2021年辽宁中考数学真题分类汇编之函数

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2021年辽宁中考数学真题分类汇编之函数
一．选择题（共5小题）
1．（2021•本溪）反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021•大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2021•丹东）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（　　）

A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
4．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
5．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共3小题）
6．（2021•丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围 　 　．
7．（2021•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 　 　．

8．（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　 　．

三．解答题（共5小题）
9．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
10．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

11．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

12．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
13．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．

2021年辽宁中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•本溪）反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；符号意识．
【分析】根据反比例函数y＝的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．
2．（2021•大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质即可得出结果．
【解答】解：①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；
②因为﹣3×1＝﹣6，故说法正确；
③因为k＝3＞0，反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3．（2021•丹东）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（　　）

A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】根据AB∥x轴可以得到S△ABC＝S△AOB＝6，转换成反比例函数面积问题即可解答．
【解答】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，

∵AB∥x轴，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，
∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，
∵S△ABC＝S△AOB＝6，
∴1﹣k＝6，
∴k＝﹣10．
故选：C．
【点评】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与k的关系是解本题的关键．
4．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；平面直角坐标系；应用意识．
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（yA﹣yB）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，
∴xB＝，xA＝，即A（，4），B（，2），
∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，
∴BC＝AB＝，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA﹣yB）＝8，
即×（4﹣2）＝8，
整理得＝4，
解得k＝±8，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
5．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】动点型；函数及其图象；应用意识．
【分析】分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
∴BD＝2AD＝2，
当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），
当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
二．填空题（共3小题）
6．（2021•丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围 　x≥3　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣2≠0，
解得x≥3
∴自变量x的取值范围是x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（2021•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 　y＝（0＜x＜2）　．

【考点】函数关系式．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；模型思想．
【分析】由勾股定理表示AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出AM＝ME，分别用含有x、y的代数式表示AM，AE，再根据相似三角形对应边成比例即可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE＝＝，
∴AM＝，
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，
∴＝，
即＝，
∴xy＝，
即y＝（0＜x＜2），
故答案为：y＝（0＜x＜2）．

【点评】本题考查函数关系式，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
8．（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，先求出tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，求出DE＝，CE＝，AE＝，Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，可得GE＝，AG＝，即得C（，），把C（，）代入y＝得k＝．
【解答】解：设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，如图：

∵A（2，0），B（0，1），
∴AB＝，DA＝DC＝，
∴tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，
∵C为半圆的中点，
∴∠CDE＝∠EGA＝90°，
又∠CED＝∠AEG，
∴∠C＝∠BAO，
Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，
∴＝，＝，
∴DE＝，CE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝，
Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，
∴＝，＝，
∴GE＝，AG＝，
∴OG＝OA﹣AG＝，CG＝CE+GE＝，
∴C（，），
把C（，）代入y＝得k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，涉及解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是适当构造辅助线，求出C的坐标．
三．解答题（共5小题）
9．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为y个与销售单价为x元的函数关系式；
（2）根据销售利润W等于单个利润（x﹣40）与销售量y的乘积列出函数关系式，再令W＝2400元，解关于x的一元二次方程，从而可求得售价；
（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
【解答】解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣2x+220；
（2）设利润为W，
则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x²+300x﹣8800，
令W＝2400，
则﹣2x2+300x﹣8800＝2400，
解得：x＝70或x＝80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，
答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x的函数关系式是解题的关键．
10．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），
将点（40，300）、（60，100）代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），
设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），
将点（60，100）、（70，150）代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（2）设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；
②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，
∵5＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），
综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，关键要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣处取得．
11．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；分类讨论；矩形 菱形 正方形；数据分析观念．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，即可求解；
（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，）或（3，3）；

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，

设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）由点B坐标求出m值，进而求得点C坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）由两点间距离公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形；
（3）由（2）中可知∠BCA＝∠ECA，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点E为直线CF与抛物线的交点，求出直线CF的解析式，与抛物线的解析式联立方程组，解之即可求得点E坐标；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，求得MN＝，由点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6，当F、N、M三点共线时，t最小，进一步求解即可解答．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，
∴﹣4＝2×（﹣5）+m，
解得：m＝6，
∴C（0，6），
将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），
∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；
（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，
∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，
∴∠BCA＝∠ECA，
如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，

∴F（﹣11，4），
∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，
∴△FAC≌△BAC（SAS），
∴∠BCA＝∠FCA，
∴点E为直线CF与抛物线的交点，
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立方程组，
解得：或（舍去），
故点E坐标为（，）；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，

∵AB＝5，BC＝，
∴sin∠BCA＝，
∴MN＝，又CO＝6，
∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，
当F、N、M三点共线时，t最小，
∵AC＝10，BC＝，
∴sin∠ABC＝，
∴FM'＝，
∴点P运动时间t的最小值为，
由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），
∵FD＝，
∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，
由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，
由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，
联立方程组，解得：，
∴此时N坐标为（﹣6，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解函数解析式，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，锐角的三角函数，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．
13．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；应用意识．
【分析】（1）先把m＝2代入函数y中，①把M（4，n）代入y＝x2﹣2x+2中，可得n的值；
②将0≤x≤2分为两部分确定y的最大值，当0≤x＜2时，将y＝﹣x2+x+2配方可得最值，再将x＝2代入y＝x2﹣2x+2中，可得y＝2，对比可得函数G的最大值；
（2）分两种情况：Q在x轴的上方和下方；证明△POQ是等腰直角三角形，得OP＝PQ，列方程可得结论；
（3）分两种情况：
①0≤m≤3，如图2，过点C作CD⊥y轴于D，证明△ABO≌△BCD（ASA），得OA＝BD，列方程可得结论；
②m＜3，如图3，同理可得结论．
【解答】解：（1）当m＝2时，y＝，
①∵M（4，n）在该函数图象上，
∴n＝42﹣2×4+2＝10；
②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，y有最大值是2，
当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，
∵2＜2，
∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；
（2）分两种情况：
①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，

∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
∴m＝﹣+m+m，
解得：m1＝0，m2＝6，
∵m＞0，
∴m＝6；
②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m
解得：m1＝0，m2＝14，
∵m＞0，
∴m＝14；
综上，m的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，

当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，
x2﹣x﹣2m＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，且﹣≤m≤3，
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，
∴OD＝c＝﹣a，
∴BD＝m﹣OD＝m+a，
∵OA＝BD，
∴＝m+，
解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；
②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，

同理得：OA＝BD，
当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，
解得：x1＝，m2＝（舍），
∴OA＝＝a，
∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，
解得：m1＝0，m2＝﹣；
综上，m的值是或﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合运用，主要考查了函数的性质，函数关系式的确定，解题的关键是对关键点进行分析，理解分段函数，并利用图象解答．

考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
3．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
4．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
6．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
7．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
8．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
9．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
11．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
12．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
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日期：2021/8/3 14:14:53；用户：招远2；邮箱：zybzy2@xyh.com；学号：40292108