2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷2

这是一份2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷2，共49页。
2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2021•东营）下列运算结果正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
C．（3x3）2＝6x6 D．
2．（2021春•阳谷县期末）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）

A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
4．（2021春•郑州期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（　　）
A．2：3：2：3 B．2：3：3：2 C．2：2：1：1 D．1：2：3：4
5．（2021•台湾）如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（　　）

A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
6．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
7．（2021春•西湖区期末）下列计算中，正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．（m3）2＝m5
C．m+m2＝2m3 D．﹣m3+3m3＝2m3
8．（2021•郴州模拟）某商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（　　）
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
520
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
9．（2021•江阴市模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y＝kx+1与y轴的交点，点B在直线y＝kx+1上，若点A关于直线y＝kx+1的对称点A′恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（　　）

A．﹣2＜t＜2 B．﹣2＜t＜2
C．﹣2＜t＜﹣2或2＜t＜2 D．以上答案都不对
10．（2019春•永春县期末）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝x﹣[x]的图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021春•莆田期末）使代数式有意义的x的取值范围是 　 　．
12．（2021春•西湖区期末）已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 　 　．
13．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　．

14．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　 　（填入正确的序号即可）．

15．（2019•本溪）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为　 　（结果用含正整数n的代数式表示）

三．解答题（共10小题）
16．（2021•温州）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．
（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．
17．（2021•深圳模拟）先化简，再求值：，其中a＝．
18．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）（2﹣）；
（2）7a﹣2a2+7a．
19．（2021•渭滨区模拟）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随去随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成统计表．
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
11
15
23
28
18
5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是　 　，众数是　 　；
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？
（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？
20．（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．

21．（2021•道里区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝120°，BF＝8，EF＝3，求BC的长．

22．（2021春•江夏区校级月考）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．
①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；
【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝　 　．

23．（2021•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

24．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．

25．（2021春•武侯区校级期中）如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，∠OAB＝30°，点B坐标为（0，2），直线y＝kx+b经过点A交y轴于点C，且OC＝OA．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D为线段AB中垂线l上一点，且位于第一象限，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，若点A′恰好落在直线上，求点D和点A′的坐标；
（3）设P是直线AC上一点，点Q在l上，当△APQ为等边三角形时，求△APQ的边长．


2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•东营）下列运算结果正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
C．（3x3）2＝6x6 D．
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据合并同类项法则可判断选项A；根据完全平方公式可判断选项B；根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算可判断选项C；根据二次根式的加法法则计算可判断选项D．
【解答】解：A、x2与x3不能合并，所以A选项错误；
B、（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以B选项正确；
C、（3x3）2＝9x6，所以C选项错误；
D、与不能合并，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查的是合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、二次根式的加法运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
2．（2021春•阳谷县期末）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数大小比较；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】选项A、B、C根据实数的大小比较法则直接比较可得答案；选项D先对二次根式进行化简，再比较即可．
【解答】解：A、﹣3，故选项不符合题意；
B、＞1，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是实数的比较大小及二次根式的性质，解题的关键在于对二次根式进行正确化简．
3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）

A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
4．（2021春•郑州期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（　　）
A．2：3：2：3 B．2：3：3：2 C．2：2：1：1 D．1：2：3：4
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由平行四边形的对角相等得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：3：2：3；
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
5．（2021•台湾）如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角．判断下列大小关系何者正确？（　　）

A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＜∠ABC+∠D
C．∠1+∠2+∠3＝360° D．∠1+∠2+∠3＞360°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据多边形的外角和是360°及三角形的外角定理求解判断即可．
【解答】解：如图，连结BD，

∵∠1＝∠ABD+∠ADB，∠3＝∠DBC+∠BDC，
∴∠1+∠3＝∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠ADC，
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3＜360°．
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360°是解题的基础．
6．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2021春•西湖区期末）下列计算中，正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．（m3）2＝m5
C．m+m2＝2m3 D．﹣m3+3m3＝2m3
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则进行计算，再根据求出的结果得出选项即可．
【解答】解：A．m2•m3＝m5，故本选项不符合题意；
B．（m3）2＝m6，故本选项不符合题意；
C．m和m2不能合并，故本选项不符合题意；
D．﹣m3+3m3＝2m3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则等知识点，能正确根据同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则进行计算是解此题的关键．
8．（2021•郴州模拟）某商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（　　）
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
520
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】加权平均数；中位数；众数；方差；统计量的选择．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．
由于众数是数据中出现次数最多的数，
故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
9．（2021•江阴市模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y＝kx+1与y轴的交点，点B在直线y＝kx+1上，若点A关于直线y＝kx+1的对称点A′恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（　　）

A．﹣2＜t＜2 B．﹣2＜t＜2
C．﹣2＜t＜﹣2或2＜t＜2 D．以上答案都不对
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称．菁优网版权所有
【专题】创新题型；解题思想；解题方法；能力层次．
【分析】根据条件，可以求得点A关于直线BD的对称点E的坐标，再根据E在图形中的位置，得到关于t的方程组
【解答】解：∵点B（t，3）在直线y＝kx+1上，
∴3＝kt+1，得到，于是直线BD的表达式是．
于是过点A（0，3）与直线BD垂直的直线解析式为．
联立方程组，解得，则交点M．
根据中点坐标公式可以得到点E，
∵点E在长方形ABCO的内部
∴，解得或者．
本题答案：或者．
故选：C．

【点评】该题涉及直线垂直时“k”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．计算量较大．
10．（2019春•永春县期末）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝x﹣[x]的图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】[x]还可理解为取小，分当x≥0、x＜0，代入相应的点依次求解即可．
【解答】解：[x]还可理解为取小，
1、x﹣[x]≥0，所以y≥0；
2、当x为整数时，x﹣[x]＝0，此时y＝0；
3、y＝x﹣[x]的图象为y＝x（0≤x≤1）的图象向左或向右平移[x]个单位（根据[x]的±，左加右减）；
基于以上结论，可得：
（1）当x≥0时，
当x＝0时，y＝0﹣0＝0，
x＝1时，y＝1﹣1＝0，
当x＝1.2时，y＝1.2﹣1＝0.2；
x＝1.5时，y＝1.5﹣1＝0.5，即x在两个整数之间时，y为一次函数；
当x＝2时，y＝2﹣2＝0，
符合条件的为A、B；
（2）当x＜0时，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+1＝0，
x＝﹣1.2时，y＝﹣1.2+2＝0.8，
x＝﹣2时，y＝﹣2+2＝0，
在A、B中符合条件的为A，
故选：A．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
二．填空题（共5小题）
11．（2021春•莆田期末）使代数式有意义的x的取值范围是 　x≤3　．
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不等于零解答．
【解答】解：根据题意知：3﹣x≥0且x2+1≠0．
解得x≤3．
故答案是：x≤3．
【点评】本题考查了二次根式的性质和分式的意义．涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．（2021春•西湖区期末）已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 　2.8　．
【考点】方差．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据题意，先求出数据的平均数，由方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数据：其平均数＝＝5，
则其方差s2＝[（5﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2.8；
故答案为：2.8．
【点评】本题考查数据的方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
13．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　100　．

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；三角形；几何直观．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
14．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　①②③⑤　（填入正确的序号即可）．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】①正确．证明A，B，F，P四点共圆，推出∠PAG＝∠PBF＝45°，可得结论．
②正确．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，利用全等三角形的性质证明即可．
③正确．连接PC，过点P作PG⊥CF于G，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PGCW是矩形，证明FG＝GC，由PB＝BG，PD＝PW＝CG＝FG，推出PB﹣PD＝（BG﹣FG）＝BF．
④错误．由△AEF≌△AMF，推出S△AEF＝S△AMF＝FM•AB，因为FM的长度是变化的，所以△AEF的面积不是定值．
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AT＝TF，
∴BT＝AT＝TF＝PT，
∴A，B，F，P四点共圆，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故①正确，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C，B，M共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴△FAM≌△FAE（SAS），
∴FM＝EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正确，
连接PC，过点P作PG⊥CF于G，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PGCW是矩形，
在△PBA和PCB中，
，
∴△PBA≌△PBC（SAS），
∴PA＝PC，
∵PF＝PA，
∴PF＝PC，
∵PG⊥CF，
∴FG＝GC，
∵PB＝BG，PD＝PW＝CG＝FG，
∴PB﹣PD＝（BG﹣FG）＝BF，故③正确，
∵△AEF≌△AMF，
∴S△AEF＝S△AMF＝FM•AB，
∵FM的长度是变化的，
∴△AEF的面积不是定值，故④错误，
∵A，B，F，P四点共圆，
∴∠APG＝∠AFB，
∵△AFE≌△AFM，
∴∠AFE＝∠AFB，
∴∠APG＝∠AFE，
∵∠PAG＝∠EAF，
∴△PAG∽△FAE，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S四边形PEFG＝S△APG，故⑤正确，
故答案为：①②③⑤．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2019•本溪）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为　（）n﹣1　（结果用含正整数n的代数式表示）

【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】规律型；一次函数及其应用；图形的相似．
【分析】根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．
【解答】解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，

∴点C1的横坐标为：2++（）0，
点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×+（）2
点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1
＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．

【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出一般性的结论．
三．解答题（共10小题）
16．（2021•温州）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．
（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．
【考点】实数的运算；单项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；
（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．
【解答】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+1
＝﹣6；
(2)原式＝a2﹣10a+25+a2+4a
＝2a2﹣6a+25．
【点评】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，在计算的过程中需要注意完全平方公式的运用，是一道基础题．
17．（2021•深圳模拟）先化简，再求值：，其中a＝．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝时，
原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）（2﹣）；
（2）7a﹣2a2+7a．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则以及加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝×4﹣5×
＝4﹣5
＝﹣1．
（2）原式＝7a×2﹣2a2×+7a
＝14a﹣2a2×+7a
＝14a﹣a+7a
＝20a．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．（2021•渭滨区模拟）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随去随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成统计表．
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
11
15
23
28
18
5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是　3次　，众数是　3次　；
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？
（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？
【考点】用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义列式计算即可；
（3）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据分别为3次、3次，
所以这组数据的中位数为＝3（次），
这组数据中3次出现最多，出现28次，
所以这组数据的众数为3次，
故答案为：3次，3次；
（2）（次），
答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车2.42次；
（3）（人），
答：估计这天使用共享单车次数在3次以上（含三次）的学生有765人．
【点评】本题考查了众数、平均数的概念以及利用样本估计总体．抓住概念进行解题，难度不大．
20．（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过A作AE⊥CD于E，由含30°角的直角三角形的性质得CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），再证AE＝DE，即可求解；
（2）由（1）得AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，再证∠ADB＝90°，然后由勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：
则∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），
∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝×＝（km）；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
∴AB＝＝＝3（km），
即隧道AB的长度为3km．

【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，证出AE＝DE是解题的关键．
21．（2021•道里区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝120°，BF＝8，EF＝3，求BC的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE．即可得到AB＝AF，DE＝DC．即可求证结论．
（2）过点A作AH⊥BF，垂足为H，利用∠BAF＝120°，BF＝8可计算出AB的长度，结合（1）即可求出BC长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．AB＝DC．AD＝BC．
∴∠AFB＝∠FBC，∠DEC＝∠ECB．
∵CE是∠BCD的平分线，BF是∠ABC的平分线．
∴∠ABF＝∠FBC，∠DCE＝∠ECB．
∴∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE．
∴AB＝AF，DE＝DC．
∴AF＝DE．
∴AF﹣EF＝DE﹣EF．
∴AE＝DF．
（2）过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图：

∵∠BAF＝120°，BF＝8．
∴∠BAH＝60°，BH＝．
∴＝＝8．
∴AF＝DE＝AB＝8．
∵EF＝3．
∴AE＝AF﹣EF＝5．
∴AD＝AE+ED＝13．
∴BC＝AD＝13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质知识，关键在于得到∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE，从而利用等腰三角形形的性质求解．
22．（2021春•江夏区校级月考）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．
①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；
【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝　120°+α．　．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】【问题背景】根据平行线的性质可得结论；
【尝试应用】①根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；
【拓展创新】②由∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n＝1经过整理可得结论．
【解答】解：【问题背景】∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【尝试应用】①

∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
【拓展创新】②由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°﹣α+∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m﹣1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值，
∠AGE＝（180°﹣α）＝60°﹣α．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：

由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（n﹣1）∠EAB，
当n﹣1＝0时，即n＝1时，1﹣2n＝﹣1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：

由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°﹣∠EAG﹣∠AGE，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝α﹣∠AGE+（1﹣m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（α﹣180°）+180°+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值，
∠AGE＝（α﹣180°）+180°＝120°+α．
故答案为：120°+α．
【点评】本题考查三角形的内角和与角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题关键．
23．（2021•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．
（2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BE+CF＞EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．
24．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．

【考点】等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD可得∠C＝∠ADC，进而可得结论；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，根据“AAS”证出AEC≌△DGA，进而可得△BDG为等边三角形，可得答案；
②过点D作DH∥AB交CE于点H，可得△FAE∽△ACE，根据比例式可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，

∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，

由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴＝，即＝，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵△FAE∽△ACE，
∴＝，
∵AC＝AD＝3AF，
∴＝，EF＝AE＝．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．
25．（2021春•武侯区校级期中）如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，∠OAB＝30°，点B坐标为（0，2），直线y＝kx+b经过点A交y轴于点C，且OC＝OA．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D为线段AB中垂线l上一点，且位于第一象限，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，若点A′恰好落在直线上，求点D和点A′的坐标；
（3）设P是直线AC上一点，点Q在l上，当△APQ为等边三角形时，求△APQ的边长．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；几何变换；几何直观；模型思想．
【分析】（1）先由B点坐标，得到OB的长度，在直角△ABO中，由∠BAO＝30°，得到AB＝2OB，利用勾股定理，得到OA的长度，从而得到A点坐标，因为OA＝OC，求得OC的长度，得到C点坐标，利用待定系数法，求得直线AC的解析式；
（2）因为l垂直平分AB，所以A′B＝A′A，又因为△ABD沿BD翻折得到△A′BD，所以A′B＝AB，所以A′A＝A′B＝AB，得到△ABA′为等边三角形，且∠A′BD＝∠ABD＝30°，又∠BAO＝30°，利用内错角相等，两直线平行，得到BD∥AO，从而得到D的纵坐标为，再由AD＝BD，可以算出∠DAO＝60°，过D作DM⊥OA于M，从而可以求得OM长度，得到D的坐标，再通过计算得到∠A′AO＝90°，得到A′A⊥OA，从而求得A′坐标；
（3）因为P是直线AC上一点，所以P可以在CA的延长线上，或者在射线AC上，利用共顶点的两个等边三角形形成一对旋转全等三角形的模型来解决问题．
【解答】解：（1）∵B（0，），
∴OB＝，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，
∴AB＝2OB＝，
∴，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
∵OA＝OC，
∴OC＝6，
∴C（0，﹣6），
设直线AC为y＝kx﹣6，
代入点A，得k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x﹣6；
（2）如图1，设l与直线AB交于M点，连接AA′，
∵将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，
∴AB＝A′B，且BD垂直平分AA′，∠ABD＝∠A′BD，
∴A′B＝AB，
∴A′B＝AB＝AA′，
∴△AA′B为正三角形，
∴∠ABD＝∠OAB＝30°，
∴BD∥OA，
∴D的纵坐标为，
∵l是AB的垂直平分线，且D为直线l上一点，
∴DB＝DA＝A′D，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠DAO＝60°，
过D作DM⊥OA于M，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAO＝30°，
设AM＝a，则AD＝2a，
∵AD2﹣AM2＝DM2，
∴3a2＝12，
∴a＝2，
∴AM＝2，
∴OM＝6﹣AM＝4，
∴D（），
∵∠A′AB＝60°，
∴∠A′AO＝∠A′AB+∠BAO＝90°，
∴AA′⊥OA，
又AA′＝AB＝，
∴A′（6，），
即D（），A′（6，）；
（3）①如图2，当P在线段CA延长线上时，连接A′P，AA′和BQ，
∵△APQ为等边三角形，
∴AP＝AQ＝PQ，
∠BAA′＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAQ＝∠A′AP，
在△ABQ与△AA′Q中，
，
∴△ABQ≌△AA′P（SAS），
∴BQ＝A′P，
又Q为AB中垂线上一点，
∴BQ＝AQ，
∴AQ＝A′P，
又AP＝AQ，
∴AP＝A′P，
∴P在AA′的中垂线上，
∵AA′⊥OA，且AA′＝，
∴Q的纵坐标为，
令y＝，则x﹣6＝2，
∴x＝6+，
∴P（6+2，），
∴AP＝＝，
②如图3，当P在射线AC上时，连接BP，
同理可得△ABP≌AA′Q，
∴PB＝QA′，∠PBA＝∠QA′A，
∵∠BA′A＝60°，且A′Q垂直平分AB，
∴∠QA′A＝30°，
∴∠PBA＝30°，
又∠ABO＝90°﹣∠BAO＝60°，
∴∠PBO＝∠ABO﹣∠PBA＝30°，
过P作PG⊥y轴于G点，设P（m，m﹣6），
在Rt△PBG中，∠PBO＝30°，
∴PB＝2PG＝2m，
∴BG＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
即△APQ的边长为2或．



【点评】本题考查了一次函数综合题，第二问要充分利用轴对称的性质，充分挖掘条件，发现特殊的三角形和角度来解决问题，第三问要注意分类讨论，画出草图是突破口，同时，对共顶点的等腰三角形模型要非常熟悉．

考点卡片
1．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
8．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
9．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
13．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
14．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
16．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
17．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
20．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
21．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

23．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
26．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
27．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
28．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
29．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
30．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
31．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
36．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
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日期：2021/7/2 10:04:54；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867