2021年湖南中考数学真题分类汇编之函数

这是一份2021年湖南中考数学真题分类汇编之函数，共69页。
2021年湖南中考数学真题分类汇编之函数
一．选择题（共10小题）
1．（2021•郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
3．（2021•邵阳）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（　　）

A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
4．（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）

A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
5．（2021•湘西州）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（　　）

A．图象与x轴没有交点
B．当x＞0时，y＞0
C．图象与y轴的交点是（0，﹣）
D．y随x的增大而减小
6．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
7．（2021•张家界）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
8．（2021•娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0≤ B．＜x0≤ C．＜x0≤ D．＜x0≤1
9．（2021•怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（　　）

A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
10．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
二．填空题（共9小题）
11．（2021•永州）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：　 　．
12．（2021•永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝　 　．
13．（2021•郴州）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
14．（2021•娄底）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
15．（2021•怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
16．（2021•株洲）点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 　 　．
17．（2021•邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
18．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝　 　．
19．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　 　厘米．

三．解答题（共11小题）
20．（2021•衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

21．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

22．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

23．（2021•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．

24．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

25．（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

29．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　 　，s＝　 　，t＝　 　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
30．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．


2021年湖南中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象；含30度角的直角三角形；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】动点型；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得AB＝AD＝BC＝4，BE＝2，当点P从点A运动到点B时，△ADP的面积逐渐增大；当在线段BC上时，△ADP的面积保持不变；当点P在线段CD上时，△ADP的面积逐渐减小，由此可排除选项．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点 E，如图所示：

边长为4的菱形，ABCD中，∠A＝60°，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，BE＝2，
当点P从点A运动到点B时，过点P作PF⊥AD于点F，

则AP＝x，AF＝x，PF＝x，
S△ADP＝•AD•PF＝•x＝x，
∴△ADP的面积逐渐增大；
当在线段BC上时，
S△ADP＝•AD•BE＝×2＝4，
∴△ADP的面积保持不变；
当点P在线段CD上时，如图，过点P作PM⊥AD交AD的延长线于点M，

则AB+BC+CP＝x，
则DP＝12﹣x，DM＝6﹣x，PM＝DM＝6﹣x，
S△ADP＝•AD•PM＝×（6﹣x）＝12﹣x，
∴△ADP的面积逐渐减小．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象及菱形的性质，含30°的直角三角形等内容，熟练掌握函数图象及菱形的性质是解题关键．
2．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
【考点】一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；推理能力．
【分析】结合图象，写出两个函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵当x＞﹣4时，y＝x+b＞0，
当x＜2时，y＝kx+4＞0，
∴解集为﹣4＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断．
3．（2021•邵阳）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（　　）

A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．
【解答】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为20﹣5＝15（分钟），故本选项符合题意；
B．由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为2100米，故本选项不合题意；
C．由横坐标看出，小明修好车后花了30﹣20＝10（min）到达学校，故本选项不合题意；
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2100﹣1000）÷10＝110（米/分钟）＝（m/s），故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．
4．（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）

A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】法一：由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得抛物线与x轴有两个交点，x1x2＝＜0，即可判断M的范围．
法二：根据抛物线开口方向和与y轴交点位置确定a，c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．
【解答】解：方法一：
∵OP＝1，P不在抛物线上，
∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
x＝1时，y＝a+b+c＜0，
当抛物线y＝0时，得ax2+bx+c＝0，
由图象知x1x2＝＜0，
∴ac＜0，
∴ac（a+b+c）＞0，
即M＞0，
方法二：
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0；
由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，
即a+b+c＜0，
∴M＝ac（a+b+c）＞0．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，解本题关键掌握二次函数的性质和根与系数的关系．
5．（2021•湘西州）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（　　）

A．图象与x轴没有交点
B．当x＞0时，y＞0
C．图象与y轴的交点是（0，﹣）
D．y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．
【解答】解：A．由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；
B．由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故说法错误；
C．当x＝0时，函数值为﹣2，故图象与y轴的交点是（0，﹣2），故说法错误；
D．当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法错误．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围．
6．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】根据平行四边形的性质可知，当点P在A处时（即x＝0），△BPC的面积为2，当点P运动到B时（即x＝2），△BPC的面积为0，因为△BPC的底边AP边上的高不变，所以y是x的一次函数，据此判断即可．
【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，
∴x+y＝2，
∴y＝2﹣x，
∴当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；
∵△BPC的底边AP边上的高不变，
∴y是x的一次函数，
故只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
7．（2021•张家界）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】根据二次函数图象可找出a＜0，﹣＞0，c＞0，进而可得出b＞0，再根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数的图象，即可找出一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，﹣＞0，c＞0，
∴b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．
8．（2021•娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0≤ B．＜x0≤ C．＜x0≤ D．＜x0≤1
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】根据二次函数图象与双曲线的作法在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后写出答案即可．
【解答】解：函数y＝x2+2与y＝的图象如图所示，

交点的横坐标x0的取值范围是＜x0≤1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，作出尽量准确的函数图象是解题的关键．
9．（2021•怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（　　）

A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，证明四边形NGOH是矩形，设N（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠CDO＝30°，再根据菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝2∠CDO＝60°，∠ACD＝60°，进而即可证得△ABC是等边三角形，得出AE＝OB＝2，由∠BAE＝30°＝∠ABO，得出AM＝BM，则EM＝OM，从而得到3EM＝OB＝2，进而可得EM长．
【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，
设N（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点N，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，
∴四边形NGOH是矩形，
∴NG∥x轴，NH∥y轴，
∵N为CD的中点，
∴DO•CO＝2a•2b＝4ab＝，
∴CO＝，
∴tan∠CDO＝＝．
∴∠CDO＝30°，
∴∠DCO＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥BC，BO⊥AC，
∴AE＝BO＝2，∠BAE＝30°＝∠ABO，
∴AM＝BM，
∴OM＝EM，
∵∠MBE＝30°，
∴BM＝2EM＝2OM，
∴3EM＝OB＝2，
∴ME＝，
故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积＝k
10．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【考点】二次函数的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；应用意识．
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，

在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．
故选：D．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
二．填空题（共9小题）
11．（2021•永州）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：　y＝﹣　．
【考点】反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】开放型．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
【解答】解：∵图象在第二、四象限，
∴y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
12．（2021•永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝　2　．
【考点】分段函数．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力；推理能力．
【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．
【解答】解：∵y＝2．
∴当x2＝2时，x＝．
∵0≤x＜1．
∴x＝（舍去）．
当2x﹣2＝2时，x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查根据函数值，求自变量的值．关键在于求出自变量的值一定要符合取值范围．
13．（2021•郴州）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 　m＜3　．
【考点】反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】对于函数y＝来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小，所以根据已知中：图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大列不等式：m﹣3＜0，解出即可．
【解答】解：比例函数y＝图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
【点评】本题考查反比例函数y＝的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为m＜0．
14．（2021•娄底）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x≥1　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
15．（2021•怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x≥2且x≠3　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
【点评】考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为0．
16．（2021•株洲）点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 　k＜0　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题．
【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，
又∵0＜x1＜x1+1时，y1＜y2，
∴函数图象在二四象限，
∴k＜0，
故答案为k＜0．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
17．（2021•邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵A（1，y1），B（2，y2），
∴点A、B都在第一象限，
又1＜2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
18．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝　6　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键．
19．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　（2+3）　厘米．

【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC＝2cm，同理求出BD＝2cm，利用菱形性质即可求出AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，再由题意易知当点P在A﹣D段上运动，当PQ连线垂直AD（或BC）时才是最短，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可．
【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，
当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，
∴AC＝2cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，
当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，
∴OD＝OB＝BD＝1cm，
在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，
如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，

此时，OE＝OF＝＝，
AE＝AF＝＝＝，
∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：
（cm）
故答案为：（2+3）．
【点评】本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q的位置关系是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
20．（2021•衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】数形结合；面积法；图形的相似；几何直观．
【分析】（1）过点A作x轴的垂线，分别交MN和x轴于点E和点F，利用三角形相似写出点M的坐标；
（2）四边形的面积可以用分割法求解，①△MNP和△BNP的面积之和；②四边形MNBO和△OMP的面积之差，其它方法亦可；
（3）先判断四边形MNBP的形状，就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点坐标（用含t的式子表示），然后消去t，得到直线l的解析式；
（4）利用三角形相似解题，由∠OAP＝∠BPN和∠AOB＝∠PBN（由题意可知），得证△AOP∽△PBN，再利用相似的性质求出对应的t值，再由等面积法求高，求出点N到OA的距离．
【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，
由题意得：OQ＝2t，OP＝3t，PB＝6﹣3t，
∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），
∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，
∵MN∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴，
∴，
∴QM＝，
∴点M的坐标是（）．
（2）∵MN∥OB，
∴四边形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣3t，
∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP
＝MN•OQ+•BP•OQ
＝
＝﹣6t2+12t
＝﹣6（t﹣1）2+6，
∵点P到达点B时，P、Q同时停止，
∴0＜t＜2，
∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6，四边形MNBP面积不存在最小值．
（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，
∴MN＝BP，
∵MN∥BP，
∴四边形MNBP是平行四边形，
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，
设中点为H（x，y），
∵M（），B（6，0），
∴x＝＝，
y＝．
∴x＝，
化简得：y＝，
∴直线l的解析式为：y＝．
（4）∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴，
∴，
解得：t1＝，t2＝0（舍去）．
∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ，ME＝3﹣，
∴MN＝6﹣3×，
AE＝，
ME＝，
∴AM＝．
设点N到OA的距离为h，
∵S△AMN＝MN•AE＝AM•h，
∴，
解得：h＝．
∴点N到OA的距离为．

【点评】本题是函数的综合题，在解题过程中可以利用函数的知识进行解题，也可以用几何知识解题．在这里求点M的坐标所使用的是几何法，也可以求出直线OA的解析式之后令y＝2t，求出对应的x即可写出点M的坐标；第（2）问与第（3）有联系，第（2）问可以用分割法求解，也可以先判断出四边形MNBP的形状再求面积；第三问考查了学生对平行四边形的中心对称性的灵活应用和求动点路径的掌握；最后一问则考查了学生对于等面积法求高的熟练度．
21．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PE•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．



【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．
22．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；推理能力．
【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；
（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；
（3）方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，
方法2：由△ABC的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；
（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），
∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），
将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，
∴抛物线的顶点A（4，﹣4），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；
（3）△ABC是等腰直角三角形．
方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），
∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，
∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法2：∵△ABC的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），
∴OB＝8，OA＝＝＝，
AB＝＝＝，
且满足OB2＝OA2+AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：
动点E的运动时间为t＝AP+PB，
在OA上取点D，使OD＝，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO和△PDO，
∴＝＝2，
从而得：PD＝AP，
∴t＝AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，
则有 DG＝1，∠DOG＝45°
∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，圆的性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
23．（2021•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；图形的全等；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；
（2）①由x1+x2＝﹣得到x2＝﹣c＝OC，进而求解；
②证明∠CBD＝∠AFO，而tan∠CBD＝＝＝，tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝，b＝c＝﹣2时，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；

（2）①设ax2+bx+c＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
则+x1＝﹣x2＝c，即x2＝﹣c＝OC，x1＝÷x2＝﹣，
∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，∠COA＝∠BOD＝90°，
∴△AOC≌△DOB（ASA）；

②∵∠OCA＝∠CAF+∠CFA，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，
∴∠CBD＝∠AFO，
∵OB＝OC，故∠OCB＝45°，
∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣，
则DE＝CD＝﹣（c+）＝CE，
则BE＝BC﹣CE＝OB﹣CE＝﹣c+（﹣c+），
则tan∠CBD＝＝＝，
而tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，
解得ca＝﹣2或ca＝1，
又∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，即ca＝1（舍去），
而＝＝﹣ac＝2，
故的值为2．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【分析】（1）由交点式结合点A、B坐标求出解析式，从而得到b、c；
（2）①设点P、Q的坐标，把PQ线段用含有m的式子表示，借助二次函数求出P点到直线l：y＝x的距离最大时的m的值；
②利用平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”结合点坐标求解．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3．
（2）①∵点P（m，n）在抛物线上y＝x2﹣2x﹣3，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
∵过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q，
∴Q（m，m），
设点P到直线y＝x的距离为h，
∵直线y＝x是一三象限的角平分线，
∴PQ＝h，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，PQ取得最大值，
∴当m＝时，PQ有最大值，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，m的值为．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OC∥PQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴PQ＝OC，
又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，
∴3＝|﹣m2+3m+3|，
解得：m1＝0，m2＝3，m3＝，m4＝，
当m1＝0时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；
当m2＝3时，P（3，0），Q（3，3），
此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ＝，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m3＝时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ＝，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m4＝时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ＝，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，线段长度的最大值求解，和菱形存在性问题．在求线段的最大值时需要先设出点的坐标，再表示出线段的长度，最后结合二次函数求出最大值；在探究菱形存在性问题时，需要根据菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”进行探究．
25．（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；数形结合；数据分析观念．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，即可求解；
（3）过点D作DK⊥QM于点K，则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，同理可得，QK＝1，则tan∠DQM＝，在△BOC中，tan∠CBO＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
即﹣4a＝2，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：0＝﹣k+3，解得k＝3，
故直线l的表达式为y＝3x+3，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），
由题意得，点Q、M关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝，
故点M的横坐标为3﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣2x，
设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，
∵1＞0，故C有最小值，
当x＝时，矩形周长最小值为；

（3）当x＝时，y＝﹣x2+x+2＝，即点Q的坐标为（，），
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，），

过点D作DK⊥QM于点K，
则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，
同理可得，QK＝1，
则tan∠DQM＝，
∵∠CBF＝∠DQM，
故tan∠CBF＝tan∠DQM＝，
在△BOC中，tan∠CBO＝＝，
故BF和BO重合，
故点F和点A重合，
即点F的坐标为（﹣1，0），
当点F在直线BC的上方时，∵AC＝，BC＝2，AB＝5，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
则点A关于BC的对称点A′（1，4），
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+，
由，解得或，
∴F（，），
综上所述，满足条件的点F的坐标为（﹣1，0）或（，）
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；分类讨论；图形的全等；图形的相似；解直角三角形及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；
（3）作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解；
（4）分两种情况，证明△ANQ≌△QMC（AAS），则QN＝CM，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；

（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，

则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；

（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，

理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，
故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；
G走过的最短路程为C′D′＝＝2；

（4）存在，理由：
①当点Q在y轴的右侧时，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，

∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC（AAS），
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）；
②当点Q在y轴的左侧时，
同理可得，点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（，）或（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
27．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；新定义；分类讨论；数据分析观念．
【分析】（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；
（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即可求解；
②求出点M的坐标为（﹣，0）、点E的坐标为（﹣，﹣），即可求解；
（3）证明△CMP≌△PNB（AAS），则PM＝BN，CM＝PN，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，
当x＝±2时，y＝＝±2，
故“雁点”坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）；

（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为y＝x，
∵抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，
则△＝16﹣4ac＝0，即ac＝4，
∵a＞1，
故0＜c＜4；
②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+＝0，
解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0），

由ax2+5x+c＝x，ac＝4，
解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），
过点E作EH⊥x轴于点H，
则HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，
故∠EMN的度数为45°；

（3）存在，理由：
由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），
过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，

设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
则BN＝﹣m2+2m+3，PN＝3﹣m，PM＝m﹣t，CM＝﹣m2+2m+3﹣t，
∵∠NPB+∠MPC＝90°，∠MCP+∠CPM＝90°，
∴∠NPB＝∠PCM，
∵∠CMP＝∠PNB＝90°，PC＝PB，
∴△CMP≌△PNB（AAS），
∴PM＝BN，CM＝PN，
即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，
解得m＝1+或1﹣，
故点P的坐标为（，）或（1+，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
28．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．
（3）可以连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．
（4）观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，把问题转化为解方程求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

（3）如图1中，

由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，
连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，
此时P（，）．

（4）如图2中，存在．

观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，
对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，
∴N1（3，4）．
当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，
∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．
29．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　4　，s＝　﹣1　，t＝　4　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由A，B关于y轴对称求出r，s，由“T函数”的定义求出t；
（2）分k＝0和k≠0两种情况考虑即可；
（3）先根据过原点得出c＝0，再由“T函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可．
【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称，
∴s＝﹣1，r＝4，
∴A的坐标为（1，4），
把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4，
故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4；
（2）当k＝0时，有y＝p，
此时存在关于y轴对称得点，
∴y＝kx+p是“T函数”，且有无数对“T”点，
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，
∴y＝kx+p不是“T函数”；
（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，
∴c＝0，
∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，
∴b＝0，
∴y＝ax2，
联立直线l和抛物线得：
，
即：ax2﹣mx﹣n＝0，
，，
又∵，
化简得：x1+x2＝x1x2，
∴，即m＝﹣n，
∴y＝mx+n＝mx﹣m，
当x＝1时，y＝0，
∴直线l必过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查和二次函数有关的新定义题型，关键在于读明白新定义的函数的特点，要理解本题中存在关于y轴对称的点是什么意思，过定点问题一般要先写出解析式，然后取x的值得出y．
30．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，利用△EBO∽△DCH求出E点坐标，进而根据B、E、C三点坐标即可求出抛物线解析式；
（2）求出抛物线顶点坐标以及直线EF的解析式，代入验证即可判定顶点是否在直线EF上；
（3）根据AB∥FQ，求出点Q坐标，再设M为（0，m）通过直线BM与抛物线的交点表示出P点坐标，从而可表示出△PBQ的面积结合二次函数最值问题即可求出面积最大值时点P的坐标．
【解答】解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：

由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B（﹣2，0）、C（8，0）、D（13，10），
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，
解得：EO＝4，
∴点E坐标为（0，4），
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），将E点代入得：
4＝a×2×（﹣8），
解得：a＝﹣，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由（1）可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，
当x＝3时，y＝，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，），
又∵F是AD的中点，
∴F（8，10），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，将E（0，4），F（8，10）代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，
故抛物线的顶点在直线EF上；
（3）由（1）（2）可知：A（3，10），
设直线AB的解析式为：y＝k'x+b'，将B（﹣2，0），A（3，10）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x+b1，将F（8，10）代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为（0，﹣6），
设M（0，m），直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：（x+2）（x﹣8+2m）＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝MQ×（|xP|+|xB|）＝＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×（﹣）＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为（9，﹣）．
【点评】本题属于中考压轴大题，考查二次函数综合应用，涉及三角形的相似、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数综合性质、能数形相结合并能细心的推理运算是解题的关键．

考点卡片
1．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
2．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
3．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
4．分段函数
（1）一次函数与常函数组合的分段函数．
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）
（2）由文字图象信息确定分段函数．
根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：
①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．
②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．
③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点
1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．
2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大．
3．各个分段中，准确确定函数关系．
4．确定函数图象的最低点和最高点．
5．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
6．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
8．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
9．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
10．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
11．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
19．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/3 15:51:22；用户：总部9；邮箱：zybzb9@xyh.com；学号：40292140