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2019年甘肃省定西市临洮县中考数学一模试卷（解析版）
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这是一份2019年甘肃省定西市临洮县中考数学一模试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了﹣2019的倒数是，下列计算正确的是，下列说法正确的是，分式方程＝1的解为，若关于x的一元二次方程方程，二次函数y＝ax2+bx+c个等内容，欢迎下载使用。
2019年甘肃省定西市临洮县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．﹣2019的倒数是（ ）
A．2019 B． C．﹣ D．﹣2019
2．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
4．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．审核书稿中有哪些科学性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
5．分式方程＝1的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
6．如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为（ ）
A．34° B．56° C．124° D．146°
7．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
8．如图，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝（ ）
A．15° B．25° C．30° D．40°
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论正确的有（ ）个
①abc＞0②4ac﹣b2＜0③3b+2c＜0④a﹣b+c＞0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．太阳半径约是6.97万千米，科学记数法表示约是 千米．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．分解因式：a3﹣ab2＝ ．
14．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝ ．
15．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
16．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6cm，则AC＝ cm．
17．如图，AB∥CD，AB＝5，CD＝3，E，F分别是AC和BD的中点，则EF的长度是 ．
18．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要 根火柴．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（﹣1）2018+2×cos60°﹣
20．先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．
21．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
22．某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为y2＝（m≠0）的图象交于点A（3，1）和点B，且经过点C（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求当y1＞y2时自变量x的取值范围．
24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE＝ 时，四边形BECD是菱形．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AB于点E，交AC于点F
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径是2cm，F是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
26．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2019的倒数是（ ）
A．2019 B． C．﹣ D．﹣2019
【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2019的倒数是：﹣．
故选：C．
2．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．审核书稿中有哪些科学性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
【分析】由随机事件和必然事件的定义得出A错误，由统计的调查方法得出B错误；由方差的性质得出C正确，由概率的计算得出D错误；即可得出结论．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，是随机事件，选项A错误；
B、审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；
C、甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；
D、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，不是，选项D错误；
故选：C．
5．分式方程＝1的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解，
故选：B．
6．如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为（ ）
A．34° B．56° C．124° D．146°
【分析】根据平行线性质求出∠3＝∠1＝50°，代入∠2+∠3＝180°即可求出∠2．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝124°，
故选：C．
7．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤5且k≠1．
故选：C．
8．如图，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝（ ）
A．15° B．25° C．30° D．40°
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：设AC和OB交于M，如图，
∵∠AOB＝50°，
∴由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝25°，
∵∠OBC＝40°，
∴∠AMB＝∠ACB+∠OBC＝25°+40°＝65°，
∴∠OAC＝∠AMB﹣∠AOB＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD
∴OF⊥CD
∴OE＝12，OF＝2
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD
∵OE，OF分别是它们的高
∴，
∵AB＝6，
∴CD＝1，
故选：D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论正确的有（ ）个
①abc＞0②4ac﹣b2＜0③3b+2c＜0④a﹣b+c＞0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝﹣1时，x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴为直线x＝﹣1，可得出b与a同号，即b＞0，则abc＞0，故①正确；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确；
由函数图象可以看出当x＝1时，二次函数的值为负，即a+b+c＜0，由﹣＝﹣1可得a＝b，所以b+b+c＜0，整理得出3b+2c＜0，故③正确；
把由函数图象可以看出当x＝﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，故④正确；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．太阳半径约是6.97万千米，科学记数法表示约是 6.97×104 千米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：解：将74.4万亿用科学记数法表示为：6.97×104．
故答案为6.97×104．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 x＞﹣1 ．
【分析】根据被开放是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由有意义，得
x+1＞0，
解得x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
13．分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
14．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝ 20% ．
【分析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x．
【解答】解：依题意，有：100（1+x）2＝144，
1+x＝±1.2，
解得：x＝20%或﹣2.2（舍去）．
故答案为：20%．
15．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
16．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6cm，则AC＝ 6 cm．
【分析】延长原矩形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠ACB，根据翻折变换的性质可得∠1＝∠ABC，从而得到∠ABC＝∠ACB，再根据等角对等边可得AC＝AB，从而得解．
【解答】解：如图，延长原矩形的边，
∵矩形的对边平行，
∴∠1＝∠ACB，
由翻折变换的性质得，∠1＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∵AB＝6cm，
∴AC＝6cm．
故答案为：6．
17．如图，AB∥CD，AB＝5，CD＝3，E，F分别是AC和BD的中点，则EF的长度是 1 ．
【分析】连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE＝HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．
【解答】解：连接DE并延长交AB于H．
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，
∵E是AC中点，
∴DE＝EH，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∴EF＝1．
故答案为：1．
18．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要 （6n+2） 根火柴．
【分析】观察图形得到第1个图形用了8根火柴，第2个图形用了8+6＝14根火柴，第3个图形用了8+6+6＝20根火柴，于是第n个图形用的火柴根数＝6n+2．
【解答】解：第1个图形用了8＝6+2根火柴，
第2个图形用了8+6＝14＝6×2+2根火柴，
第3个图形用了8+6+6＝20＝6×3+2根火柴，
…
第n个图形用了（6n+2）根火柴．
故答案为：（6n+2）．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（﹣1）2018+2×cos60°﹣
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2×﹣4+1＝﹣1．
20．先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
由﹣1≤x＜3，x为整数，得到x＝﹣1，0，1，2，
经检验x＝﹣1，0，1不合题意，舍去，
则当x＝2时，原式＝4．
21．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG＝，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
22．某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是＝；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是＝．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为y2＝（m≠0）的图象交于点A（3，1）和点B，且经过点C（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求当y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）联立反比例函数和一次函数的表达式求出点B的坐标即可解答．
【解答】解：（1）把点A（3，1）代入y2＝（m≠0）得m＝3，
∴反比例函数的不等式为，
把A（3，1）和C（0，﹣2）代入y1＝kx+b（k≠0）得：
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2，；
（2）由得B（﹣1，﹣3），
∴当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＞y2．
24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 2 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE＝ 4 时，四边形BECD是菱形．
【分析】（1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形；
（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，再由∠ABC＝120°可得∠ECB＝30°，再根据直角三角形的性质可得BE＝2；
②根据四边形BECD是菱形可得BE＝EC，再由∠ABC＝120°，可得∠CBE＝60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①BE＝2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°；
∴∠ECB＝30°，
∴BE＝BC＝2，
故答案为：2；
②BE＝4，
∵四边形BECD是菱形时，BE＝EC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE＝BC＝4．
故答案为：4．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AB于点E，交AC于点F
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径是2cm，F是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）根据圆周角定理得到＝，求出∠EOD＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∵F是弧AD的中点，
∴＝，
∴，
∴∠EOD＝60°，
∵OD＝2，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BDO﹣S扇形EOD＝×2×2﹣＝2﹣πcm2．
26．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF＝a，PF＝﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE＝a，PE＝﹣a2+3a+4，EB＝4﹣a．然后依据S△PBC＝S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：，
解得：b＝3，c＝4．
抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1所示：
∵令x＝0得y＝4，
∴OC＝4．
∴OC＝OB．
∵∠CFP＝∠COB＝90°，
∴FC＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．
则CF＝a，PF＝|﹣a2+3a+4﹣4|＝|a2﹣3a|．
∴|a2﹣3a|＝a．
解得：a＝2，a＝4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE＝a，PE＝﹣a2+3a+4，EB＝4﹣a．
∵S四边形PCEB＝OB•PE＝×4（﹣a2+3a+4），S△CEB＝EB•OC＝×4×（4﹣a），
∴S△PBC＝S四边形PCEB﹣S△CEB＝2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）＝﹣2a2+8a．
∵a＝﹣2＜0，
∴当a＝2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
2019年甘肃省定西市临洮县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．﹣2019的倒数是（ ）
A．2019 B． C．﹣ D．﹣2019
2．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
4．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．审核书稿中有哪些科学性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
5．分式方程＝1的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
6．如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为（ ）
A．34° B．56° C．124° D．146°
7．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
8．如图，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝（ ）
A．15° B．25° C．30° D．40°
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论正确的有（ ）个
①abc＞0②4ac﹣b2＜0③3b+2c＜0④a﹣b+c＞0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．太阳半径约是6.97万千米，科学记数法表示约是 千米．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．分解因式：a3﹣ab2＝ ．
14．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝ ．
15．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
16．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6cm，则AC＝ cm．
17．如图，AB∥CD，AB＝5，CD＝3，E，F分别是AC和BD的中点，则EF的长度是 ．
18．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要 根火柴．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（﹣1）2018+2×cos60°﹣
20．先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．
21．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
22．某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为y2＝（m≠0）的图象交于点A（3，1）和点B，且经过点C（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求当y1＞y2时自变量x的取值范围．
24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE＝ 时，四边形BECD是菱形．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AB于点E，交AC于点F
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径是2cm，F是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
26．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2019的倒数是（ ）
A．2019 B． C．﹣ D．﹣2019
【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2019的倒数是：﹣．
故选：C．
2．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．审核书稿中有哪些科学性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
【分析】由随机事件和必然事件的定义得出A错误，由统计的调查方法得出B错误；由方差的性质得出C正确，由概率的计算得出D错误；即可得出结论．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，是随机事件，选项A错误；
B、审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；
C、甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；
D、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，不是，选项D错误；
故选：C．
5．分式方程＝1的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解，
故选：B．
6．如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为（ ）
A．34° B．56° C．124° D．146°
【分析】根据平行线性质求出∠3＝∠1＝50°，代入∠2+∠3＝180°即可求出∠2．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝124°，
故选：C．
7．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤5且k≠1．
故选：C．
8．如图，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝（ ）
A．15° B．25° C．30° D．40°
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：设AC和OB交于M，如图，
∵∠AOB＝50°，
∴由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝25°，
∵∠OBC＝40°，
∴∠AMB＝∠ACB+∠OBC＝25°+40°＝65°，
∴∠OAC＝∠AMB﹣∠AOB＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD
∴OF⊥CD
∴OE＝12，OF＝2
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD
∵OE，OF分别是它们的高
∴，
∵AB＝6，
∴CD＝1，
故选：D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论正确的有（ ）个
①abc＞0②4ac﹣b2＜0③3b+2c＜0④a﹣b+c＞0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝﹣1时，x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴为直线x＝﹣1，可得出b与a同号，即b＞0，则abc＞0，故①正确；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确；
由函数图象可以看出当x＝1时，二次函数的值为负，即a+b+c＜0，由﹣＝﹣1可得a＝b，所以b+b+c＜0，整理得出3b+2c＜0，故③正确；
把由函数图象可以看出当x＝﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，故④正确；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．太阳半径约是6.97万千米，科学记数法表示约是 6.97×104 千米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：解：将74.4万亿用科学记数法表示为：6.97×104．
故答案为6.97×104．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 x＞﹣1 ．
【分析】根据被开放是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由有意义，得
x+1＞0，
解得x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
13．分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
14．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝ 20% ．
【分析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x．
【解答】解：依题意，有：100（1+x）2＝144，
1+x＝±1.2，
解得：x＝20%或﹣2.2（舍去）．
故答案为：20%．
15．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
16．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6cm，则AC＝ 6 cm．
【分析】延长原矩形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠ACB，根据翻折变换的性质可得∠1＝∠ABC，从而得到∠ABC＝∠ACB，再根据等角对等边可得AC＝AB，从而得解．
【解答】解：如图，延长原矩形的边，
∵矩形的对边平行，
∴∠1＝∠ACB，
由翻折变换的性质得，∠1＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∵AB＝6cm，
∴AC＝6cm．
故答案为：6．
17．如图，AB∥CD，AB＝5，CD＝3，E，F分别是AC和BD的中点，则EF的长度是 1 ．
【分析】连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE＝HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．
【解答】解：连接DE并延长交AB于H．
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，
∵E是AC中点，
∴DE＝EH，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∴EF＝1．
故答案为：1．
18．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要 （6n+2） 根火柴．
【分析】观察图形得到第1个图形用了8根火柴，第2个图形用了8+6＝14根火柴，第3个图形用了8+6+6＝20根火柴，于是第n个图形用的火柴根数＝6n+2．
【解答】解：第1个图形用了8＝6+2根火柴，
第2个图形用了8+6＝14＝6×2+2根火柴，
第3个图形用了8+6+6＝20＝6×3+2根火柴，
…
第n个图形用了（6n+2）根火柴．
故答案为：（6n+2）．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（﹣1）2018+2×cos60°﹣
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2×﹣4+1＝﹣1．
20．先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
由﹣1≤x＜3，x为整数，得到x＝﹣1，0，1，2，
经检验x＝﹣1，0，1不合题意，舍去，
则当x＝2时，原式＝4．
21．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG＝，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
22．某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是＝；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是＝．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为y2＝（m≠0）的图象交于点A（3，1）和点B，且经过点C（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求当y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）联立反比例函数和一次函数的表达式求出点B的坐标即可解答．
【解答】解：（1）把点A（3，1）代入y2＝（m≠0）得m＝3，
∴反比例函数的不等式为，
把A（3，1）和C（0，﹣2）代入y1＝kx+b（k≠0）得：
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2，；
（2）由得B（﹣1，﹣3），
∴当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＞y2．
24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 2 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE＝ 4 时，四边形BECD是菱形．
【分析】（1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形；
（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，再由∠ABC＝120°可得∠ECB＝30°，再根据直角三角形的性质可得BE＝2；
②根据四边形BECD是菱形可得BE＝EC，再由∠ABC＝120°，可得∠CBE＝60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①BE＝2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°；
∴∠ECB＝30°，
∴BE＝BC＝2，
故答案为：2；
②BE＝4，
∵四边形BECD是菱形时，BE＝EC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE＝BC＝4．
故答案为：4．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AB于点E，交AC于点F
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径是2cm，F是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）根据圆周角定理得到＝，求出∠EOD＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∵F是弧AD的中点，
∴＝，
∴，
∴∠EOD＝60°，
∵OD＝2，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BDO﹣S扇形EOD＝×2×2﹣＝2﹣πcm2．
26．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF＝a，PF＝﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE＝a，PE＝﹣a2+3a+4，EB＝4﹣a．然后依据S△PBC＝S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：，
解得：b＝3，c＝4．
抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1所示：
∵令x＝0得y＝4，
∴OC＝4．
∴OC＝OB．
∵∠CFP＝∠COB＝90°，
∴FC＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．
则CF＝a，PF＝|﹣a2+3a+4﹣4|＝|a2﹣3a|．
∴|a2﹣3a|＝a．
解得：a＝2，a＝4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE＝a，PE＝﹣a2+3a+4，EB＝4﹣a．
∵S四边形PCEB＝OB•PE＝×4（﹣a2+3a+4），S△CEB＝EB•OC＝×4×（4﹣a），
∴S△PBC＝S四边形PCEB﹣S△CEB＝2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）＝﹣2a2+8a．
∵a＝﹣2＜0，
∴当a＝2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
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