2020-2021学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
1．（3分）方程x2＝x的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝0
2．（3分）如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体的形状是（　　）

A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．圆锥
3．（3分）顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
4．（3分）两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
5．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．6
6．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为CD的中点，连接AE交BC的延长线于F点，P为BC上一点，当∠PAE＝∠DAE时，AP的长为（　　）

A．4 B． C． D．5
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
7．（3分）反比例函数y＝的图象在一、三象限，则m应满足　 　．
8．（3分）随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是　 　．
9．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10cm，∠CAB＝30°，AB＝6cm，则它的面积为　 　．
10．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是　 　．
11．（3分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4＝0有一个根为零，则a的值为　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣2，1），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为1：2，将△EFO扩大，则点E的对应点E'的坐标是　 　．
三、解答题（共5小题，满分30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣7x+6＝0．
14．（6分）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，若AD＝2，则MN的长是多少？

15．（6分）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

16．（6分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝4．求▱ABCD的面积．
17．（6分）已知方程x2+4x﹣2m＝0的一个根比另一个根小4，求这两个根和m的值．
四、（本题满分24分共有3道小题，每小题8分）
18．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

19．（8分）如图，y1＝﹣x+4与双曲线y2＝（x＞0）交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式y1＞y2的解集．

20．（8分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯
（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；
（2）如果小亮的身高AB＝1.6m，测得小亮影长BC＝2m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出灯杆的高PO．

五、（本题满分18分，共有2道小题，每小题9分）
21．（9分）文文以0.2元/支的价格购进一批铅笔，以0.4元/支的价格售出，每天销售量为400支，销售了两天后他决定降价，尽早销售完毕．经调查得知，铅笔单价每降0.01元，每天的销售量增加20支．
（1）为了使笔每天的利润达到原利润的75%，文文应把铅笔定价多少元合适？
（2）如果这批铅笔恰好一共在五天内全部销售完毕，请问这批铅笔有多少支？
22．（9分）阅读下面材料，再回答问题．
有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．请解决下列问题：
（1）菱形的“二分线”可以是　 　；
（2）三角形的“二分线”可以是　 　；
（3）在下面图中试用两种不同的方法分别画出等腰梯形的“二分线”．

六、（本题满分12分）
23．（12分）正方形ABCD的边长为4，E是CB上的一个动点，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线于点F，EF交对角线AC所在的直线于点M，DE交AC于点N．
（1）求证：CE＝AF；
（2）设CE＝x，当x为何值时，△AMF的面积为1；
（3）随着点E在射线CB上的运动，NA•MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA•MC的值，若变化，请说明理由．


2020-2021学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
1．（3分）方程x2＝x的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝0
【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故选：C．
2．（3分）如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体的形状是（　　）

A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．圆锥
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：只有三棱柱的俯视图为三角形，
故选：C．
3．（3分）顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定可知，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：D．

4．（3分）两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为18cm2，
∴较大多边形的面积为32cm2，
故选：C．
5．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】直接根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义求解．
【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|6|＝3．
故选：C．
6．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为CD的中点，连接AE交BC的延长线于F点，P为BC上一点，当∠PAE＝∠DAE时，AP的长为（　　）

A．4 B． C． D．5
【分析】根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
又∵∠PAE＝∠DAE，
∴∠PAE＝∠F，
∴PA＝PF，
在△ADE和△FCE中
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴CF＝AD＝4，
设CP＝x，PA＝PF＝x+4，BP＝4﹣x，
在直角△ABP中，
22+（4﹣x）2＝（x+4）2，
解得：x＝，
∴AP的长为：．
故选：B．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
7．（3分）反比例函数y＝的图象在一、三象限，则m应满足　m＞3　．
【分析】先根据反比例函数的性质得出m﹣3＞0，再解不等式即可得出结果．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在一、三象限，
∴m﹣3＞0，
解得m＞3．
故答案为：m＞3．
8．（3分）随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是　　．
【分析】依据题意先用分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：由树状图可知共有2×2＝4种可能，至少有一次正面朝上的有3种，所以概率是．
9．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10cm，∠CAB＝30°，AB＝6cm，则它的面积为　30cm2　．
【分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．
在直角三角形ABE中，
∠CAB＝30°，AB＝6，
∴BE＝AB•sin∠CAB＝6×＝3，
S△ABC＝AC•BE÷2＝15，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝30cm2．
故答案为：30cm2．

10．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是　6　．
【分析】因为菱形的四条边都相等，所以AB＝AD，又因为∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝6．
【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6．
∴菱形较短的对角线长是6．
故答案为6．

11．（3分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4＝0有一个根为零，则a的值为　﹣4　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝0代入原方程即可求得a的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4＝0，
可得a2+3a﹣4＝0，
解得a＝﹣4或a＝1，
∵二次项系数a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣2，1），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为1：2，将△EFO扩大，则点E的对应点E'的坐标是　（﹣4，2）或（4，﹣2）　．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为1：2，将△EFO扩大，点E的坐标为（﹣2，1），
∴点E的对应点E'的坐标为（﹣2×2，1×2）或（﹣2×（﹣2），1×（﹣2））即（﹣4，2）或（4，﹣2），
故答案为：（﹣4，2）或（4，﹣2）．
三、解答题（共5小题，满分30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣7x+6＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）∵x2﹣7x+6＝0，
∴（x﹣1）（x﹣6）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝1，x2＝6．
14．（6分）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，若AD＝2，则MN的长是多少？

【分析】根据第一次折叠得ED＝AE＝，设EH＝x，则DH＝2﹣x，在Rt△EDH中，由勾股定理可列出方程，求得，，又因为Rt△EDH～Rt△NAE，得NE＝，即可求出MN的长．
【解答】解：根据第一次折叠得ED＝AE＝，
设EH＝x，则DH＝2﹣x，
在Rt△EDH中，由勾股定理得：
ED2+DH2＝EH2，
∴12+（2﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴，，
∵∠AEN+∠DEH＝90°，
∠AEN+∠ANE＝90°，
∴∠DEH＝∠ANE，
∴Rt△EDH～Rt△NAE，
∴，
∴，
∴NE＝，
∴MN＝ME﹣NE＝2﹣．
15．（6分）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解（1）画树状图得：

则共有16种等可能的结果；

（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：＝．
16．（6分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝4．求▱ABCD的面积．
【分析】由△AOB是等边三角形可以推出▱ABCD是矩形，得出AC＝BD＝8，∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD，即可得出▱ABCD的面积．
【解答】解：如图，∵▱ABCD的对角线相交于点O，△AOB是等边三角形，
∴OA＝OC，OB＝OD，OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD＝2OA＝8，
∴AD＝＝＝4，
∴▱ABCD的面积＝AB•AD＝4×4＝16．

17．（6分）已知方程x2+4x﹣2m＝0的一个根比另一个根小4，求这两个根和m的值．
【分析】由方程x2+4x﹣2m＝0的一个根α比另一个根β小4，即可得α+β＝﹣4，α•β＝﹣2m，α＝β﹣4，解此方程组，即可求得答案．
【解答】解：设α、β是方程x2+4x﹣2m＝0的两个根，
∵方程x2+4x﹣2m＝0的一个根比另一个根小4，
∴α+β＝﹣4，α•β＝﹣2m，α＝β﹣4，
解得：α＝﹣4，β＝0，m＝0．
故此方程的两个根为﹣4和0，m的值为0．
四、（本题满分24分共有3道小题，每小题8分）
18．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE＝DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF＝∠FDA，利用等角对等边，可得AE＝DF，从而可证▱AEDF实菱形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，
同理∠DAE＝∠FDA，
∵AD＝DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE＝DF；

（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF＝∠FDA．
∴AF＝DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
19．（8分）如图，y1＝﹣x+4与双曲线y2＝（x＞0）交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式y1＞y2的解集．

【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）首先解析式联立，解方程组求得交点A、B的坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4得，m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
∵点A在双曲线y2＝（x＞0）上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y2＝；
（2）由，解得或，
∴A（1，3），B（3，1），
由图象可知：当x＞0时，不等式y1＞y2的解集是1＜x＜3；
20．（8分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯
（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；
（2）如果小亮的身高AB＝1.6m，测得小亮影长BC＝2m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出灯杆的高PO．

【分析】（1）直接根据题意得出影子BC的位置；
（2）根据题意得出△POC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质得出PO的长．
【解答】解：（1）如图所示：BC即为所求；

（2）由题意可得：PO⊥OC，AB⊥OC，
∴∠POC＝∠ABC＝90°，且∠OCP＝∠BCA，
∴△POC∽△ABC，
∴＝，
又∵AB＝1.6，BC＝2，OB＝13，
∴＝，
解得：PO＝12，
答：灯杆的高PO为12m．

五、（本题满分18分，共有2道小题，每小题9分）
21．（9分）文文以0.2元/支的价格购进一批铅笔，以0.4元/支的价格售出，每天销售量为400支，销售了两天后他决定降价，尽早销售完毕．经调查得知，铅笔单价每降0.01元，每天的销售量增加20支．
（1）为了使笔每天的利润达到原利润的75%，文文应把铅笔定价多少元合适？
（2）如果这批铅笔恰好一共在五天内全部销售完毕，请问这批铅笔有多少支？
【分析】（1）设铅笔的单价降了x元，则每支铅笔的利润为（0.4﹣x﹣0.2）元，每天的销售数量为（400+20×）支，根据总利润＝每支铅笔的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用这批铅笔的数量＝每天的销售量×销售天数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设铅笔的单价降了x元，则每支铅笔的利润为（0.4﹣x﹣0.2）元，每天的销售数量为（400+20×）支，
依题意得：（0.4﹣x﹣0.2）（400+20×）＝（0.4﹣0.2）×400×75%，
整理得：2000x2﹣20＝0，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣0.1（不合题意，舍去），
∴0.4﹣x＝0.3（元）．
答：文文应把铅笔定价为0.3元．
（2）400×2+（400+20×）×（5﹣2）＝2600（支）．
答：这批铅笔有2600支．
22．（9分）阅读下面材料，再回答问题．
有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．请解决下列问题：
（1）菱形的“二分线”可以是　对角线所在的直线　；
（2）三角形的“二分线”可以是　三角形三条中线所在的直线　；
（3）在下面图中试用两种不同的方法分别画出等腰梯形的“二分线”．

【分析】（1）根据菱形的性质，过菱形的对角线的交点的直线把菱形分成面积相等的两部分；
（2）利用三角形面积公式，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
（3）方法一：过上下底的中点的直线；方法二：过上底的两顶点作梯形的高，把梯形化为两直角三角形和矩形，则矩形的对角线所在的直线把梯形分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）菱形的“二分线”可以是对角线所在的直线；
故答案为对角线所在的直线；
（2）三角形的“二分线”可以是三角形三条中线所在的直线；
故答案为三角形三条中线所在的直线；
（3）如图，

六、（本题满分12分）
23．（12分）正方形ABCD的边长为4，E是CB上的一个动点，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线于点F，EF交对角线AC所在的直线于点M，DE交AC于点N．
（1）求证：CE＝AF；
（2）设CE＝x，当x为何值时，△AMF的面积为1；
（3）随着点E在射线CB上的运动，NA•MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA•MC的值，若变化，请说明理由．

【分析】（1）先判断出∠FDA＝∠CDE即可得出结论；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出比例式表示出AF边上的高MG，即可得出结论；
（3）先判断出△FAM≌△EIM，得出ME＝FM，再判断出△AND∽△CDM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DC＝DA，∠DCE＝∠DAE，
又∵∠CDE+∠ADE＝90°，即∠CDE＝∠ADF，
∴△ECD≌△FAD（ASA），
∴CE＝AF．

（2）解：如图1中，过点M作MG⊥AB于点G，

∵CB∥MG，
∴，
设MG＝h，则，
∴，
∴，
∴x1＝x2＝2，
∴x＝2时，△AMF的面积为1．

（3）解：不变，如图2中，作EI∥AB，交AC于点I，连接DM．

∵△ECD≌△FAD，
∴DE＝DF，
∵∠EDF＝90°，
∴△FDE为等腰Rt△，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECI＝45°，
∵EI∥AB，
∴∠IEM＝∠AFM，∠CEI＝∠ABC＝90°，
∴∠EIC＝∠ECI＝45°，
∴EC＝EI，
∵AF＝EC，
∴EI＝AF，
∵∠EMI＝∠FMA，
∴△FAM≌△EIM（AAS），
∴FM＝ME，
∴∠DNA＝45°+∠CDN＝∠MDC，
又∵∠DAN＝∠DCM＝45°，
∴△AND∽△CDM，
∴，
∴NA⋅MC＝AD⋅CD＝4×4＝16．
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日期：2021/8/10 22:52:37；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298