2021年四川中考数学真题分类汇编之图形的变化

这是一份2021年四川中考数学真题分类汇编之图形的变化，共34页。
2021年四川中考数学真题分类汇编之图形的变化
一．选择题（共7小题）
1．（2021•宜宾）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021•雅安）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
3．（2021•达州）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（2021•广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
5．（2021•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（　　）

A．2 B． C． D．3
6．（2021•眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（　　）

A．7.2π B．11.52π C．12π D．13.44π
7．（2021•广元）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．
二．填空题（共3小题）
8．（2021•广安）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG．已知∠ACB＝15°，AE＝EF，DE＝，则BC的长为 　 　．

9．（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　 　．

10．（2021•资阳）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF；②AF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝．其中所有正确结论的序号为 　 　．

三．解答题（共4小题）
11．（2021•达州）2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）

12．（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2+，tan15°＝2﹣．计算结果保留根号）

13．（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
14．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．

2021年四川中考数学真题分类汇编之图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021•宜宾）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．（2021•雅安）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点A'的坐标是（3，﹣1），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．
3．（2021•达州）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，关键是熟知从正面看得到的图形是主视图，注意圆柱的主视图是矩形．
4．（2021•广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
5．（2021•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（　　）

A．2 B． C． D．3
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】由折叠的性质可得BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，由“AAS”可证△CPH≌△CPN，可得NP＝PH，CH＝CN＝4，通过证明四边形BCNM是正方形，可得MN＝BM＝4，在Rt△EPM中，利用勾股定理可求NP的长，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，

∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，
∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，
在△CPH和△CPN中，
，
∴△CPH≌△CPN（AAS），
∴NP＝PH，CH＝CN＝4，
∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN＝CB＝4，
∴四边形BCNM是正方形，
∴MN＝BM＝4，
∴EM＝2，
∵EP2＝EM2+PM2，
∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DCF＝，
∴，
∴DF＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．（2021•眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（　　）

A．7.2π B．11.52π C．12π D．13.44π
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是上面圆锥下面是圆柱，再根据圆锥的侧面是扇形和圆柱的侧面是长方形即可求解．
【解答】解：观察图形可知：
圆锥母线长为：＝2（米），
所以该整流罩的侧面积为：π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2＝12π（平方米）．
答：该整流罩的侧面积是12π平方米．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体求其侧面积．
7．（2021•广元）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．
【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．证明△CDP≌△TDQ（SAS），推出∠DCP＝∠DTQ＝90°，推出∠CTQ＝30°，推出点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小．解法二：在CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，
∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，
，
∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∴∠CTD＝60°，
∴∠CTQ＝30°，
∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），
当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT•sin30°＝CT＝CD＝BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．

∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，
∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，
∴△DPM≌△DQC（SAS），
∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，
当PM⊥MH时，PM的值最小最小值＝CH＝CD＝1，
∴CQ的最小值为1．
故选：B．

【点评】本题考查旋转的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共3小题）
8．（2021•广安）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG．已知∠ACB＝15°，AE＝EF，DE＝，则BC的长为 　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE＝60°，求出AE＝BE＝2，证出∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，可得BC．
【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，
∴∠AFE＝30°，又AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED＝∠BED＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵DE＝，
∴AE＝BE＝AB＝＝2，
∴BF＝BE+EF＝4，∠BAF＝60°+30°＝90°，
∴FC＝AF＝＝2，
∴BC＝BF+FC＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．
9．（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　135°　．

【考点】剪纸问题．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据翻折可以知道∠OAB＝∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠OAB的度数即可求∠OBA的度数．
【解答】解：由题知，∠AOB＝×180°＝30°，
由翻折知∠OAB＝∠DCE，CD＝CE，
∵∠CDE＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠OAB＝∠DCE＝＝15°，
∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查剪纸问题，熟练掌握剪纸中的翻折是解题的关键．
10．（2021•资阳）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF；②AF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝．其中所有正确结论的序号为 　①②③④　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】由菱形ABCD的对称性可判断①正确，利用△CFG∽△EFC,可得CF2＝EF•GF,从而判断②正确，设AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE中，CE＝CD•cos60°＝CD＝m,BE＝m,可得＝＝＝,设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n,可得FG＝n,EG＝EF﹣FG＝n,从而FG:EG＝(n):（n)＝4:5,可判断③正确，设CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,可求出DF＝BD＝t,Rt△DFH中，FH＝DF＝t,Rt△ADE中，AE＝＝＝t,即可得EF＝AE＝t,FG＝EF＝t,Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,即可判断④正确，
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，A与C重合，
∴AF＝CF,故①正确，
∠FAD＝∠FCD,
∵AD∥BC,
∴∠FAD＝∠FEC,
∴∠FCD＝∠FEC,
又∠CFG＝∠EFC,
∴△CFG∽△EFC,
∴＝,
∴CF2＝EF•GF,
∴AF2＝EF•GF,故②正确，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，AD＝CD＝BC,
设AD＝CD＝BC＝m,
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
Rt△CDE中，CE＝CD•cos60°＝CD＝m,
∴BE＝m,
∵AD∥BE,
∴＝＝＝,
设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n,
又CF2＝FG•EF,
∴(2n)2＝FG•3n,
∴FG＝n,
∴EG＝EF﹣FG＝n,
∴FG:EG＝(n):（n)＝4:5,故③正确，
设CE＝t,
Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,
Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,
∵AD∥BE,
∴＝＝＝,
∴DF＝BD＝t,
Rt△DFH中，FH＝DF＝t,
Rt△ADE中，AE＝＝＝t,
∴EF＝AE＝t,
∵FG:EG＝4:5,
∴FG＝EF＝t,
Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及菱形的轴对称性、三角形相似的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形性质，从图中找出常用的相似三角形模型解决问题．
三．解答题（共4小题）
11．（2021•达州）2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，根据正弦、余弦的定义求出CE、BE，可得DG的值，根据正切的定义求出AG，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，

在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48米，
∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×≈24×1.73＝41.52（米），
∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），
在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），
∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），
答：桥墩AB的高约为72.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义、锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2+，tan15°＝2﹣．计算结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，再由锐角三角函数定义表示出AE的长，然后表示求出CF＝BE的长，进而得到AE+BE＝+DE﹣15＝45，即可求得DE．
（2）求得AH，即可求得DG＝EH，进而即可求得无人机刚好离开操控者的视线所用的时间．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝，
∴AE＝＝，
∵四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝15米，FC＝BE，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴CF＝DF＝DE﹣15，
∴AB＝AE+BE＝+DE﹣15＝45，
∴DE＝15（2+）（米），
答：此时无人机的高度为15（2+）米．
（2）∵DE＝15（2+）米，
∴AE＝＝＝15（米），
过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，
∴tan∠BAC＝＝＝，
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（2+）米，
AH＝＝＝（30+45）米，
∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米，
（30+30）÷5＝（6+6）（秒），
答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．
13．（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
（2）如图2中，延长PM交AF于T．证明四边形MNFT是平行四边形，推出∠TMN＝∠AFC＝45°，推出∠PMN＝135°，再证明AF＝EC，利用三角形的中位线定理可得结论．
（3）因为MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，所以当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
【解答】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，AB＝BC，BF＝BE，
∴∠CBE＝∠ABF，＝＝，
∴△ABF∽△CBE．

（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，＝＝，
∴AF＝EC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PM＝EC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MN＝AF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MN＝PM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴＝．

（3）解：∵MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM＝，MN＝PM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为××1×＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）如图1，设DE与CF交于点G，由正方形的性质得出∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，可证明△AED≌△DFC（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝CF，则可得出结论；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，根据矩形性质得出∠A＝∠EDC＝90°，由直角三角形的性质证出∠ECD＝∠ADB，由相似三角形的判定定理证出△DEC∽△ABD即可；
（3）如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，证明△DEA∽△CFH，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（4）①过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，证明△DEA∽△CFG，得出比例线段，证出，设AH＝a，则DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝92，解方程可求出AH、DH的长，由三角形ACD的面积求出CG的长，则可求出答案；
②由勾股定理求出AG＝，证明△DEA∽△CFG，由相似三角形的性质得出，求出FG＝，在Rt△ABF中，由勾股定理可求出BF的长．
【解答】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，
∴，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝92，
∴a＝（负值舍去），
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AD•CG，
∴×9CG，
∴CG＝，
∴；
②∵AC＝，CG＝，∠AGC＝90°，
∴AG＝＝＝，
由①得△DEA∽△CFG，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG＝，
∴AF＝AG﹣FG＝＝，
∴BF＝＝＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．

考点卡片
1．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
4．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
5．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
6．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
7．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
9．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
10．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
11．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
12．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
13．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
14．相似形综合题
相似形综合题．
15．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
16．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
17．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
18．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
19．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
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日期：2021/8/3 14:54:10；用户：招远2；邮箱：zybzy2@xyh.com；学号：40292108