2020-2021学年四川省广安市五县（市）九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省广安市五县（市）九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探究题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省广安市五县（市）九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3x＝ B．x（x+2）＝x2 C．x2＝3（x﹣2） D．ax2+bx+c＝0
3．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．打开电视，正在播放电视剧《隐秘而伟大》是必然事件
B．“若m，n互为相反数，则m+n＝0”，这一事件是随机事件
C．“1，3，2，1的中位数一定是2”，这一事件是不可能事件
D．“广安市明天降雨的概率是80%”，意思是广安市明天有80%的时间在降雨
4．（3分）如图，若△ABC绕点A沿逆时针方向旋转56°后与△AB1C1重合，则∠AB1B的度数为（　　）

A．62° B．60° C．56° D．34°
5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝132°，则∠BOD的度数为（　　）

A．48° B．96° C．132° D．144°
6．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
7．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+6的图象向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得的抛物线的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣4
C．y＝﹣3（x+2）2+2 D．y＝﹣3（x+2）2﹣4
8．（3分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0； ④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（　　）

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（请将最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为　 　．
12．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是　 　．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．

14．（3分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π，扇形的圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是　 　．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0）和（3，0），月牙绕点B旋转90°得到新的月牙，则点A的对应点A'的坐标是　 　．

16．（3分）如图，MN是半径为3的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共4个小题．第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）解方程：（x+3）2＝5（x+3）
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）作出△ABC关于点O对称的图形△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．

19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）若BE＝1，CD＝4，求AD的长．

20．（6分）某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶5m时，水面AB宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过这座拱桥？

四、实践应用题（本大题共4个小题．第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，我们在行动．广安市某县2018年的绿化面积约1200万平方米，预计2020年的绿化面积约1587万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率．
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
22．（8分）森林防火，人人有责．前不久，华蓥市公安局结合华蓥山竹林风景线建设，在华蓥山国家森林公园、石林景区，以“严防森林火灾、保护绿水青山”为主题，开展了森林防灭火知识宣传．广安市某校为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生一共有　 　人，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有1000名学生，请你估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有多少人？
（3）九（2）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一男一女的概率．
23．（8分）某超市销售一种文具，进价为5元/件．在销售过程中发现，当售价为6元/件时，日销售量为100件，每件售价每上涨0.5元，日销售量就减少5件．设每件文具的售价为x元/件时（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）若每件文具的利润不超过80%，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应为多少元？并求出最大利润．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（2）当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出DE和BE之间的数量关系．

五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积．

六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，AC＝2BC，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年四川省广安市五县（市）九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3x＝ B．x（x+2）＝x2 C．x2＝3（x﹣2） D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、由已知方程化简得到：2x＝0，未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，它不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．打开电视，正在播放电视剧《隐秘而伟大》是必然事件
B．“若m，n互为相反数，则m+n＝0”，这一事件是随机事件
C．“1，3，2，1的中位数一定是2”，这一事件是不可能事件
D．“广安市明天降雨的概率是80%”，意思是广安市明天有80%的时间在降雨
【分析】A、B、C、利用随机事件的定义判断即可；D根据及概率的意义分析得出答案．
【解答】解：A、打开电视，正在播放电视剧《隐秘而伟大》是随机事件，故选项A错误；
B、若m，n互为相反数，则m+n＝0，事件是必然事件，故选项B错误；
C、1，3，2，1的中位数一定是2，事件是不可能事件，1，3，2，1的中位数一定是1.5，故选项C正确；
D、广安市明天降雨的概率是80%”，意思是表明明天有80%的时间可能降雨，故选D错误．
故选：C．
4．（3分）如图，若△ABC绕点A沿逆时针方向旋转56°后与△AB1C1重合，则∠AB1B的度数为（　　）

A．62° B．60° C．56° D．34°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB1，∠BAB1＝56°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转56°后与△AB1C1重合，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝56°，
∴∠AB1B＝∠ABB1＝62°，
故选：A．
5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝132°，则∠BOD的度数为（　　）

A．48° B．96° C．132° D．144°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝48°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝132°，
∴∠A＝48°，
∵对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD＝2∠A＝96°，
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
【分析】根据根的判别式符号和一元二次方程的定义解答．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣1）×（﹣2）＝8m﹣4＞0，
∴m＞，
∵（m﹣1）x2+2x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m＞且m≠1，
故选：C．
7．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+6的图象向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得的抛物线的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣4
C．y＝﹣3（x+2）2+2 D．y＝﹣3（x+2）2﹣4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2+6的图象向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+6﹣4，即y＝﹣3（x﹣2）2+2，
故选：A．
8．（3分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用甜粽的数量除以粽子的总数量即可．
【解答】解：小明任意选取一个共有15种等可能结果，其中选到甜粽的有8种结果，
所以选到甜粽的概率为，
故选：B．
9．（3分）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0； ④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（　　）

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题（请将最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为　2017　．
【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，
所以2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017．
故答案为：2017．
12．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是　0.6　．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率可得答案．
【解答】解：∵通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，
∴估计摸到红球的概率为0.6，
故答案为：0.6．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　x1＝6，x2＝﹣2　．

【分析】抛物线的对称轴为x＝2，抛物线和x轴的一个交点为（6，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣2，0），即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（6，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣2，0），
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝6或﹣2，
故答案为：x1＝6，x2＝﹣2．
14．（3分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π，扇形的圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是　2　．
【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．
由题意，＝24π，
解得r＝12或﹣12（舍弃），
∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，
∴＝2•π•R，
∴R＝2，
故答案为：2．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0）和（3，0），月牙绕点B旋转90°得到新的月牙，则点A的对应点A'的坐标是　（3，6）或（3，﹣6）　．

【分析】由点A、B的坐标求出AB的长度，再根据旋转角为90°可知A′B⊥x轴，再分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论求解．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∵月牙绕点B旋转90°得到点A的对应点A′，
∴A′B⊥x轴，
①若顺时针旋转，则点A′在第一象限，A′（3，6），
②若逆时针旋转，则点A′在第四象限，A′（3，﹣6），
综上所述，A′的坐标为（3，6）或（3，﹣6）．
故答案为：（3，6）或（3，﹣6）．
16．（3分）如图，MN是半径为3的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　3　．

【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AON＝2∠AMN，再求出∠NOB′，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，
由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，
∵∠AMN＝30°，
∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠NOB′＝×60°＝30°，
∴∠AOB′＝90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为3，
∴AB′＝3，
即PA+PB的最小值为为3．
故答案为：3．

三、解答题（本大题共4个小题．第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）解方程：（x+3）2＝5（x+3）
【分析】首先提取公因式（x+3）得到（x+3）（x+3﹣5）＝0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵（x+3）2＝5（x+3），
∴（x+3）（x+3﹣5）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）作出△ABC关于点O对称的图形△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点绕点O顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）若BE＝1，CD＝4，求AD的长．

【分析】（1）利用垂径定理得到，根据圆周角定理的推论得到∠AGD＝∠ADC，再利用圆内接四边形的性质得到∠FGC＝∠ADC，从而得到结论；
（2）连接OD，如图，根据垂径定理得到DE＝CE＝4，利用勾股定理得到DO2＝（OD﹣2）2+42，则可求出OD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴．
∴∠AGD＝∠ADC．
∵四边形ADCG是⊙O的内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD．
（2）解：如图，连接OD．

∵CD⊥AB，CD＝4，
∴DE＝CE＝2．
在Rt△DOE中，DO2＝OE2+DE2，
∴DO2＝（OD﹣1）2+22，
解得，
∴AE＝2OD﹣BE＝5﹣1＝4，
∴．
20．（6分）某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶5m时，水面AB宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过这座拱桥？

【分析】当水面距拱顶5m时，水面宽8m，则B（4，﹣5），设抛物线的解析式为y＝ax2，将点B的坐标代入上式求出函数解析式再将x＝2代入解析式，得y＝﹣，而＝1.8＜2，即可判断船不能安全通过．
【解答】解：当水面距拱顶5m时，水面宽8m，
∴点B的坐标是（4，﹣5），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
将点B（4，﹣5）代入y＝ax2，
得：﹣5＝a×42，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为．
将x＝2代入，
得，
∵，
而1.8＜2，
∴当水面离拱顶1.8m时，木船不能通过这座拱桥．
四、实践应用题（本大题共4个小题．第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，我们在行动．广安市某县2018年的绿化面积约1200万平方米，预计2020年的绿化面积约1587万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率．
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
【分析】（1）设每年绿化面积的平均增长率为x，根据该县2018年及2020年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2021年的绿化面积＝2020年的绿化面积×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x，
依题意得：1200（1+x）2＝1587，
解得：x1＝0.15＝15%，x2＝﹣2.15（不合题意，舍去）．
答：每年绿化面积的平均增长率为15%．
（2）1587×（1+15%）＝1825.05（万平方米）．
答：2021年的绿化面积是1825.05万平方米．
22．（8分）森林防火，人人有责．前不久，华蓥市公安局结合华蓥山竹林风景线建设，在华蓥山国家森林公园、石林景区，以“严防森林火灾、保护绿水青山”为主题，开展了森林防灭火知识宣传．广安市某校为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生一共有　200　人，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有1000名学生，请你估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有多少人？
（3）九（2）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比求出调查的学生数，再用学生总人数减去其他等级的人数求出C等级的人数，从而补全统计图；
（2）用该校的总人数乘以“基本了解”森林防灭火知识的学生所占的百分即可；
（3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次参与调查的学生一共有：20÷10%＝200（人），
C等级的人数为：200﹣（40+60+20）＝80（人），补全条形统计图如下：

故答案为：200．

（2）1000×＝400（人），
答：估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有400人．

（3）列表如下：

男1
男2
男3
女1
女2
男1

男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2

男3男2
女1男2
女2男2
男3
男1男3
男2男3

女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1

女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2

由图可知，一共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的有12种，
则恰好抽到一男一女的概率为＝．
23．（8分）某超市销售一种文具，进价为5元/件．在销售过程中发现，当售价为6元/件时，日销售量为100件，每件售价每上涨0.5元，日销售量就减少5件．设每件文具的售价为x元/件时（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）若每件文具的利润不超过80%，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应为多少元？并求出最大利润．
【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销售数量可得函数解析式；
（2）先根据每件文具利润不超过80%求出x的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，继而利用二次函数的性质求解可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得y＝（x﹣5）[100﹣（x﹣6）÷0.5×5]＝﹣10x2+210x﹣800，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+210x﹣800；
（2）∵每件文具的利润不超过80%，
∴x﹣5≤5×80%，解得x≤9，
∴文具的售价x的取值范围是6≤x≤9．
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10×（x﹣10.5）2+302.5，
∵此抛物线的对称轴为直线x＝10.5，
∴当6≤x≤9时，y随x的增大而增大，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280．
故要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应为9元，最大利润为280元．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（2）当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出DE和BE之间的数量关系．

【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半可得出答案．
【解答】解：（1）DE＝BE．
理由如下：由旋转可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AE，∠AED＝60°．
∵∠ABC＝30°，∠AED＝∠ABC+∠EAB，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABC＝∠EAB，
∴BE＝AE，
∴DE＝BE．
（2）图2、图3中结论仍成立．
选择图2证明如下：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE，
即∠CAD＝∠EAF．
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AFE＝90°，
∴△ADC≌△AEF（AAS），
∴AC＝AF．
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴，
∴．
又∵EF⊥AB，
∴AE＝BE．
由（1）知AE＝DE，
∴DE＝BE．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）得出∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到DF＝3，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，CD．

∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC．
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ODF＝90°．
∵∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°．
在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴，
∴．
在Rt△ODF中，∠F＝30°，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，AC＝2BC，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由已知可求OB＝1，BC＝3，AC＝6，则点A（﹣2，6），把A（﹣2，6），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式；
（2）①先求出直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+2，设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），则PE＝﹣a2﹣a+2，当时，PE的最大值为，此时；②在直线PD上存在点M，使点M在以AB为直径的圆上，则，设，可求，，AB2＝32+62＝45，由∠AMB＝90°，再由勾股定理可得，解得，，即可求或．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴BC＝3，C（﹣2，0），
在Rt△ABC中，AC＝2BC，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①设直线AB的函数解析式为y＝kx+n，
把A（﹣2，6），B（1，0）代入y＝kx+n，
得，
解得，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+2，
设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），
∴，
当时，PE的最大值为，此时；
②在直线PD上存在点M，使点M在以AB为直径的圆上，
∵点M在直线PD上，且，
∴设，
则，，AB2＝32+62＝45，
∵点M在以AB为直径的圆上，
∴∠AMB＝90°，
∴AM2+BM2＝AB2，
∴，
解得，，
∴或．


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