2020-2021学年湖北省荆门市八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省荆门市八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省荆门市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑)
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x≠1 C．x≥0 D．x≠﹣1
2．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，15，17
3．（3分）下列各点中，在函数y＝3x的图象上的是（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（2，5）
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．3﹣2＝1 C．×＝ D．÷＝
5．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的方差如表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
0.020
0.021
0.019
0.022
则这四人中发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
7．（3分）把直线y＝2x﹣1向上平移后4个单位得到直线AB，则直线AB的解析式为（　　）
A．y＝2x+3 B．y＝2x+4 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x﹣5
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G，E，D分别是边AB，BC，CA的中点，若DE+CG＝7，则CG的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．5
9．（3分）如图，将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），C（4，0），当直线y＝kx﹣1平分▱OABC的面积时，则k的值为（　　）

A．﹣1 B． C．1 D．2
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为ycm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（　　）

A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果直接填写在答题卡对应的横线上)
11．（3分）在根式，，中，是最简二次根式的有　 　个．
12．（3分）若函数y＝axa+2﹣a是关于x的一次函数，则该函数的图象不经过第 　 　象限．
13．（3分）已知直线y＝﹣2x+1经过P1（π，y1）、P2（，y2）两点，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AE＝BE，∠C＝120°，若BD＝12cm，则DE＝　 　cm．

15．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果AB＝13，AE＝5，则EG的长为 　 　．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝2S△PCD，则PC+PD的最小值为 　 　．

三、解答题(本大题共8个小题,共72分.请在解答卡对应的答题区域内作答)
17．（8分）计算：
（1）﹣6﹣；
（2）（﹣2）（+2）+．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：BE∥DF．

19．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．

20．（8分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
b
7
八年级
a
8
c
请你根据以上提供信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）我校七、八年级共1000名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
21．（8分）如图，已知两个一次函数y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值．

22．（10分）2020年春，新冠肺炎爆发后，某市积极筹集救灾物资260吨运往灾区甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
运往地
车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为x辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
23．（10分）如图，正方形ABCD边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠AEH＝∠CGF；
（2）当AH＝DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH＝1，DG＝x，△FCG的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并直接写出S的最小值．

24．（12分）如图，直线l1：y＝2x+1与x轴交于点D，与y轴交于点C，直线l2：y＝mx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，两直线相交于点E（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）若直线l1上存在一点P，使得S△BEP＝2S△ACE，求符合条件的点P的坐标；
（3）点M为直线l1上一点，过点M作x轴的平行线交直线l2于点N，是否存在以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年湖北省荆门市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑)
1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x≠1 C．x≥0 D．x≠﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
∴x≥﹣1，
故选：A．
2．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，15，17
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为12+22≠32，故不能作为直角三角形三边长度；
B、因为22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长度；
C、因为42+52≠62，故不能作为直角三角形三边长度；
D、因为82+152＝172，故能作为直角三角形三边长度．
故选：D．
3．（3分）下列各点中，在函数y＝3x的图象上的是（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（2，5）
【分析】将各选项的点的坐标分别代入函数解析式计算可求解．
【解答】解：将x＝3代入y＝3x可得y＝9≠1，所以（3，1）不在函数y＝3x的图象上，故A选项不符合题意；
将x＝1代入y＝3x可得y＝3，所以（1，3）在函数y＝3x的图象上，故B选项符合题意；
将x＝1代入y＝3x可得y＝3≠﹣3，所以（1，﹣3）不在函数y＝3x的图象上，故C选项不符合题意；
将x＝2代入y＝3x可得y＝6≠5，所以（2，5）不在函数y＝3x的图象上，故D选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．3﹣2＝1 C．×＝ D．÷＝
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A.与无法合并，故此选项不合题意；
B.3﹣2＝，故此选项不合题意；
C.×＝，故此选项不合题意；
D.÷＝，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的方差如表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
0.020
0.021
0.019
0.022
则这四人中发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均数相同时，方差越小，发挥越稳定即可判断．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四人的方差大小是：丙＜甲＜乙＜丁，
∴发挥最稳定的是丙．
故选：C．
6．（3分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选：D．
7．（3分）把直线y＝2x﹣1向上平移后4个单位得到直线AB，则直线AB的解析式为（　　）
A．y＝2x+3 B．y＝2x+4 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x﹣5
【分析】利用平移时k的值不变，只有b发生变化，由上加下减得出即可．
【解答】解：把直线y＝2x﹣1向上平移后4个单位得到直线AB，则直线AB的解析式为y＝2x﹣1+4＝2x+3．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G，E，D分别是边AB，BC，CA的中点，若DE+CG＝7，则CG的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形的性质得到CG＝AB，根据三角形中位线定理得到DE＝AB，进而证明DE＝CG，根据DE+CG＝7解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是边AB的中点，
∴CG＝AB，
∵点E，D分别是边BC，CA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∴DE＝CG，
∵DE+CG＝7，
∴CG＝DE＝3.5，
故选：B．
9．（3分）如图，将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），C（4，0），当直线y＝kx﹣1平分▱OABC的面积时，则k的值为（　　）

A．﹣1 B． C．1 D．2
【分析】设直线y＝kx﹣1交边AB于点E，交x轴于点F，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E，F的坐标，进而可得出AE，OF的长，由直线y＝kx﹣1平分▱OABC的面积，可得出AE+OF＝OC，即+﹣1＝4，解之即可得出k值．
【解答】解：设直线y＝kx﹣1交边AB于点E，交x轴于点F，如图所示．

当y＝0时，kx﹣1＝0，
解得：x＝，
∴点F的坐标为（，0），OF＝，
当y＝3时，kx﹣1＝3，
解得：x＝，
∴点E的坐标为（，3），AE＝﹣1．
又∵直线y＝kx﹣1平分▱OABC的面积，
∴CF＝AE，BE＝OF，
∴OF+AE＝OC，即+﹣1＝4，
∴k＝1．
故选：C．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为ycm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（　　）

A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.5
【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了4s，可得AB＝8cm，此时BM＝EF＝6cm，根据勾股定理可得AM＝10cm；当t＝6时，EF＝6cm，可得DN＝6cm，根据相似三角形的性质可得CN＝3.6cm，进而得出a的值．
【解答】解：如图所示，作BM⊥AB，交AD于点M，作DN∥BM，交BC于点N，

由题意可知，AB＝4×2＝8（cm），BM＝6cm，DN＝6cm，
∴AM＝，
∵BC∥AD，∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°，
又∵DN∥BM，
∴∠CND＝∠ADN＝∠AMB，
∴△CDN∽△BAM，
∴CN＝＝3.6（cm），
∴a＝6+3.6÷2＝7.8．
故选：B．
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果直接填写在答题卡对应的横线上)
11．（3分）在根式，，中，是最简二次根式的有　1　个．
【分析】最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式．
【解答】解：是最简二次根式；
＝，故不是最简二次根式；
＝a，故不是最简二次根式．
综上所述，最简二次根式的有1个．
故答案为：1．
12．（3分）若函数y＝axa+2﹣a是关于x的一次函数，则该函数的图象不经过第 　三　象限．
【分析】根据函数y＝axa+2﹣a是关于x的一次函数，可以得到a的值，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵函数y＝axa+2﹣a是关于x的一次函数，
∴，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x+1，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
13．（3分）已知直线y＝﹣2x+1经过P1（π，y1）、P2（，y2）两点，则y1　＜　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵π＞，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AE＝BE，∠C＝120°，若BD＝12cm，则DE＝　8　cm．

【分析】根据四边形ABCD是菱形，易得∠BAE＝∠ABE＝∠ADB＝30°，则∠DAE＝90°，设AE＝BE＝xcm，则DE＝（12﹣x）cm，从而12﹣x＝2x，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∠ABD＝ABC＝30°，AB＝AD，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝∠ADB＝30°，
∴∠DAE＝90°，
设AE＝BE＝xcm，则DE＝（12﹣x）cm，
∴12﹣x＝2x，
∴x＝4，
∴DE＝8cm，
故答案为：8．
15．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果AB＝13，AE＝5，则EG的长为 　7　．

【分析】根据勾股定理得到BE＝＝＝12，求得EF＝BE﹣BF＝BE﹣AE＝7，根据等腰直角三角形的性质得到EG＝EF＝7．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝13，AE＝5，∠AEB＝90°，
∴BE＝＝＝12，
∵△ABE≌△BCF，
∴BF＝AE，
∴EF＝BE﹣BF＝BE﹣AE＝7，
∴EG＝EF＝7，
故答案为：7．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝2S△PCD，则PC+PD的最小值为 　2　．

【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．

∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∵S△PAB＝2S△PCD，
∴×2×x＝2××2×（3﹣x），
∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝1，
在Rt△ECD中，EC＝＝2，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥2，
∴PD+PC的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.请在解答卡对应的答题区域内作答)
17．（8分）计算：
（1）﹣6﹣；
（2）（﹣2）（+2）+．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）直接利用二次根式的性质以及乘法公式化简，即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣6×﹣3
＝﹣2﹣3
＝﹣4；

（2）原式＝5﹣4+3
＝4．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：BE∥DF．

【分析】由▱ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，可利用AAS判定△AED≌△CFB，即可证得DE＝BF，继而证得四边形DEBF是平行四边形，则可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠AED＝∠CFB＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF．
19．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．

【分析】（1）利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD即可解决问题；
（2）求出BC、CD、BD，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【解答】（1）解：由题意可知AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，
∴四边形ABCD的周长为8+2．

（2）证明：连接BD．
∵BC＝，CD＝，BD＝，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°．

20．（8分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
b
7
八年级
a
8
c
请你根据以上提供信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝　7.5　，b＝　7　，c＝　7.5　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）我校七、八年级共1000名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【分析】（1）分别对七年级和八年级数据分析，得到平均数、中位数和众数．
（2）依据平均数、众数、中位数进行分析．
（3）根据调查中合格学生的占比求解．
【解答】解：（1）八年级平均数＝7.5，；七年级分数7出现了6次，众数是7；八年级数据从小到大排列，第十名同学和第十一名同学的成绩分别是7，8，中位数（7+8）÷2＝7.5．
故答案为7.5，7，7.5．
（2）从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数，八年级的数据均大于七年级的数据，八年级掌握垃圾分类知识较好，
（3）由数据可知，七年级有18人合格，八年级有18人合格，我校此次合格的人数为1000×＝900（人）．
21．（8分）如图，已知两个一次函数y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值．

【分析】（1）联立y＝x与y＝﹣2x﹣2，解方程组即可；
（2）由图象直接写出x＞﹣；
（3）根据A点坐标分别求出M、N的坐标．然后由MN＝4列出t的方程求解即可．
【解答】解：（1）联立，
解得：，
则点P坐标为（﹣，﹣）；
（2）由图象可得，x＞﹣；
（3）设点M（t，t），N（t，﹣2t﹣2），
则MN＝|t﹣（﹣2t﹣2）|＝4，
解得：t＝或t＝﹣2．
22．（10分）2020年春，新冠肺炎爆发后，某市积极筹集救灾物资260吨运往灾区甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
运往地
车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为x辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【分析】（1）首先设大货车用m辆，则小货车用（20﹣m）辆，利用所运物资为260吨得出方程，解方程求出即可；
（2）根据安排9辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为x辆，得出小货车的辆数，进而得出w与x的函数关系式；
（3）根据运往甲地的物资不少于120吨，则15x+10（9﹣x）≥120即可得出x的取值范围，进而得出最佳方案．
【解答】解：（1）设大货车用m辆，则小货车用（20﹣m）辆，根据题意得：
15m+10（20﹣m）＝260，
解得：m＝12，
则20﹣m＝8．
答：大货车用12辆，小货车用8辆；

（2）由题意得出：
w＝720x+800（12﹣x）+500（9﹣x）+650[8﹣（9﹣x）]＝70x+13450，
∴w＝70x+13450（0≤x≤9且为整数）．

（3）由15x+10（9﹣x）≥120，
解得x≥6．
又∵0≤x≤9，
∴6≤x≤9且为整数．
∵w＝70x+13450，k＝70＞0，w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w最小，最小值为w＝70×6+13450＝13870．
答：使总运费最少的调配方案是：6辆大货车、3辆小货车前往甲地；6辆大货车、5辆小货车前往乙地．最少运费为13870元．
23．（10分）如图，正方形ABCD边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠AEH＝∠CGF；
（2）当AH＝DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH＝1，DG＝x，△FCG的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并直接写出S的最小值．

【分析】（1）连接EG，根据两直线平行，内错角相等，可证∠AEG＝∠CGE，∠HEG＝∠FGE，即可证出结论；
（2）易证Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），得∠AHE＝∠DGH，由∠DHG+∠DGH＝90°，从而∠DHG+∠AHE＝90°，则∠GHE＝90°，故菱形EFGH是正方形；
（3）过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，易证△AHE≌△GFM（AAS），得AH＝MF＝1，可表示出S＝，再求出x的最大值，即可解决问题．
【解答】证明：（1）连接EG，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEG﹣∠HEG＝∠CGE﹣∠FGE，
即∠AEH＝∠CGF，
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝GH，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，
∵∠DHG+∠DGH＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH是正方形；
（3）过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，则∠A＝∠M＝90°，

在△AHE和△GFM中，
，
∴△AHE≌△GFM（AAS），
∴AH＝MF＝1，
∵CD＝3，DG＝x，
∴CG＝3﹣x，
∵12+AE2＝22+DG2，
当AE最大为AB＝3时，DG最大为，
∴S＝＝（3﹣x）×1＝，
∴S＝，
∴x＝时，S最小为．
24．（12分）如图，直线l1：y＝2x+1与x轴交于点D，与y轴交于点C，直线l2：y＝mx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，两直线相交于点E（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）若直线l1上存在一点P，使得S△BEP＝2S△ACE，求符合条件的点P的坐标；
（3）点M为直线l1上一点，过点M作x轴的平行线交直线l2于点N，是否存在以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将E（1，b）代入y＝2x+1得b＝3，将E（1，3）代入y＝mx+4得m＝﹣1；
（2）先求出AC＝3，BD＝，S△ACE＝，设P（n，2n+1），可列方程：|2n﹣2|＝2×，即可解得P（，）或（，）；
（3）设M（t，2t+1），可表示MN＝|t﹣（3﹣2t）|＝|3t﹣3|，由MN∥OD知：以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，只需MN＝OD，即得|3t﹣3|＝，即可解得M（，）或（，）．
【解答】解：（1）将E（1，b）代入y＝2x+1得：b＝2+1＝3，
∴E（1，3），
将E（1，3）代入y＝mx+4得：3＝m+4，
∴m＝﹣1；
（2）如图：

由y＝2x+1得：C（0，1），D（﹣，0），
由y＝﹣x+4得：A（0，4），B（4，0），
∴AC＝3，BD＝，
∴S△ACE＝×AC×xE＝×3×1＝，
设P（n，2n+1），
∴S△BEP＝S△BDE﹣S△BDP＝BD•|yE﹣yP|＝××|（2n+1）﹣3|＝|2n﹣2|，
∵S△BEP＝2S△ACE，
∴|2n﹣2|＝2×，即|2n﹣2|＝，
解得n＝或n＝，
∴P（，）或（，）；
（3）存在，理由如下：
如图：

设M（t，2t+1），
在y＝﹣x+4中，令y＝2t+1得2t+1＝﹣x+4，
解得：x＝3﹣2t，
∴N（3﹣2t，2t+1），
∴MN＝|t﹣（3﹣2t）|＝|3t﹣3|，
∵MN∥x轴，即MN∥OD，
∴以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形只需MN＝OD，
∴|3t﹣3|＝，
解得t＝或t＝，
∴M（，）或（，）．
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日期：2021/8/10 22:50:28；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298