北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题

这是一份北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题，共12页。
2021年新初三数学北师大新版新课预习《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•顺义区二模）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
3．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
4．（2021•邵阳县模拟）已知关于x的方程x2+nx+1+2n＝0的一个解为﹣1，则它的另一个解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
5．（2021春•包河区期中）方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•江阴市期中）已知m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m+n＝　 　．
7．（2021•无锡模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　 　．
8．（2021春•诸暨市月考）写出一个两根是互为相反数的一元二次方程　 　．
9．（2021•南关区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　 　．（写出一个即可）
10．（2021春•东湖区校级月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，则＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
12．（2021春•阜阳月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0的一个根是1，求m的值及另一个根．
13．（2021•黄石模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
14．（2020秋•兖州区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
15．（2020秋•郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．

2021年新初三数学北师大新版新课预习《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•顺义区二模）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】解题方法；方程与不等式；应用意识．
【分析】根据根的判别式得到△＝a2﹣4×1×1＞0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
【解答】解：根据题意得△＝a2﹣4×1×1＞0，解的a＞2或a＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程无实数根．
2．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】常规题型；数感．
【分析】先根据方程的根的判别式，再根据a的范围进行判断判别式的情况即可得出方程根的情况．
【解答】解：方程根的判别式△＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
∵a＞2，
∴（a﹣2）2＞0，即△＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题关键．
3．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】判别式法；运算能力．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
4．（2021•邵阳县模拟）已知关于x的方程x2+nx+1+2n＝0的一个解为﹣1，则它的另一个解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出n值，再结合两根之和等于，即可求出方程的另一个解．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得：（﹣1）2+（﹣1）n+1+2n＝0，
∴n＝﹣2，
∴原方程的另一个解为﹣n﹣（﹣1）＝2+1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
5．（2021春•包河区期中）方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x1+x2的值．
【解答】解：∵方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•江阴市期中）已知m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m+n＝　﹣1　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】由根与系数的关系：m+n＝﹣即可．
【解答】解：∵已知m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，直接代入公式即可．
7．（2021•无锡模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于﹣，即可求出m+n的值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
8．（2021春•诸暨市月考）写出一个两根是互为相反数的一元二次方程　x2﹣1＝0　．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根与系数的关系得到一元二次方程的一次系数为0，然后写出满足条件的方程．
【解答】解：∵两根互为相反数的一元二次方程的一次系数为0，
∴满足条件的一元二次方程为x2﹣1＝0．
故答案为x2﹣1＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．（2021•南关区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　0　．（写出一个即可）
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．（2021春•东湖区校级月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，则＝　﹣　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据题意即可得出：m+n＝2，mn＝﹣4，从而可得出的值．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣4，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【解答】解：（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
12．（2021春•阜阳月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0的一个根是1，求m的值及另一个根．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】由根的定义求出m的值，解方程可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0的一个根是1，
∴m﹣（m﹣4）﹣2m＝0，
解得m＝2，
当m＝2时，方程为x2+x﹣2＝0，
解得，x1＝1，x2＝﹣2，
∴m的值为2，另一根为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．（2021•黄石模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）假设存在实数m，使方程两实数根的倒数和为2，根据根与系数的关系即可求出m的值．
【解答】解：（1）关于x的方程＝0有两个不相等的实数根
∴，
解得m＞﹣1且m≠0
（2）假设存在实数m，使方程两实数根的倒数和为2
设方程＝0的两根为x1、x2
∴，，，
∴x1+x2＝2x1x2
即，
解得
∴不存在实数m使方程两根的倒数和为2
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．
14．（2020秋•兖州区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（m+1）＞0，然后解关于m的不等式即可；
（2）当m＝﹣1时，方程变形为x2﹣4x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（m+1）＞0，
解得m＜3；
（2）当m＝﹣1时，方程变形为x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝0，x2＝4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
15．（2020秋•郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）依照题意，找出k值，进而可得出原方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞﹣2且k≠﹣1，
∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．
（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，
∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据题意，确定k的值．

考点卡片
1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
3．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
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日期：2021/7/2 9:51:44；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867