初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步达标检测题

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专题25 利用二次函数解决图形运动问题班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________   一、单选题(共10小题)1．如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ）A．  B． C．  D． 【答案】A【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为y=(4－x)··=,两个三角形重合时面积正好为.由二次函数图象的性质可判断答案为A,故选A.【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断. 三种情况是：①0≤x≤6 ，②6≤x≤8 ，③8≤x≤14.【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.3．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　）A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y==；②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y==；③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选B．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论．4．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2），当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4），图象为：故选A．5．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为A． B．C． D．【答案】B【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8，②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B．6．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：S=S△ABC-S△PBQ= ×12×6- （6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+27．∴当t=3s时，S取得最小值．故选C．【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．7．如图，等腰的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（      ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意写出y与x之间的函数关系式可以得到其图象．【详解】解：由题意可以得到y与x之间的函数关系式为：，所以y与x之间的函数关系的图象大致是：故选A ．【点睛】本题考查函数及其图象，由题意列出函数关系式是解题关键．8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒．由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，，为开口向上的抛物线的一部分．当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，，为直线（一次函数）的一部分．观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D．9．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A． B．13 C． D．【答案】C【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：，解得，∴l=0.15t2-4t+27，∵0.15＞0，∴l有最小值，当t=-=≈13.33时，该地影子最短；故选C．【点睛】错因分析  中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数性质，推断对称轴位置.10．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设AE=x，BF=y，根据勾股定理有DE2=62+x2，EF2=（10-x）2+y2，DF2=（6-y）2+102；再由△DEF为直角三角形可得DE2+EF2=DF2，然后化简成二次函数的顶点式，然后根据顶点式的图像特点进行解答即可.【详解】解：设AE=x，BF=y，则DE2=62+x2，EF2=（10-x）2+y2，DF2=（6-y）2+102；∵△DEF为直角三角形，∴DE2+EF2=DF2，即62+x2+（10-x）2+y2=（6-y）2+102，解得 根据函数关系式可看出A中的函数图象与之对应．故答案为A.【点睛】本题考查了二次函数图像的特点以及勾股定理的相关知识，其中根据勾股定理化简得到二次函数顶点式是解答本题的关键.二、填空题(共5小题)11．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．【答案】3    18    【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，列出二次函数解析式，即可求解．【详解】根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．故答案是：3，1812．如图，一段抛物线记为，它与轴的交点为,顶点为；将绕点旋转180°得到，交轴于点为，顶点为；将绕点旋转180°得到，交轴于点为，顶点为；……，如此进行下去，直至到，顶点为，则顶点的坐标为 _________ ． 【答案】(9.5，-0.25)【详解】由抛物线可求；又抛物线某是依次绕系列点旋转180°，根据中心对称的特征得： , .根据以上可知抛物线顶点 的规律为（的整数）；根据规律可计算点的横坐标为，点的纵坐标为.∴顶点的坐标为故答案为：(9.5，-0.25)【点睛】本题主要是以二次函数的图象及其性质为基础，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律.关键是抛物线顶点到坐标轴的距离的变化，再根据规律计算.13．如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x2＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是_________. 【答案】0＜m≤2【分析】代入y＝0求出抛物线与x轴交点的坐标，进而可得出0＜m＜3，由点P的横坐标可得出OM＝m、PM＝3m−m2，根据矩形的周长公式可得出C矩形OMON＝-2m2＋8m，再利用二次函数的性质即可得出当矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大时，m的取值范围．【详解】当y＝0时，有−x2＋3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，∴0＜m＜3，∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，−m2＋3m），OM＝m，PM＝3m−m2，∴C矩形OMON＝2（OM＋PM）＝2（m＋3m−m2）＝−2m2＋8m，∴当0＜m≤2时，矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大．故答案为0＜m≤2．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及矩形的性质，利用二次函数的性质结合抛物线与x轴的交点坐标，找出m的取值范围．14．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是.在飞机着陆滑行中，最后滑行的距离是______.【答案】13.5【分析】当y取得最大值时，飞机停下来，y=60t-t2=-（t-20）2+600，即当t=20时，飞机滑行600才停下来，当t=17时，y=586.5，即可求解．【详解】解：当取得最大值时，飞机停下来，则，此时，飞机着陆后滑行600米才能停下来.因此的取值范围是；即当时，，所以（米）.故答案是：13.5.【点睛】考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，本题要首先确定飞机最大滑行时间，然后确定最后3秒滑行的距离．15．如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x 之间的函数关系如图②所示，其中，M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为________【答案】【分析】根据题意及图像易得当x=0时，BP=AB=2，AC=5，当BP为最小值时，BP⊥AC，此时AP=1，进而根据勾股定理可得BP的最小值，最后根据三角形面积计算公式可求解．【详解】解：由图像及题意可得：当x=0时，BP=AB=2，AC=5，根据点到直线垂线段最短可得当BP为最小值时，BP⊥AC，此时AP=1，∴，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查勾股定理及二次函数的图像与性质，熟练掌握勾股定理及二次函数的图像与性质是解题的关键．三、解答题(共2小题)16．如图，在△ABC中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动.已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围.【答案】函数关系式为.t的取值范围为.【分析】先由题意得到，，则.再根据三角形面积公式得到，再根据题意得到不等式组进行计算即可得到答案.【详解】依题意，得，，则.∴.∴△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式为.∵∴t的取值范围为.【点睛】本题考查二次函数，不等式组和动点问题，解题的关键是掌握三角形面积公式，由题意得到.17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q两点运动的时间为x秒，△APQ的面积为S（平方单位）．（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是　   秒．（2）当2＜x≤3时，求S与x之间的函数关系式　   ．（3）当（2）的条件下，x为何值时，△APQ的面积为．【答案】（1）4；（2）S＝﹣x2+4x；（3）满足条件的x的值为2+．【分析】（1）总路程除以速度和，就可以得到时间．（2）如图，当2＜x≤3时，点P在线段BC上，点Q在线段CD上，利用分割法求解即可．（3）把S的值分别代入分段函数求出值．【详解】（1）（4×2+2×2）÷（2+1）＝4（秒），故答案为4．（2）如图，当2＜x≤3时，点P在线段BC上，点Q在线段CD上，∴S＝S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△ABP﹣S△CPQ＝4×2﹣×2×（x﹣2）﹣×4×（2x﹣4）﹣×（6﹣x）×（6﹣2x）＝﹣x2+4x．故答案为：S＝﹣x2+4x．（3）当2＜x≤3时，﹣x2+4x＝，∴x＝2±，∵2＜x≤3，∴x＝2+．∴满足条件的x的值为2+．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，以及函数的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．