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初中数学人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角精练
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这是一份初中数学人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角精练，共15页。
2021年新初二数学人教新版新课预习《11.2与三角形有关的角》
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•涪城区校级月考）如果三角形三个内角分别是x°，x°，y°，则下列结论正确的是（ ）
A．x+2y＝180 B．2x+y＝180 C．2x﹣y＝180 D．3x+y＝180
2．（2021春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（ ）
A．45° B．65° C．60° D．75°
3．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2021春•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共5小题）
6．（2021•南海区四模）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 ．
7．（2021春•普陀区校级月考）在直角三角形中，一个锐角为40°，那么另一个锐角为 度．
8．（2021•姜堰区二模）如图，在△ABC中，∠C＝55°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于F，若∠1＝115°，则∠B的度数为 °．
9．（2021•昌平区二模）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝ ．
10．（2021春•道县期中）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，则∠B＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•泰兴市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；
②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．
12．（2021春•贺兰县期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
13．（2021春•福田区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
14．（2020秋•香洲区期末）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
15．（2020秋•崆峒区期末）如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠DBC的度数．
2021年新初二数学人教新版新课预习《11.2与三角形有关的角》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•涪城区校级月考）如果三角形三个内角分别是x°，x°，y°，则下列结论正确的是（ ）
A．x+2y＝180 B．2x+y＝180 C．2x﹣y＝180 D．3x+y＝180
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】三角形的内角和等于180°，直接将三个内角相加即可．
【解答】解：∵三角形三个内角分别是x°，x°，y°，
∴x+x+y＝180（三角形的内角和等于180°），
∴2x+y＝180．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，是基础知识，直接相加即可得到答案．
2．（2021春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（ ）
A．45° B．65° C．60° D．75°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】先根据题意得出MD是线段BC的垂直平分线，故可得出CD＝BD，即∠B＝∠BCD，再由∠B＝30°、∠A＝45°知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°根据∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得答案．
【解答】解：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作的弧交BC于点M，
∴MD是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD＝30°．
∵∠B＝30°，∠A＝5＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝105°﹣30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
3．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】对顶角、邻补角；直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】先求出α的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出β的度数．
【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，
∵l1⊥l3，
∴∠2＝90°．
∵∠β是三角形的外角，
∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角和三角形外角的性质，比较简单，属于基础题．
4．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠BCA＝∠O+∠OBC，∠O＝90°，
∴90°＜6x＜180°，
∴15°＜x＜30°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．（2021春•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•南海区四模）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 75° ．
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为15°，
∴另一个锐角＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
7．（2021春•普陀区校级月考）在直角三角形中，一个锐角为40°，那么另一个锐角为 50 度．
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
8．（2021•姜堰区二模）如图，在△ABC中，∠C＝55°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于F，若∠1＝115°，则∠B的度数为 60 °．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】根据互补求出∠CFD的度数，再利用两直线平行同位角相等得到∠A的度数，最后根据三角形内角和即可求出∠B．
【解答】解：∵∠1+∠CFD＝180°，
∴∠CFD＝180°﹣∠1＝65°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CFD＝65°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°
∴∠B＝180°﹣65°﹣55°＝60°．
故答案为60．
【点评】本题主要考查了互补，平行线的性质和三角形内角和，涉及的知识点虽多，但难度不大，找准角之间的关系即可．
9．（2021•昌平区二模）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝ 60° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据已知条件得到∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，根据角的和差得到∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，由外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，
∴∠BFE＝∠FAE+∠E＝15°+45°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
10．（2021春•道县期中）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，则∠B＝ 36° ．
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠A的度数可得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝54°，
∴∠B＝90°﹣54°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•泰兴市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；
②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A画BC边上的高AD即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；
（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．
【解答】（1）如图所示；
（2）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝15°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠BAE＝35°．
【点评】此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形．
12．（2021春•贺兰县期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．
【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键．
13．（2021春•福田区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
【考点】角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由AD⊥BC，∠B＝60°及三角形内角和定理可求出∠BAD＝30°，再由∠DAE＝10°及AE平分∠BAC可求出∠BAC＝80°，在△ABC中由三角形内角和定理进而求得∠C为40°．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，
∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，
∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
答：∠C的度数是40°．
【点评】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，熟记角平分线的定义和三角形的内角和定理即可．
14．（2020秋•香洲区期末）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ANC＝∠B+∠BAN，
∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°，
∵AN是∠BAC角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAN＝60°，
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
15．（2020秋•崆峒区期末）如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠DBC的度数．
【考点】角平分线的定义；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ABD的度数，再结合角平分线的定义可得出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣60°＝20°．
又∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
7．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
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日期：2021/7/2 8:58:47；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新初二数学人教新版新课预习《11.2与三角形有关的角》
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•涪城区校级月考）如果三角形三个内角分别是x°，x°，y°，则下列结论正确的是（ ）
A．x+2y＝180 B．2x+y＝180 C．2x﹣y＝180 D．3x+y＝180
2．（2021春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（ ）
A．45° B．65° C．60° D．75°
3．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2021春•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共5小题）
6．（2021•南海区四模）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 ．
7．（2021春•普陀区校级月考）在直角三角形中，一个锐角为40°，那么另一个锐角为 度．
8．（2021•姜堰区二模）如图，在△ABC中，∠C＝55°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于F，若∠1＝115°，则∠B的度数为 °．
9．（2021•昌平区二模）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝ ．
10．（2021春•道县期中）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，则∠B＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•泰兴市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；
②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．
12．（2021春•贺兰县期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
13．（2021春•福田区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
14．（2020秋•香洲区期末）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
15．（2020秋•崆峒区期末）如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠DBC的度数．
2021年新初二数学人教新版新课预习《11.2与三角形有关的角》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•涪城区校级月考）如果三角形三个内角分别是x°，x°，y°，则下列结论正确的是（ ）
A．x+2y＝180 B．2x+y＝180 C．2x﹣y＝180 D．3x+y＝180
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】三角形的内角和等于180°，直接将三个内角相加即可．
【解答】解：∵三角形三个内角分别是x°，x°，y°，
∴x+x+y＝180（三角形的内角和等于180°），
∴2x+y＝180．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，是基础知识，直接相加即可得到答案．
2．（2021春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（ ）
A．45° B．65° C．60° D．75°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】先根据题意得出MD是线段BC的垂直平分线，故可得出CD＝BD，即∠B＝∠BCD，再由∠B＝30°、∠A＝45°知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°根据∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得答案．
【解答】解：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作的弧交BC于点M，
∴MD是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD＝30°．
∵∠B＝30°，∠A＝5＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝105°﹣30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
3．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】对顶角、邻补角；直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】先求出α的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出β的度数．
【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，
∵l1⊥l3，
∴∠2＝90°．
∵∠β是三角形的外角，
∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角和三角形外角的性质，比较简单，属于基础题．
4．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠BCA＝∠O+∠OBC，∠O＝90°，
∴90°＜6x＜180°，
∴15°＜x＜30°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．（2021春•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•南海区四模）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 75° ．
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为15°，
∴另一个锐角＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
7．（2021春•普陀区校级月考）在直角三角形中，一个锐角为40°，那么另一个锐角为 50 度．
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
8．（2021•姜堰区二模）如图，在△ABC中，∠C＝55°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于F，若∠1＝115°，则∠B的度数为 60 °．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】根据互补求出∠CFD的度数，再利用两直线平行同位角相等得到∠A的度数，最后根据三角形内角和即可求出∠B．
【解答】解：∵∠1+∠CFD＝180°，
∴∠CFD＝180°﹣∠1＝65°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CFD＝65°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°
∴∠B＝180°﹣65°﹣55°＝60°．
故答案为60．
【点评】本题主要考查了互补，平行线的性质和三角形内角和，涉及的知识点虽多，但难度不大，找准角之间的关系即可．
9．（2021•昌平区二模）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝ 60° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据已知条件得到∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，根据角的和差得到∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，由外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，
∴∠BFE＝∠FAE+∠E＝15°+45°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
10．（2021春•道县期中）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，则∠B＝ 36° ．
【考点】直角三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠A的度数可得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝54°，
∴∠B＝90°﹣54°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•泰兴市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；
②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A画BC边上的高AD即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；
（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．
【解答】（1）如图所示；
（2）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝15°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠BAE＝35°．
【点评】此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形．
12．（2021春•贺兰县期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．
【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键．
13．（2021春•福田区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
【考点】角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由AD⊥BC，∠B＝60°及三角形内角和定理可求出∠BAD＝30°，再由∠DAE＝10°及AE平分∠BAC可求出∠BAC＝80°，在△ABC中由三角形内角和定理进而求得∠C为40°．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，
∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，
∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
答：∠C的度数是40°．
【点评】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，熟记角平分线的定义和三角形的内角和定理即可．
14．（2020秋•香洲区期末）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ANC＝∠B+∠BAN，
∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°，
∵AN是∠BAC角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAN＝60°，
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
15．（2020秋•崆峒区期末）如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠DBC的度数．
【考点】角平分线的定义；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ABD的度数，再结合角平分线的定义可得出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣60°＝20°．
又∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
7．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
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