2020-2021学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（　　）
A．115° B．65° C．25° D．35°
2．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（　　）

A．2 B．1.5 C．4 D．3
3．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝1：2：2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝1，b＝3，c＝ D．∠A+∠B＝90°
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．×＝15 C．3﹣＝3 D．÷＝2
5．（3分）下列函数的图象y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝2x B．y＝3x+1 C．y＝4x﹣1 D．y＝﹣2x+1
6．（3分）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　）

A． B． C．+1 D．+1
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
8．（3分）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　）
A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3在直线y＝x+b上，点B1，B2，B3在x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形，若已知点A1（1，1），则点A3的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是　 　．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为　 　．

14．（3分）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是　 　m．

15．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，则点C的坐标为　 　．

三、解答题（共8题，共75分）
16．（16分）计算：
（1）（﹣）﹣2（﹣）；
（2）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2；
（3）（﹣）×；
（4）已知x＝﹣2，求（9+4）x2﹣（+2）x+4的值．
17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，1），B（﹣2，4），直线AB与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△OAB是直角三角形．

19．（8分）随着信息技术的高速发展，计算机技术已是每位学生应该掌握的基本技能．为了提高学生对计算机的兴趣，老师把甲、乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字（个）
132
133
134
135
136
137
甲组人数（人）
1
0
1
5
2
1
乙组人数（人）
0
1
4
1
2
2
（1）请你填写下表中甲班同学的相关数据．
组别
众数
中位数
平均数（）
方差（s2）
甲组人数（人）
a
b
c
1.6
乙组人数（人）
134
134.5
135
1.8
则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若每分钟输入汉字个数136及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？
（3）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价）．
20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝2，AD＝4，求BE的长．

21．（9分）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以下信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．

22．（10分）如图1，四边形ABCD为矩形，AD＝12，AB＞AD，线段AB上有一动点E，连接DE，将△DEA沿DE折叠到△DEA．
（1）若AB＝16，当A′落在BD上时，求AE的长；
（2）如图2，G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数，若变化，请说明理由；
（3）如图3，点M、N分别在线段DE、AD上，连接AM、MN，当∠ADE＝30°时，求AM+MN的最小值．

23．（11分）实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标；
（3）平面内是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．


2020-2021学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（　　）
A．115° B．65° C．25° D．35°
【分析】由平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝65°，
故选：B．
2．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（　　）

A．2 B．1.5 C．4 D．3
【分析】根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，CB的中点，
∴DE＝AC＝2，
故选：A．
3．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝1：2：2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝1，b＝3，c＝ D．∠A+∠B＝90°
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、x2+（2x）2≠（2x）2，不能判定△ABC为直角三角形，符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∵∠a＝1，b＝3，c＝，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．×＝15 C．3﹣＝3 D．÷＝2
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式＝＝2，所以D选项正确．
故选：D．
5．（3分）下列函数的图象y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝2x B．y＝3x+1 C．y＝4x﹣1 D．y＝﹣2x+1
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、k＝2＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意；
B、k＝3＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意；
C、k＝4＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意；
D、k＝﹣2＜0，y随着x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　）

A． B． C．+1 D．+1
【分析】根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答．
【解答】解：由题意得，BC＝AB＝1，
由勾股定理得，AC＝＝，
则AM＝，
∴点M对应的数是+1，
故选：C．
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】先证明MO为AC的线段垂直平分线，则MC＝AM，依次通过△CDM周长值可得AD+DC值，则平行四边形周长为2（AD+DC）．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵OM⊥AC，
∴MA＝MC．
∴△CDM周长＝MD+MC+CD＝MD+MA+CD＝AD+DC＝8．
∴平行四边形ABCD周长＝2（AD+DC）＝16．
故选：C．
8．（3分）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　）
A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分
【分析】直接利用加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：小丽本学期的总评成绩应该是93×10%+90×30%+95×60%＝93.3（分），
故选：D．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【分析】先解方程nx+4n＝0得到直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出在x轴上方且直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的下方所对应的自变量的范围，再找出此范围内的整数即可．
【解答】解：当y＝0时，nx+4n＝0，解得x＝﹣4，所以直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），
当x＞﹣4时，nx+4n＞0；
当x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n，
所以当﹣4＜x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n＞0，
所以不等式组﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为x＝﹣3．
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3在直线y＝x+b上，点B1，B2，B3在x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形，若已知点A1（1，1），则点A3的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．
【分析】设点A2，A3，A4坐标，根据等腰直角三角形的性质、结合函数解析式，即可求解．
【解答】解：∵A1（1，1）在直线y＝x+b上，
∴b＝，
∴y＝x+．
设A2（x2，y2），A3（x3，y3），
则有 y2＝x2+，y3＝x3+．
又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形．
∴x2＝2y1+y2，
x3＝2y1+2y2+y3，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
y2＝y1+1
y3＝y1+y2+1＝ y2
又∵y1＝1
∴y2＝，
y3＝（）2＝，
∴点A3的纵坐标是，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是　x≥3　．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
12．（3分）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是　2　．
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【解答】解：∵数据2，0，1，x，3的平均数是2，
∴（2+0+1+x+3）＝2，
解得：x＝4，
∴这组数据的方差是S2＝[（2﹣2）2+（0﹣2）2+（1﹣2）2+（4﹣2）2+（3﹣2）2]＝2；
故答案为：2．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为　4cm　．

【分析】根据平行四边形的性质可知AO＝OC，OD＝OB，据此求出AO、DO的长，利用勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB，
又∵AC＝10cm，BD＝6cm，
∴AO＝5cm，DO＝3cm，
∴AD＝＝4cm．
14．（3分）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是　1.4　m．

【分析】先根据勾股定理求出OB的长，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠O＝90°，AB＝2.6，OA＝2.4，
∴OB＝＝＝1，
设AC＝BD＝x，
∴OC＝2.4﹣x，OD＝1+x，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴2.62＝（2.4﹣x）2+（1+x）2，
解得：x＝1.4，
∴AC＝1.4．
故答案为：1.4．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，则点C的坐标为　（0，3）　．

【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，
∠CMP＝∠DNP＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，

∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴BN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
故答案为（0，3）．

三、解答题（共8题，共75分）
16．（16分）计算：
（1）（﹣）﹣2（﹣）；
（2）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2；
（3）（﹣）×；
（4）已知x＝﹣2，求（9+4）x2﹣（+2）x+4的值．
【分析】（1）先利用二次根式的性质分别化简各数，然后先去括号，再算加减；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算乘方和乘法，然后去括号，最后算加减；
（3）先利用二次根式的性质分别化简各数，然后先算小括号里面的，再算括号外面的；
（4）将x的值代入原式，然后先用完全平方公式计算乘方，再用平方差公式计算乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣）﹣2（）
＝2﹣﹣+2
＝4﹣；
（2）原式＝32﹣（）2﹣[（）2﹣2+1）
＝9﹣5﹣3+2﹣1
＝2；
（3）原式＝（）×
＝（）×
＝﹣3
＝7﹣21；
（4）当x＝﹣2时，
原式＝（9+4）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）+4
＝（9+4）[（）2﹣4+22]﹣（5﹣4）+4
＝（9+4）（9﹣4）﹣1+4
＝92﹣（4）2﹣1+4
＝81﹣80﹣1+4
＝2．
17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】首先根据平行线的性质可得∠DBC＝∠BDA＝90°，再根据直角三角形的性质可得DE＝AB，BF＝DC，然后可得AB＝CD，再证明Rt△ADB≌Rt△CBD可得∠A＝∠C．
【解答】证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，
∴∠DBC＝∠BDA＝90°，
∵在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE＝AB，
同理：BF＝DC，
∵DE＝BF，
∴AB＝CD，
在Rt△ADB和Rt△CBD中，，
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，1），B（﹣2，4），直线AB与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△OAB是直角三角形．

【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点C的坐标；
（2）根据勾股定理分别求出OA2、OB2、AB2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】（1）解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
点A（2，1），B（﹣2，4），
则，
解得，，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+，
∴点C的坐标为（0，）；
（2）证明：∵点A（2，1），B（﹣2，4），
∴OA2＝22+12＝5，OB2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25，
则OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB是直角三角形．
19．（8分）随着信息技术的高速发展，计算机技术已是每位学生应该掌握的基本技能．为了提高学生对计算机的兴趣，老师把甲、乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字（个）
132
133
134
135
136
137
甲组人数（人）
1
0
1
5
2
1
乙组人数（人）
0
1
4
1
2
2
（1）请你填写下表中甲班同学的相关数据．
组别
众数
中位数
平均数（）
方差（s2）
甲组人数（人）
a
b
c
1.6
乙组人数（人）
134
134.5
135
1.8
则a＝　135　，b＝　135　，c＝　135　；
（2）若每分钟输入汉字个数136及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？
（3）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价）．
【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数的计算公式分别进行解答即可；
（2）根据表中给出的数据，得出甲组优秀的人数有3人，乙组优秀的人数有4人，从而得出乙组成绩更好一些；
（3）从中位数看，甲组每分钟输入135字以上的人数比乙组多；从方差看，S2甲＜S2乙；甲组成绩波动小，比较稳定．
【解答】解：（1）甲组的众数135个；中位数是135个；
平均数是：×（132+134+135×5+136×2+137）＝135（个）；
故答案为：135，135，135；

（2）∵每分钟输入汉字个数136及以上的甲组人数有3人，乙组有4人，
∴乙组成绩更好一些；

（3）从中位数看，甲组每分钟输入135字以上的人数比乙组多，甲组成绩更好一些；
从方差看，S2甲＜S2乙，甲组成绩波动小，比较稳定．
20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝2，AD＝4，求BE的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BD，由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，即可得结论；
（2）连接BE交CD于O，由菱形的性质可得DO＝CO＝CD＝1，BO＝BE，CD⊥BE，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD＝BD，
∴BD＝BC，
∵CE∥BD，AD∥BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
又∵BD＝BC，
∴四边形BDEC是菱形；
（2）如图，连接BE交CD于O，

∵四边形BDEC是菱形，
∴DO＝CO＝CD＝1，BO＝BE，CD⊥BE，
在Rt△BDO中，AD＝BD＝4，DO＝1，
∴BO＝＝＝，
∴BE＝2BO＝2．
21．（9分）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以下信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．

【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；
（2）当y1＝y2时，15x+80＝30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＜30x，分别求得x的取值范围即可得出方案．
【解答】解：（1）设y1＝k1x+80，
把点（1，95）代入，可得
95＝k1+80，
解得k1＝15，
∴y1＝15x+80（x≥0）；
设y2＝k2x，
把（1，30）代入，可得
30＝k2，即k2＝30，
∴y2＝30x（x≥0）；

（2）当y1＝y2时，15x+80＝30x，
解得x＝；
当y1＞y2时，15x+80＞30x，
解得x＜；
当y1＜y2时，15x+80＜30x，
解得x＞；
∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
22．（10分）如图1，四边形ABCD为矩形，AD＝12，AB＞AD，线段AB上有一动点E，连接DE，将△DEA沿DE折叠到△DEA．
（1）若AB＝16，当A′落在BD上时，求AE的长；
（2）如图2，G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数，若变化，请说明理由；
（3）如图3，点M、N分别在线段DE、AD上，连接AM、MN，当∠ADE＝30°时，求AM+MN的最小值．

【分析】（1）设AE＝a，由勾股定理得到BE＝16﹣a，BD＝＝20，根据折叠的性质得到A′E＝AE＝a，A′D＝AD＝12，在Rt△A′EB中，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接DE，AA′，根据三角形的中位线的性质得到GH∥A′O，HK∥DE，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）由三角形的内角和得到∠ADA′＝60°，连接AA′，得到△AA′D是等边三角形，求得A′D＝AD＝12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值＝A′N，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）设AE＝a，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝12，AB＝16，
∴BE＝16﹣a，BD＝＝20，
∵将△DEA沿DE折叠到△DEA，
∴A′E＝AE＝a，A′D＝AD＝12，
∴BA′＝20﹣12＝8，
在Rt△A′EB中，
∵A′E2+A′B2＝EB2，
即a2+82＝（16﹣a）2，
解得：a＝6，
∴AE＝6；
（2）当点E在AB边上运动时，∠GHK＝90°；
理由：连接DE，AA′交于点O，设DO与GH交于P，
由题意知，∠DOA′＝90°，
∵G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，
∴GH∥A′O，HK∥DE，
∴DO⊥HG，∠DPH＝90°，
∵HK∥DE，
∴∠KHP＝90°，
∴∠GHK＝90°；
（3）由题意知，∠ADM＝∠EDA′＝30°，
∴∠ADA′＝60°，
连接AA′，
∴△AA′D是等边三角形，
∴A′D＝AD＝12，
过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，
则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值＝A′N，
∵AD＝A′D＝12，
∴DN＝A′D＝6，
∴A′N＝＝6，
∴AM+MN的最小值是6．


23．（11分）实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标；
（3）平面内是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线l1的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，利用三角形的面积公式结合△OCD的面积是△AOC面积的，可求出OD的长，进而可得出点D的坐标；
（3）设点E的坐标为（m，n），分OA为对角线、OC为对角线及AC为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点E的坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝2x＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（0，3），C（1，2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+3．
（2）当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵S△OCD＝S△AOC，即×1×OD＝××2×OA，
∴OD＝OA＝4，
∴点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
（3）设点E的坐标为（m，n），分三种情况考虑（如图2）：
①当OA为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，
∴点E1的坐标为（2，﹣2）；
②当OC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，
∴点E2的坐标为（﹣2，2）；
③当AC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，
∴点E3的坐标为（4，2）．
综上所述：平面内存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（2，﹣2），（﹣2，2）或（4，2）．


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日期：2021/8/10 22:49:54；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298