a，b，面积为s，则菱形的面积可表示为 　 　．
9．（2021•北海一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为　 　．

10．（2021春•虹口区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AB＝AE，则∠B＝　 　．

三．解答题（共5小题）
11．（2021春•大兴区期中）已知：如图，点F在△ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．
求证：四边形ABEF是菱形．

12．（2021•张家界模拟）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

13．（2021春•天心区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE为菱形；
（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．

14．（2020秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．

15．（2020•延边州二模）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．


2021年新初三数学北师大新版新课预习《1.1菱形的性质与判定》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【考点】菱形的性质；轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的基本性质并能正确分析推理是解题的关键．
2．（2021•乐山）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（　　）

A． B． C．2 D．
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】设AC交BD于O，根据已知可得AC＝2，而PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，即可得到答案．
【解答】解：设AC交BD于O，如图：

∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，
Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，
∴AC＝2OA＝2，
Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，
Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，
∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，
∴PE﹣PF＝，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC，把PE﹣PF转化为AC．
3．（2021•成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）

A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【考点】全等三角形的判定；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
4．（2021春•海淀区校级期中）菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求解即可．
【解答】解：设另一条对角线长为xcm，
则×6•x＝12，
解得x＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
5．（2021春•沙坪坝区校级月考）下列说法中不正确的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．菱形的对角线互相垂直且相等
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】利用平行四边形的性质和菱形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，对角相等，
∴选项A，C不符合题意，
∵菱形的四边相等，对角线互相垂直平分，
∴选项B不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解决问题是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•铁岭二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　36°　．

【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由正五边形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度数，由菱形ABCF可得，∠ABC和∠BAF互补，继而求得∠BAF的度数，从而求出∠FAE的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝108°，
∵四边形ABCF是菱形，
∴∠ABC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，
∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了正五边形的性质与菱形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2021春•裕华区校级期末）已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是　20　，面积是　24　．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形的四条边都相等求解即可；
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴两对角线的一半分别为3、4，
由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，
所以，菱形的周长＝4×5＝20；
面积＝×6×8＝24．
故答案为：20；24．
【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分以及菱形的面积的求解．
8．（2021春•阳谷县期末）菱形的两条对角线的长分别为a，b，面积为s，则菱形的面积可表示为 　ab　．
【考点】列代数式；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】根据菱形的两条对角线互相垂直平分得出AC⊥BD，OA＝OC＝a，再由菱形的面积S＝S△ABD+S△CBD，根据三角形的面积＝底×高，代入即可得出答案．
【解答】解：如图．

∵四边形ABCD是菱形，AC＝a，BD＝b，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝a，
∴菱形的面积S＝S△ABD+S△CBD＝BD•OA+BD•OC＝b•a+b•a＝ab．
故答案为ab．
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形面积公式，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．
9．（2021•北海一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为　40　．

【考点】三角形中位线定理；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】由三角形中位线定理可求AB＝10，由菱形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故答案为：40．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．
10．（2021春•虹口区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AB＝AE，则∠B＝　80°　．

【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】因为等边三角形△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB＝AE，AF＝AD，根据邻角之和为180°即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB＝AE，AF＝AD，
设∠B＝x，则∠BAD＝180°﹣x，
∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x，
又∵∠BAE+∠EAF+∠FAD＝∠BAD
即180°﹣2x+180°﹣2x+60°＝180°﹣x
解得x＝80°，
故答案为：80°
【点评】本题考查了正三角形各内角为60°、各边长相等的性质，考查了菱形邻角之和为180°的性质，本题中根据关于x的等量关系式求x的值是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•大兴区期中）已知：如图，点F在△ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．
求证：四边形ABEF是菱形．

【考点】菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先由已知条件证得四边形ABEF是平行四边形，再由AB＝AF可得▱ABEF是菱形．
【解答】证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解决问题的关键．
12．（2021•张家界模拟）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
13．（2021春•天心区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE为菱形；
（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．

【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC＝2DE，由已知条件得出EF＝BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF＝BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF＝CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF＝CE＝8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴EF∥BC，
∵BE＝2DE，
∴BC＝BE，
∵EF＝BE，
∴EF＝BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE为菱形；
（2）解：作CM⊥DF于M，如图所示：
由（2）得：四边形BCFE为菱形，
∴EF＝CF，
∵∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF＝CE＝8，
∴CM＝CF•sin60°＝8×＝4，
∴四边形BCFE的面积＝EF•CM＝8×4＝32．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF是等边三角形是解决问题（2）的突破口．
14．（2020秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．

【考点】等腰三角形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
15．（2020•延边州二模）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．

【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵菱形ABCD，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
7．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

8．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
9．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
10．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

11．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
12．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/7/2 9:42:42；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867