2020-2021学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，四象限，且使关于x的方程2，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑．
1．（4分）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣2x2 D．y＝﹣2x+1
2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合，点D在线段BC的延长线上，若∠BAC＝20°，则∠AED的大小为（　　）

A．135° B．125° C．120° D．115°
4．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OBC＝35°，则∠BAC的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
5．（4分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．打开电视频道，正在播放《西游记》
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
6．（4分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（　　）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
7．（4分）如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，…，依次规律，图6表示数字（　　）

A．49 B．50 C．51 D．52
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（　　）

A．4 B． C． D．3
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b+c＜0 C．a﹣b+c＞1 D．c﹣a＜1
10．（4分）已知实数m使关于x的反比例函数y＝的图象在第二、四象限，且使关于x的方程2（m﹣2）x2﹣2（2m﹣1）x+2m+1＝0有实数解，若m是整数，则所有满足条件的m的值的和为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
11．（4分）如图，点D是△ABC的边BC的中点，且△ABD与△AED关于直线AD对称，若AD＝3，BD＝CE＝2，则点E到线段AC的距离为（　　）

A． B． C． D．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过AB上的两点A，P，其中P为AB的中点，若△AOB的面积为18．则k的值为（　　）

A．﹣18 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
二、填空题：请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）点（1，4）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝　 　．
14．（4分）若点A（m，7）与点B（﹣4，n）关于原点成中心对称，则m+n＝　 　．
15．（4分）从﹣2，﹣，0，，2这5个数中任取一个数记为a，能使二次函数y＝（x﹣1）2+a的顶点在x轴上方的概率为　 　．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为边AB的中点，以点A为圆心，以AD的长为半径画弧与腰AC相交于点E，以点B为圆心，以BD的长为半径画弧与腰BC相交于点F，则图中的阴影部分图形的面积为　 　．（结果保留π）

17．（4分）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图中的折线DE﹣EF﹣FG所示，其中点D的坐标为（0，300），点E的坐标为（3，0），则△EFG的面积为　 　．

18．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是　 　．

三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解下列方程：
（1）（x﹣3）（x﹣1）＝﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0．
20．（10分）如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．

21．（10分）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的概率；
（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“余二数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，若这个数除以4，余数为2，则称这个数为“余二数”．
例如：因为625÷4＝156…1，所以625不是“余二数”；因为126÷4＝31…2，所以126是“余二数”．
（1）判断722和119是否为“余二数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数n是“余二数”，且n的百位数字比十位数字大6，且各个数位上的数字之和是某个整数的平方，求出满足条件的所有“余二数”．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，小哲根据已学的函数知识对函数y＝的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣2
﹣1
0


2
3
4
…
y
…


1
2
2
1
b

…
（1）请写出a和b的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的图象；

（3）直线y＝x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式≥x﹣1的解集．
24．（10分）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，某生鲜店销售两种不同口味的香肠，一种是广味香肠，另一种是川味香肠．其中“广味香肠”标价每千克50元，“川味香肠”标价每千克60元．
（1）某天，若该生鲜店售出“广味香肠”和“川味香肠”两种香肠共600千克，且销售总额不低于33000元，则这一天该生鲜店销售“川味香肠”至少多少千克？
（2）12月的第一周，该生鲜店按标价售出“广味香肠”300千克，“川味香肠”400千克．生鲜店根据市场情况，第二周适当调整两种香肠的售价，“广味香肠”的售价比第一周的标价增加了a%，销量与第一周保持不变；“川味香肠”的售价比第一周的标价减少了a%，销量比第一周增加了a%；结果第二周两种口味香肠的销售总额比第一周增加了a%，且a＞0，求a的值．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段AB上一点，线段CD绕点C逆时针旋转90°能与线段CE重合，点F为AC与BE的交点．
（1）若BC＝5，CE＝4，求线段BD的长；
（2）猜想BD与AF的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）设CA＝3DA＝6，点M在线段CD上运动，点N在线段CA上运动，运动过程中，DN+MN的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．


2020-2021学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑．
1．（4分）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣2x2 D．y＝﹣2x+1
【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、是反比例函数，故此选项符合题意；
C、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合，点D在线段BC的延长线上，若∠BAC＝20°，则∠AED的大小为（　　）

A．135° B．125° C．120° D．115°
【分析】由旋转性质可得△ABD为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADB＝45°，又∠BAC＝20°，所以∠ACB＝115°，由旋转性质可得△ABC≌△ADE，∠AED＝∠ACB＝115°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB＝45°，
又∵∠BAC＝20°，
由三角形内角和可得∠ACB＝180°﹣45°﹣20°＝115°，
由旋转性质可得△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝115°．
故选：D．
4．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OBC＝35°，则∠BAC的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】等腰三角形的性质可求得∠BOC的度数，由圆周角定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∴∠BAC＝∠BOC＝110°＝55°．
故选：C．
5．（4分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．打开电视频道，正在播放《西游记》
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件；
B、打开电视频道，正在播放《西游记》，是随机事件；
C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
D、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件；
故选：A．
6．（4分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（　　）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【分析】因为a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣2a＝1，那么代数式2a2﹣4a﹣1可化为2（a2﹣2a）﹣1，然后把a2﹣2a＝1代入代数式2a2﹣4a+，利用夹逼法求得无理数的取值范围．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+
＝2（a2﹣2a）+
＝2×1+
＝2+．
∵4＜5＜9，
∴2＜＜3．
∴4＜2+＜5．
即代数式2a2﹣4a+的值应在4和5之间．
故选：A．
7．（4分）如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，…，依次规律，图6表示数字（　　）

A．49 B．50 C．51 D．52
【分析】由图形可看出每一条边的小石子数是一样的，从而不难发现每增加一层，其增加的小石子数为3n﹣2，从而可求解．
【解答】解：观察图形发现：
图1有1个小石子，
图2有1+（3×2﹣2）＝5个小石子，
图3有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）＝12个小石子，
图4有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）＝22个小石子，
图5有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）＝35个小石子，
图6有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）+（3×6﹣2）＝51个小石子，
故选：C．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（　　）

A．4 B． C． D．3
【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：连接OD，

∵MD切⊙O于D，
∴∠ODM＝90°，
∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径，
∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2，
由勾股定理得：MD＝＝＝2，
∵BC⊥AB，
∴BC切⊙O于B，
∵DC切⊙O于D，
∴CD＝BC，
设CD＝CB＝x，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2，
即（2+x）2＝62+x2，
解得：x＝2，
即BC＝2，
故选：B．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b+c＜0 C．a﹣b+c＞1 D．c﹣a＜1
【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，根据对称轴x＝﹣＝﹣1＜0，则b＜0，再利用当x＝1时，图象在x轴下方，得到a+b+c＜0，由图象知，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，得到a﹣b+c＞c＝1，利用a＜0，c＝1得到c﹣a＞c＝1．
【解答】解：由函数图象可得开口向下，与y轴交与（0，1），
∴a＜0，c＝1＞0，
对称轴x＝﹣＝﹣1，
则b＜0，
所以abc＞0，故A正确；
由图象知，当x＝1时，图象在x轴下方，
所以a+b+c＜0，故B正确；
由图象知，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
所以a﹣b+c＞c＝1，故C正确；
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∴c﹣a＞c＝1，故D错误；
故选：D．
10．（4分）已知实数m使关于x的反比例函数y＝的图象在第二、四象限，且使关于x的方程2（m﹣2）x2﹣2（2m﹣1）x+2m+1＝0有实数解，若m是整数，则所有满足条件的m的值的和为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】①若为一元一次方程时，求得k的值，然后代入反比例函数解析式进行验证；
②根据方程2（m﹣2）x2﹣2（2m﹣1）x+2m+1＝0有实数解可知△≥0，再由反比例函数y＝的图象在第二、四象限可得出m﹣3＜0，由此可得出m的值．
【解答】解：①当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程2（m﹣2）x2﹣2（2m﹣1）x+2m+1＝0有实数解，
此时，2m﹣1＝3＞0，符合题意，
②当m﹣2≠0，
∵关于x的方程2（m﹣2）x2﹣2（2m﹣1）x+2m+1＝0有实数解，
∴Δ≥0，即4（2m﹣1）2﹣8（m﹣2）（2m+1）≥0，
解得m≥﹣；
∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
∴m﹣3＜0，即m＜3，
∴﹣≤m＜3，
∵m是整数，
∴m的值可以为﹣2、﹣1、0、1、2．
综上所述，m的值可以为﹣2、﹣1、0、1、2，
∴﹣2﹣1+0+1+2＝0．
故选：C．
11．（4分）如图，点D是△ABC的边BC的中点，且△ABD与△AED关于直线AD对称，若AD＝3，BD＝CE＝2，则点E到线段AC的距离为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，过点E作ET⊥AD交AD的延长线于T，EG⊥AC交AC的延长线于G，过点C作CH⊥AE于H．解直角三角形求出AE，ET，DT，利用相似三角形的性质求出EH，CH，再利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性质求出EG即可．
【解答】解：如图，过点E作ET⊥AD交AD的延长线于T，EG⊥AC交AC的延长线于G，过点C作CH⊥AE于H．

∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
由翻折的性质可知，BD＝DE，
∵BD＝CE＝2，
∴CD＝DE＝EC＝2，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝∠CED＝60°，
∴∠EDB＝120°，
∴∠ADB＝∠ADE＝120°，
∴∠EDT＝∠CED＝60°，
∴CE∥AT，
在Rt△DET中，DT＝DE•cos60°＝1，ET＝＝，
∴AE＝＝＝，
∵∠CEH＝∠EAT，∠EHC＝∠T＝90°，
∴△EHC∽△ATE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CH＝，EH＝，
∴AH＝AE﹣EH＝，
在Rt△ACH中，AC＝＝＝，
∵∠EAG＝∠CAH，∠G＝∠CHA＝90°，
∴△AGE∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴EG＝．
故选：D．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过AB上的两点A，P，其中P为AB的中点，若△AOB的面积为18．则k的值为（　　）

A．﹣18 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
【分析】连接OP，作PD⊥OB于点D，AE⊥OB于E，求得S△AOE＝S△POD＝|k|，再证明BD＝DE＝OE，得S△POD＝S△POB＝6．
【解答】解：连接OP，作PD⊥OB于点D，AE⊥OB于E，
∵P为AB的中点，
∴BD＝DE，PD＝AE，
∵反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过AB上的两点A，P，
∴S△AOE＝S△POD＝|k|，
∴，
∴OD＝2OE，
∴BD＝DE＝OE，
∴S△POD＝S△POB，
∵△AOB的面积为18，
∵P为AB的中点，
∴S△POB＝S△AOB＝9，
∴S△POD＝S△POB＝6，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣12．
故选：B．

二、填空题：请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）点（1，4）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝　4　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征直接计算k的值．
【解答】解：∵点（1，4）在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴k＝1×4＝4．
故答案为4．
14．（4分）若点A（m，7）与点B（﹣4，n）关于原点成中心对称，则m+n＝　﹣3　．
【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m，7）与点B（﹣4，n）关于原点成中心对称，
∴m＝4，n＝﹣7，
∴m+n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）从﹣2，﹣，0，，2这5个数中任取一个数记为a，能使二次函数y＝（x﹣1）2+a的顶点在x轴上方的概率为　　．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵从﹣2，﹣，0，，2这5个数中任取一个数共有5种结果，其中能使二次函数y＝（x﹣1）2+a的顶点在x轴上方的有，2这2种结果，
所以二次函数y＝（x﹣1）2+a的顶点在x轴上方的概率为，
故答案为：．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为边AB的中点，以点A为圆心，以AD的长为半径画弧与腰AC相交于点E，以点B为圆心，以BD的长为半径画弧与腰BC相交于点F，则图中的阴影部分图形的面积为　2﹣　．（结果保留π）

【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB＝，
∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，
故答案为：2﹣．
17．（4分）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图中的折线DE﹣EF﹣FG所示，其中点D的坐标为（0，300），点E的坐标为（3，0），则△EFG的面积为　1200　．

【分析】由点D的坐标为（0，300）得，当x＝0时，y＝300，故此可得到A，B两地的距离为300千米，由点E的坐标为（3，0）得，从而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可得乙车的速度，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，根据甲乙两车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后根据乙的路程得到A，C之间的距离．
【解答】解：由点D的坐标为（0，300）得：当x＝0时，y＝300，
∴AB＝300千米．
由图象可得：甲车5小时达B地，
∴甲车的速度＝300÷5＝60（千米/小时），
又∵点E的坐标为（3，0），
∴3小时后两车相遇，
300÷3＝100（千米/小时），
∴乙车的速度＝100﹣60＝40（千米/小时），
∴40×5＝200（千米），
∴即点F的坐标为（50，200），
设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，依题意可得：
60t﹣40t＝300，
解得t＝15，
∴EG＝15﹣3＝12，
∴△EFG的面积为：×12×200＝1200．
故答案为：1200．
18．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是　4+2　．

【分析】AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【解答】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，
∴△DEG也为等边三角形．
∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，
∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，
即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，
所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，
，
∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，
∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，
∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，
∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴CH＝＝2，BH＝，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，
∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，
故答案为：4+2．

三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解下列方程：
（1）（x﹣3）（x﹣1）＝﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0．
【分析】（1）整理后，利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣1）＝﹣1，
x2﹣4x+4＝0，
（x﹣2）2＝0，
解得，x1＝x2＝2；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
20．（10分）如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．

【分析】（1）根据将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，得AD＝AE，∠DAE＝50°，通过SAS证明△ACD≌△ABE，即可证出EB＝CD；
（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB＝115°，再根据AD＝AE，∠DAE＝50°，得∠AED＝65°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB，
∵∠ADC＝115°，
∴∠AEB＝115°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴∠AED＝65°，
∴∠BED＝50°．
21．（10分）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的概率；
（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）从甲袋摸出一个小球共有4种结果，其中小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的有3、4这两种结果，
∴小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的概率为＝；

（2）列表如下，

2
3
4
5
3
2，3
3，3
4，3
5，3
4
2，4
3，4
4，4
5，4
5
2，5
3，5
4，5
5，5
由表知共有12种等可能结果，其中m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解为3，4；4，3；3，3；4，4这4种结果，m，n都不是方程x2﹣7x+12＝0的解的结果有2，5；5，5这2种，
∴小明获胜的概率大．
22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“余二数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，若这个数除以4，余数为2，则称这个数为“余二数”．
例如：因为625÷4＝156…1，所以625不是“余二数”；因为126÷4＝31…2，所以126是“余二数”．
（1）判断722和119是否为“余二数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数n是“余二数”，且n的百位数字比十位数字大6，且各个数位上的数字之和是某个整数的平方，求出满足条件的所有“余二数”．
【分析】（1）根据“余二数”的定义分别计算即可判断；
（2）列举出可能的三位数分别用“余二数”的定义计算舍去不是“余二数”的数即可．
【解答】解：（1）722是“余二数”，119不是“余二数”，
理由如下：
∵722÷4＝180......2，
∴722是“余二数”，
∵119÷4＝29......3，
∴119不是“余二数”；
（2）∵n的百位数字比十位数字大6，
∴这样的数字组合有0和6，1和7，2和8，3和9，
∵各个数位上的数字之和是某个整数的平方，
∴6+0+3＝32，7+1+1＝32，7+1+8＝42，8+2+6＝42，9+3+4＝42，
∴n可能是603，711，718，826，934，
∵603÷4＝150......3，
711÷4＝177......3，
718÷4＝179......2，
826÷4＝206......2，
934÷4＝233......2，
故满足条件的所有“余二数”为：718，826，934．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，小哲根据已学的函数知识对函数y＝的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣2
﹣1
0


2
3
4
…
y
…


1
2
2
1
b

…
（1）请写出a和b的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的图象；

（3）直线y＝x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式≥x﹣1的解集．
【分析】（1）利用待定系数法求a的值，从而确定函数解析式，然后把x＝3代入解析式求得b的值；
（2）通过描点，连线作出函数图象；
（3）结合两函数图象的交点坐标确定不等式的解集．
【解答】解：（1）把x＝0，y＝1代入y＝中，
得：，
解得：a＝1，
∴a的值为1；
∴y＝，
当x＝3时，y＝，
∴b的值为；
（2）函数图象如图：

（3）由图象可得：不等式的解集为x≤2且x≠1．
24．（10分）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，某生鲜店销售两种不同口味的香肠，一种是广味香肠，另一种是川味香肠．其中“广味香肠”标价每千克50元，“川味香肠”标价每千克60元．
（1）某天，若该生鲜店售出“广味香肠”和“川味香肠”两种香肠共600千克，且销售总额不低于33000元，则这一天该生鲜店销售“川味香肠”至少多少千克？
（2）12月的第一周，该生鲜店按标价售出“广味香肠”300千克，“川味香肠”400千克．生鲜店根据市场情况，第二周适当调整两种香肠的售价，“广味香肠”的售价比第一周的标价增加了a%，销量与第一周保持不变；“川味香肠”的售价比第一周的标价减少了a%，销量比第一周增加了a%；结果第二周两种口味香肠的销售总额比第一周增加了a%，且a＞0，求a的值．
【分析】（1）设这一天该生鲜店销售“川味香肠”x千克，则销售“广味香肠”（600﹣x）千克，根据总价＝单价×数量，结合销售总额不低于33000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，结合第二周两种口味香肠的销售总额比第一周增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设这一天该生鲜店销售“川味香肠”x千克，则销售“广味香肠”（600﹣x）千克，
依题意得：60x+50（600﹣x）≥33000，
解得：x≥300．
答：这一天该生鲜店销售“川味香肠”至少300千克．
（2）依题意得：50（1+a%）×300+60（1﹣a%）×400（1+a%）＝（50×300+60×400）（1+a%），
整理得：2.4a2﹣60a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式；
（2）求出直线BC的解析式y＝x+3，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则S△PBC＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC有最大值，此时P（﹣，）；
（3）平移后抛物线解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5，联立﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，求出D（﹣2，3），则BD＝，设M（t，t+3），分三种情况：当四边形BDMN为菱形时，由DB＝DM，得10＝（t+2）2+t2，求出M（1，4）；当四边形BDNM为菱形时，由BD＝BM，得10＝（t+3）2+（t+3）2，求出M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；当四边形BMDN为菱形时，设BD的中点为G，则G（﹣，），由勾股定理得BM2＝BG2+GM2，即2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，求出M（﹣，）．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝x+3，
过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，
由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），
∴S△PBC＝×3×（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S△PBC有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5，
联立﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
∵B（﹣3，0），
∴BD＝，
∵M点在直线BC上，
设M（t，t+3），
当四边形BDMN为菱形时，如图1，
∴DB＝DM，
∴10＝（t+2）2+t2，
∴t＝1或t＝﹣3（舍），
∴M（1，4）；
当四边形BDNM为菱形时，如图2，
∴BD＝BM，
∴10＝（t+3）2+（t+3）2，
∴t＝﹣3或t＝﹣﹣3，
∴M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；
当四边形BMDN为菱形时，如图3，
设BD的中点为G，则G（﹣，），
∵GM⊥BD，
∴BM2＝BG2+GM2，
∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，
∴t＝﹣，
∴M（﹣，）；
综上所述：M点的坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）．




四、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段AB上一点，线段CD绕点C逆时针旋转90°能与线段CE重合，点F为AC与BE的交点．
（1）若BC＝5，CE＝4，求线段BD的长；
（2）猜想BD与AF的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）设CA＝3DA＝6，点M在线段CD上运动，点N在线段CA上运动，运动过程中，DN+MN的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

【分析】（1）先求出AB＝AC＝5,CD＝CE＝4,根据勾股定理求出AD＝,即可得出结论；
(2）延长BA至G，使AG＝AB，连接EG，判断出∠BCG＝90°,进而判断出△BCD≌△GCE，得出BD＝GE,∠CBD＝∠CGE＝45°,进而判断出AC∥GE,即可得出结论；
(3)延长DA至P，使AP＝AD，得出点P,点D关于AC对称，进而判断出MN+DN的最小值为PH，再用勾股定理求出CD，最后用面积求出PH，即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC,BC＝5,
∴AB＝AC＝BC＝5,
由旋转知，CD＝CE＝4,
在Rt△ADC中，AD＝＝＝,
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣；

(2)猜想：BD＝2AF,理由：如图1，延长BA至G，使AG＝AB，连接EG，
则CG＝CB,
∴∠ABC＝∠AGC,
在Rt△ABC中，AB＝AC,
∴∠ABC＝45°,
∴∠AGC＝45°,
∴∠BCG＝90°,
由旋转知，CD＝CE,∠DCE＝90°＝∠BCG,
∴∠BCD＝∠GCE,
∴△BCD≌△GCE(SAS),
∴BD＝GE,∠CBD＝∠CGE＝45°,
∴∠BGE＝∠CGB+∠CGE＝90°＝∠BAC,
∴AC∥GE,
∴,
∴＝,
∴EG＝2AF,
∴BD＝2AF；

(3)存在，如图2，延长DA至P，使AP＝AD，
∵∠BAC＝90°,
∴点P,点D关于AC对称，
∴MN+DN＝MH+PN,
过点P作PH⊥CD于H,
要使MN+DN最小，则点P,N,M在同一条线上，且PM⊥CD，
即MN+DN的最小值为PH，
∵CA＝3DA＝6，
∴AD＝2,
∴DP＝2AD＝4,CD＝＝＝2,
连接CP，
∴S△CDP＝DP•AC＝CD•PH,
∴PH＝＝＝,
即DN+MN的最小值为．


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日期：2021/8/10 22:47:26；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298