2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之方程与不等式

这是一份2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之方程与不等式，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之方程与不等式
一、选择题（共10小题）
1．（2021•河南）若方程没有实数根，则的值可以是　　
A． B．0 C．1 D．
2．（2020•河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
3．（2019•河南）一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2018•河南）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为　　
A． B．
C． D．
5．（2018•河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是　　
A． B． C． D．
6．（2018•河南）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
7．（2017•河南）下列方程中没有实数根的是　　
A． B． C． D．
8．（2017•河南）不等式组的所有整数解的和是　　
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（2017•河南）一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．（2017•河南）解分式方程，去分母得　　
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题）
11．（2020•河南）已知关于的不等式组其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　　．

12．（2019•河南）不等式组的解集是　　．
13．（2018•河南）不等式组的最小整数解是　　．
14．（2017•河南）不等式组的解集是　 　．
三、解答题（共3小题）
15．（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个奖品共需210元．
（1）求，两种奖品的单价；
（2）学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
16．（2017•河南）某服装专卖店计划购进，两种型号的精品女装．已知2件型女装和3件型女装共需5600元；1件型女装和2件型女装共需3400元．
（1）求，型女装的单价
（2）专卖店购进，两种型号的女装共60件，其中型的件数不少于型件数的2倍，如果型女装打八折，那么该专卖店至少需要准备多少贷款？
17．（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买，两种魔方，已知购买2个种魔方和6个种魔方共需130元，购买3个种魔方和4个种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．


2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之方程与不等式
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021•河南）若方程没有实数根，则的值可以是　　
A． B．0 C．1 D．
【答案】
【考点】根的判别式
【专题】运算能力；一元二次方程及应用
【分析】根据根的判别式和已知条件得出△，求出不等式的解集，再得出答案即可．
【解答】解：关于的方程没有实数根，
△，
解得：，
只能为，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，①当△时，方程有两个不相等的实数根，②当△时，方程有两个相等的实数根，③当△时，方程没有实数根．
2．（2020•河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【专题】一元二次方程及应用；应用意识
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量增长率）年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
3．（2019•河南）一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】
【考点】根的判别式
【专题】一元二次方程及应用
【分析】先化成一般式后，再求根的判别式．
【解答】解：原方程可化为：，
，，，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
4．（2018•河南）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【专题】一次方程（组及应用
【分析】设设合伙人数为人，羊价为钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
5．（2018•河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是　　
A． B． C． D．
【考点】：根的判别式
【专题】11：计算题
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【解答】解：、
△，
方程有两个相等实数根；
、

△
两个不相等实数根；
、

△，
方程无实根；
、
，
则方程无实根；
故选：．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根．
6．（2018•河南）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】：在数轴上表示不等式的解集；：解一元一次不等式组
【专题】11：计算题；524：一元一次不等式（组及应用
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
7．（2017•河南）下列方程中没有实数根的是　　
A． B． C． D．
【考点】：根的判别式
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】分别进行判别式的值，再利用判别式的意义对、、进行判断．利用直接开平方法解方程判断选项．
【解答】解：、△，所以方程有两个相等的实数解，所以选项错误；
、△，所以方程没有实数解，所以选项正确；
、△，所以方程有两个不相等的实数解，所以选项错误；
、方程两个的实数解为，，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况．
8．（2017•河南）不等式组的所有整数解的和是　　
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】
【考点】一元一次不等式组的整数解
【专题】一元一次不等式（组及应用
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为：、、0、1、2、3．
所有整数解的和，
故选：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2017•河南）一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】
【考点】根的判别式
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
10．（2017•河南）解分式方程，去分母得　　
A． B． C． D．
【考点】：解分式方程
【专题】522：分式方程及应用；11：计算题
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选：．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
二、填空题（共4小题）
11．（2020•河南）已知关于的不等式组其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　　．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
【专题】几何直观；一元一次不等式(组及应用
【分析】根据关于的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出的取值范围即可．
【解答】解：，
关于的不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集和一元一次不等式组求解，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．
12．（2019•河南）不等式组的解集是　　．
【考点】解一元一次不等式组
【专题】一元一次不等式（组及应用
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（2018•河南）不等式组的最小整数解是　　．
【考点】一元一次不等式组的整数解
【专题】常规题型
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组的最小整数解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
14．（2017•河南）不等式组的解集是　　．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】先求出不等式的解集， 再求出不等式解集的公共部分 ．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
故答案为．
【点评】题考查了解一元一次不等式， 解一元一次不等式组的应用， 解此题的关键是求出不等式组的解集 ．
三、解答题（共3小题）
15．（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个奖品共需210元．
（1）求，两种奖品的单价；
（2）学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【考点】：二元一次方程组的应用；：一元一次不等式的应用
【专题】52：方程与不等式；533：一次函数及其应用
【分析】（1）设的单价为元，的单价为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买奖品个，则购买奖品为个，购买奖品的花费为元，根据题意得到由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解；
【解答】解：（1）设的单价为元，的单价为元，
根据题意，得
，
，
的单价30元，的单价15元；
（2）设购买奖品个，则购买奖品为个，购买奖品的花费为元，
由题意可知，，
，
，
当时，有最小值为570元，
即购买奖品8个，购买奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
16．（2017•河南）某服装专卖店计划购进，两种型号的精品女装．已知2件型女装和3件型女装共需5600元；1件型女装和2件型女装共需3400元．
（1）求，型女装的单价
（2）专卖店购进，两种型号的女装共60件，其中型的件数不少于型件数的2倍，如果型女装打八折，那么该专卖店至少需要准备多少贷款？
【考点】：二元一次方程组的应用；：一元一次不等式的应用
【专题】124：销售问题
【分析】（1）设型女装的单价是元，型女装的单价是元．根据“2件型女装和3件型女装共需5600元；1件型女装和2件型女装共需3400元”列出方程组并解答；
（2）设购进型女装件，则购进型女装件，依据“型的件数不少于型件数的2倍”求得的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
【解答】解：（1）设型女装的单价是元，型女装的单价是元，
依题意得：，
解得．
答：型女装的单价是1000元，型女装的单价是1200元；

（2）设购进型女装件，则购进型女装件，
根据题意，得，
，
设购买、两种型号的女装的总费用为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，．
答：该专卖店至少需要准备59200元的贷款．
【点评】考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
17．（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买，两种魔方，已知购买2个种魔方和6个种魔方共需130元，购买3个种魔方和4个种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．

【考点】：二元一次方程组的应用
【专题】521：一次方程（组及应用；34：方程思想
【分析】（按买3个种魔方和买4个种魔方钱数相同解答）
（1）设种魔方的单价为元个，种魔方的单价为元个，根据“购买2个种魔方和6个种魔方共需130元，购买3个种魔方和4个种魔方所需款数相同”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进种魔方个，总价格为元，则购进种魔方个，根据两种活动方案即可得出、关于的函数关系式，再分别令、和，解出的取值范围，此题得解．
（按购买3个种魔方和4个种魔方需要130元解答）
（1）设种魔方的单价为元个，种魔方的单价为元个，根据“购买2个种魔方和6个种魔方共需130元，购买3个种魔方和4个种魔方所需款数相同”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进种魔方个，总价格为元，则购进种魔方个，根据两种活动方案即可得出、关于的函数关系式，再分别令、和，解出的取值范围，此题得解．
【解答】（按买3个种魔方和买4个种魔方钱数相同解答）
解：（1）设种魔方的单价为元个，种魔方的单价为元个，
根据题意得：，
解得：．
答：种魔方的单价为20元个，种魔方的单价为15元个．
（2）设购进种魔方个，总价格为元，则购进种魔方个，
根据题意得：；
．
当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：．
综上所述：当时，选择活动一购买魔方更实惠；当时，选择两种活动费用相同；当时，选择活动二购买魔方更实惠．
（按购买3个种魔方和4个种魔方需要130元解答）
解：（1）设种魔方的单价为元个，种魔方的单价为元个，
根据题意得：，
解得：．
答：种魔方的单价为26元个，种魔方的单价为13元个．
（2）设购进种魔方个，总价格为元，则购进种魔方个，
根据题意得：；
．
当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：；
当时，有，
不等式无解．
综上所述：当时，选择活动一购买魔方更实惠；当时，选择两种活动费用相同．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出、关于的函数关系式．

考点卡片
1．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
5．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
6．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
7．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案