初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课堂检测，共20页。试卷主要包含了2的图象上等内容，欢迎下载使用。
2021年新初三数学人教新版新课预习《22.2二次函数与一元二次方程》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•越秀区一模）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
2．（2021•广东模拟）直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
3．（2021•江岸区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（0，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）
4．（2020秋•郫都区期末）抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标分别为（　　）
A．﹣3，﹣4 B．3，4 C．﹣3，4 D．3，﹣4
5．（2020秋•马鞍山期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•双流区期末）二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，c＝　 　．
7．（2020秋•太湖县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为　 　．

8．（2021•大连模拟）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为 　 　．

9．（2021•建邺区一模）下列关于二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与x轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．其中所有正确结论的序号是　 　．
10．（2020秋•呼和浩特期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＞0时，对应的x的取值范围为　 　．

三．解答题（共5小题）
11．（2021•姑苏区一模）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
12．（2021•宁波模拟）已知抛物线C1的解析式为y＝x2+x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线C1平移得到抛物线C2，且C2经过C1上一点P（2，m）C2交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C2的解析式；
（3）将抛物线C1沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．

13．（2020秋•越秀区校级期中）已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，﹣2），且经过点（0，﹣）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围．
14．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

15．（2019秋•苏州期末）如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．


2021年新初三数学人教新版新课预习《22.2二次函数与一元二次方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•越秀区一模）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
【考点】根的判别式；根与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；模型思想．
【分析】令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，当p＝0时，得到方程的两根，分当p≠0时，当p＝﹣1时，当p＝3时，得y的函数式，根据题意画出图象，继而得到问题的答案．
【解答】解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当p＝﹣1时，y＝p2；
当p＝3时，y＝p2；
如图所示：

y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
【点评】此题考查的是抛物与x轴的交点问题，掌握根与系数的关系，能够正确画出图形是解决此题关键．
2．（2021•广东模拟）直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【考点】一次函数的性质；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【分析】由直线y＝x+2m经过第一、三、四象限可得，2m＜0，再由△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，可判断抛物线与x轴无交点．
【解答】解：∵直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，二次函数图象与x轴交点的个数问题；熟记一次函数过象限时k，b的正负，并了解如何判断抛物线与x轴交点个数是解题基础．
3．（2021•江岸区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（0，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）
【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】将已知抛物线解析式转化为交点式进而得出另一个交点坐标．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，需要掌握抛物线解析式的三种形式间的转化，且弄清楚解析式的三种形式的意义．
4．（2020秋•郫都区期末）抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标分别为（　　）
A．﹣3，﹣4 B．3，4 C．﹣3，4 D．3，﹣4
【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据抛物线解析式直接得到答案．
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）知，该抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，此题是根据抛物线交点式表达式求得抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标，二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．属于基础题．
5．（2020秋•马鞍山期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•双流区期末）二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，c＝　　．
【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4c＝0，然后解关于c的方程即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△＝（﹣3）2﹣4c＝0，
∴c＝．
故答案为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
7．（2020秋•太湖县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为　x1＝﹣1，x2＝3　．

【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点．
【解答】解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则
＝1，
解得，x＝3，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣1，x2＝3．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）间的转换．
8．（2021•大连模拟）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为 　3　．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；三角形；运算能力；应用意识．
【分析】根据抛物线y＝﹣x2﹣x+，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，从而可以得到点A、B、C的坐标，然后即可得到AB和OC的长，从而可以求得△ABC的面积．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，
∴△ABC的面积为：＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是求出点A、B、C的坐标，利用数形结合的思想解答．
9．（2021•建邺区一模）下列关于二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与x轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】①根据系数即可判断，②代入即可判断，③判断△值即可，④代入顶点坐标即可．
【解答】解：①抛物线系数a＝1，
∴开口向上正确；
②当x＝1时代入抛物线解析式y＝12﹣（m+1）×1+m＝0，
∴该函数图象一定经过点（1，0）正确；
③令x2﹣（m+1）x+m＝0，
△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2，
当m＝1时该函数图象与x轴只有一个公共点，
故该函数图象与x轴有两个公共点不正确；
④∵y＝x2﹣（m+1）x+m＝（x﹣）2+，
∴二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的顶点坐标为（，），
又∵＝﹣＝﹣（﹣1）2，
∴函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上正确，
故答案为①②④．
【点评】本题主要考查二次函数的知识，熟练掌握二次函数和方程之间的关系是解题的关键．
10．（2020秋•呼和浩特期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＞0时，对应的x的取值范围为　x＜﹣1或x＞2　．

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y＞0时，x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，
当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
故答案是：x＜﹣1或x＞2．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•姑苏区一模）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
【考点】二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x＝，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围≤x≤2，当x＝时，得到m＝﹣+，当x＝时，得到n＝﹣﹣+，即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴，
∴或；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤x＝≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣+，
当x＝时，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
12．（2021•宁波模拟）已知抛物线C1的解析式为y＝x2+x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线C1平移得到抛物线C2，且C2经过C1上一点P（2，m）C2交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C2的解析式；
（3）将抛物线C1沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．

【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】（1）分别令x＝0求出y，令y＝0求出x即可．
（2）根据以及求出Q点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）①列出方程组根据△＝0求解．②由图象可知向下平移便可以确定抛物线顶点的横坐标的范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，
故A（﹣4，0），B（﹣2，0），
当x＝0时，y＝2，故C（0，2）．
（2）设平移后的抛物线C2为：y＝x2+bx+c．
∵x＝2
∴y＝＝6，
∴P（2，6），
∵PQ与y轴的夹角为45°，
∴Q1（0，8），Q2（0，4），
①将P（2，6），Q1（0，8）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴抛物线C2为y＝x2﹣x+8．
②将P（2，6），Q2（0，4）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴抛物线C2为y＝x2+x+4．
（3）由题意可知直线AC为：y＝x+2，直线BC为y＝x+1，
∵抛物线沿直线BC平移，抛物线y＝x2+x+2的顶点为（﹣3，﹣），
∴可以设平移后的抛物线为y＝（x+3﹣m）2+m﹣，
①由消去y得x2+（1﹣）x+m2﹣＝0，
由题意：△＝0，（1﹣）2﹣4×＝0，解得m＝2，
此时抛物线为y＝（x+1）2+，
∴抛物线顶点的横坐标为﹣1．
②由图象可知将抛物线C1沿直线BC向下平移抛物线与射线AC也只有一个交点，当抛物线经过点A（﹣4，0）时，
＝0，解得m＝﹣6（或0舍弃），
∵m＝﹣6时，顶点的横坐标是﹣9
∴平移后的抛物线顶点的横坐标为x，则﹣9≤x＜﹣3．
综上所述满足条件的抛物线横坐标W为x，则x＝﹣1或﹣9≤x＜﹣3．

【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的平移等有关知识，要求学会求抛物线与坐标轴的交点坐标，会利用判别式确定两个函数的交点个数．
13．（2020秋•越秀区校级期中）已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，﹣2），且经过点（0，﹣）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的性质作答．
【解答】解：（1）设该抛物线解析式是：y＝a（x+1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，﹣）代入，得
a（0+1）2﹣2＝﹣，
解得a＝．
故该抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．

（2）由（1）知，抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．
由y＝（x+1）2﹣2＝（x﹣1）（x+3）＝0知，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（﹣3，0），且抛物线开口向上，
如图，

所以，当二次函数的图象位于x轴下方时，自变量x的取值范围是：﹣3＜x＜1．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，难度不大，需要掌握抛物线的增减性．
14．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

【考点】根的判别式；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）由△＞0即可列不等式得到答案；
（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
15．（2019秋•苏州期末）如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．

考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
7．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
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日期：2021/7/2 9:39:31；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867