2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之图形的变化

这是一份2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之图形的变化，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之图形的变化
一、选择题（共7小题）
1．（2021•陕西）下列图形中，是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（2020•陕西）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上．若将绕点逆时针旋转，得到△，、的对应点分别为、，则、之间的距离为　　

A． B．5 C． D．
3．（2019•陕西）如图，在矩形中，，，过矩形的对称中心的直线，分别与、交于点、，且．若为的中点，连接并延长，与交于点，则的长为　　

A．8 B． C． D．
4．（2019•陕西）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为　　

A． B． C． D．
5．（2019•陕西）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为　　

A． B． C． D．
6．（2017•陕西）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是　　

A． B． C． D．
7．（2017•陕西）如图的几何体是由一平面将一圆柱体截去一部分后所得，则该几何体的俯视图是　　

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
8．（2019•陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为　　．

9．（2019•陕西）如图，为菱形的对称中心，，．若点、分别在、边上，连接、，则的最小值为　　．

10．（2018•陕西）如图，点是的对称中心，，、是边上的点，且；、是边上的点，且，若，分别表示和的面积，则与之间的等量关系是　　．

11．（2017•陕西）如图，网格上的小正方形边长均为1，和的顶点都在格点上．若是由向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，则的值为　　．

12．（2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
．如图，在中，和是的两条角平分线．若，则的度数为　 　．
　 　．（结果精确到

13．（2017•陕西）用科学计算器计算：　　（结果精确到
三、解答题（共9小题）
14．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度．他们测得为，由于、两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点与点之间的距离约为．已知、、共线，．求钢索的长度．（结果保留根号）

15．（2020•陕西）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在处用三角尺测得小树顶部的仰角为，然后她前后移动调整，在处用三角尺测得大树顶部的仰角也是．已知，、、、四点共线，，，，，小宁眼睛距地面的高度不变，即，他们测得米，米，求大树比小树高多少米？

16．（2019•陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）

17．（2019•陕西）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：，，

18．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点、共线．
已知：，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．

19．（2018•陕西）如图，已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）

20．（2018•陕西）如图所示，某集团的项目组计划在山脚下点与山顶点之间修建一条索道，现利用无人机测算、两点间的距离．无人机飞至山顶点的正上方点处时，测得山脚下点的俯角约为，点与点的高度差为，，求山脚下点到山顶点的距离．

21．（2017•陕西）某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的处，用测倾器测得“乡思柳”顶端点的仰角为，此时测得小军的眼睛距地面的高度为1.7米，然后，小军在处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端点的仰角为，这时测得小军的眼睛距地面的高度为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离的长（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，．

22．（2017•陕西）小军学校门前有座山，山顶上有一观景台，他很想知道这座山比他们学校的旗杆能高出多少米．于是，有一天，他和同学小亮带着测倾器和皮尺来到观景台进行测量．测量方案如下：如图，首先，小军站在观景台的点处，测得旗杆顶端点的俯角为，此时测得小军眼睛距点的距离为1.8米；然后，小军在点处蹲下，测得旗杆顶端点的俯角为，此时测得小军的眼睛距点的距离为1米．请根据以上所测得的数据，计算山比旗杆高出多少米（结果精确到1米）？
（参考数据：，，，，，


2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之图形的变化
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题）
1．（2021•陕西）下列图形中，是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形
【专题】平移、旋转与对称；几何直观
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（2020•陕西）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上．若将绕点逆时针旋转，得到△，、的对应点分别为、，则、之间的距离为　　

A． B．5 C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；旋转的性质
【专题】平移、旋转与对称；推理能力
【分析】由旋转的性质作出△，连接，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，由旋转的性质作出△，连接，

每个小正方形的边长均为1，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，确定点的位置是本题的关键．
3．（2019•陕西）如图，在矩形中，，，过矩形的对称中心的直线，分别与、交于点、，且．若为的中点，连接并延长，与交于点，则的长为　　

A．8 B． C． D．
【答案】
【考点】：相似三角形的判定与性质；：中心对称；：矩形的性质
【专题】31：数形结合；67：推理能力；66：运算能力；556：矩形 菱形 正方形；554：等腰三角形与直角三角形；：图形的相似
【分析】由矩形的中心对称性质可得，，由矩形的性质可得，即，从而可判定，根据相似三角形的性质可得比例式，将相关线段的长代入计算可得的长，而，则可由勾股定理求得的长．
【解答】解：在矩形中，直线过矩形的对称中心，
把矩形分割成的两部分图形一样，
，，
为的中点，
，
，
四边形为矩形，
，即，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．（2019•陕西）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为　　

A． B． C． D．
【答案】
【考点】简单组合体的三视图
【专题】投影与视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．
故选：．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（2019•陕西）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为　　

A． B． C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【专题】64：几何直观；：投影与视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图为：
．
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．（2017•陕西）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是　　

A． B． C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个较小的矩形，
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
7．（2017•陕西）如图的几何体是由一平面将一圆柱体截去一部分后所得，则该几何体的俯视图是　　

A． B． C． D．
【考点】：截一个几何体；：简单组合体的三视图
【专题】64：几何直观；：投影与视图
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看从上面看是一个圆，
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
二、填空题（共6小题）
8．（2019•陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为　2　．

【考点】正方形的性质；轴对称最短路线问题
【专题】几何直观；矩形 菱形 正方形
【分析】以为对称轴作的对称点，连接并延长交于，连，依据，可得当，，三点共线时，取“”，再求得，即可得出，，再根据△为等腰直角三角形，即可得到．
【解答】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连接并延长交于，连，
根据轴对称性质可知，，
，
当，，三点共线时，取“”，
正方形边长为8，
，
为中点，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
△为等腰直角三角形，
，
即的最大值为2，
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．（2019•陕西）如图，为菱形的对称中心，，．若点、分别在、边上，连接、，则的最小值为　　．

【考点】：等边三角形的判定与性质；：菱形的性质；：轴对称最短路线问题；：中心对称
【专题】556：矩形 菱形 正方形；：解直角三角形及其应用；69：应用意识
【分析】连接，证明是等边三角形，根据垂线段最短，分别求出，的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接．

四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
根据垂线段最短可知，当，时，的值最小，
此时，，
的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
10．（2018•陕西）如图，点是的对称中心，，、是边上的点，且；、是边上的点，且，若，分别表示和的面积，则与之间的等量关系是　　．

【考点】平行四边形的性质；中心对称
【专题】常规题型
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出，，再由点是的对称中心，根据平行四边形的性质可得，从而得出与之间的等量关系．
【解答】解：连接、、，
，，
，．
点是的对称中心，
，
．
即与之间的等量关系是．
故答案为．

【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出，是解题的关键．
11．（2017•陕西）如图，网格上的小正方形边长均为1，和的顶点都在格点上．若是由向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，则的值为　　．

【考点】坐标与图形变化平移
【专题】作图题；应用意识
【分析】利用平移变换的性质求出，的值即可解决问题．
【解答】解：是由向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，
，，
．
故答案为．
【点评】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
．如图，在中，和是的两条角平分线．若，则的度数为　　．
　 　．（结果精确到

【考点】25：计算器数的开方；：三角形内角和定理；：计算器三角函数
【分析】：由三角形内角和得，根据角平分线定义得；
：利用科学计算器计算可得．
【解答】解：、，
，
平分、平分，
、，
则，
故答案为：；

、，
故答案为：2.03．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义及科学计算器的运用，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键．
13．（2017•陕西）用科学计算器计算：　0.71　（结果精确到
【考点】25：计算器数的开方；：计算器三角函数
【专题】1：常规题型；：解直角三角形及其应用
【分析】根据科学计算器的用法解答．
【解答】解：，
故答案为：0.71．
【点评】本题考查了计算器的用法，求的值时，先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果．
三、解答题（共9小题）
14．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度．他们测得为，由于、两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点与点之间的距离约为．已知、、共线，．求钢索的长度．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力
【分析】本题设，在等腰直角三角形中表示出，从而可以表示出，再在中利用三角函数即可求出的长，进而即可求出的长度．
【解答】解：在中，设，
，，
，
在中，，，
，
即，
解得：，
，
钢索的长度约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的特点以及锐角三角函数在直角三角形的应用是解题的关键．
15．（2020•陕西）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在处用三角尺测得小树顶部的仰角为，然后她前后移动调整，在处用三角尺测得大树顶部的仰角也是．已知，、、、四点共线，，，，，小宁眼睛距地面的高度不变，即，他们测得米，米，求大树比小树高多少米？

【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】67：推理能力；12：应用题；：解直角三角形及其应用；66：运算能力
【分析】延长交于点，交于点，可得四边形，四边形，四边形是矩形，根据锐角三角函数表示，，进而可得，可求大树比小树高多少米．
【解答】解：如图，延长交于点，交于点，

根据题意可知：
四边形，四边形，四边形是矩形，
米，，米，
在中，，，



（米，
在中，，，


，



（米．
答：大树比小树高米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确掌握仰角俯角定义是解题关键．
16．（2019•陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）

【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】解直角三角形及其应用
【分析】过点作于点，则，米，解，得出，那么，再证明，根据相似三角形对应边成比例求出米，进而求出即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
则，米．
在中，，
，
．
，，
．
由反射角等于入射角得，
，
即，
解得，
．
这棵古树的高为．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
17．（2019•陕西）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：，，

【考点】：平行投影；：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】67：推理能力；：解直角三角形及其应用
【分析】过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，由三角函数定义得
．则．根据相似三角形的性质求出，即可得到结论．
【解答】解：过点作于点，如图所示：
则，．
在中，，即，
．
．
连接、．
由题意得：．
，即．
解得，
．
．
旗杆的高度为．

【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点、共线．
已知：，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．

【考点】相似三角形的应用
【专题】三角形
【分析】由，可得，构建方程即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
，
，
经检验：是分式方程的解，
答：河宽的长为17米．
【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（2018•陕西）如图，已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【考点】正方形的性质；作图相似变换
【专题】作图题
【分析】过点作，利用相似三角形的判定解答即可．
【解答】解：如图所示，点即为所求：

，
，
，，
，
．
【点评】此题考查作图相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答．
20．（2018•陕西）如图所示，某集团的项目组计划在山脚下点与山顶点之间修建一条索道，现利用无人机测算、两点间的距离．无人机飞至山顶点的正上方点处时，测得山脚下点的俯角约为，点与点的高度差为，，求山脚下点到山顶点的距离．

【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】12：应用题；：解直角三角形及其应用；66：运算能力；69：应用意识
【分析】根据题意解直角三角形即可得出答案．
【解答】解：如图，

由题意得，，，，
，，
．
答：山脚下点到山顶点的距离为．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（2017•陕西）某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的处，用测倾器测得“乡思柳”顶端点的仰角为，此时测得小军的眼睛距地面的高度为1.7米，然后，小军在处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端点的仰角为，这时测得小军的眼睛距地面的高度为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离的长（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，．

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】作，，垂足分别为点、，设米，则米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作，，垂足分别为点、，
设米，则米，
在中，，
在中，，
，
，
，解得．
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离的长约为34米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
22．（2017•陕西）小军学校门前有座山，山顶上有一观景台，他很想知道这座山比他们学校的旗杆能高出多少米．于是，有一天，他和同学小亮带着测倾器和皮尺来到观景台进行测量．测量方案如下：如图，首先，小军站在观景台的点处，测得旗杆顶端点的俯角为，此时测得小军眼睛距点的距离为1.8米；然后，小军在点处蹲下，测得旗杆顶端点的俯角为，此时测得小军的眼睛距点的距离为1米．请根据以上所测得的数据，计算山比旗杆高出多少米（结果精确到1米）？
（参考数据：，，，，，

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】解直角三角形及其应用
【分析】如图，作于．设米．构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，作于．设米．

由题意：，
解得．
答：山比旗杆高出42米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

考点卡片
1．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
2．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
7．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
10．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
11．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
13．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
14．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
15．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
16．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
17．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
18．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
19．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
20．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
21．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
22．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．