初中数学21.3 实际问题与一元二次方程课时作业

专题08 利用一元二次方程解决传播问题

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．

【详解】

设每人每轮平均感染人，由题意得，

x（x+1）+x+1=81，

即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．

2．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x-1）=2550．

【详解】

解：∵全班有x名学生，

∴每名学生应该送的相片为（x-1）张，

∴x（x-1）=2550．

故选：B．

【点睛】

此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语．

3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（    ）

A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31

【答案】B

【分析】

设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．

【详解】

解：设每个支干长出x根小分支，

根据题意可得：1＋x＋x2＝31

故选：B．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．

4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程．

【详解】

解：由题意得：；

故选B．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

5．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（　　）个人．

A．14 B．16 C．18 D．20

【答案】C

【分析】

据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为361人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x=361．即可解答．

【详解】

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+1+（x+1）x＝361，

解得，x＝18或x＝﹣20（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了18个人．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．

6．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程．

【详解】

解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，

依题意得：．

故选：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有二人参加这次聚会，则列出方程正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

分析：如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x-1）次，x人共需握手x（x-1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．

解答：解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1（次）；

依题意，可列方程为： =10；

故选B．

8．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）

A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28

【答案】B

【分析】

赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．

【详解】

设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，

故x（x-1）=28．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．

9．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【分析】

设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播共有111人参与列出方程求解即可．

【详解】

由题意，得

n+n2+1=111，

解得：n1=-11（舍去），n2=10，

故选B．

【点睛】

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．

10．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（    ）

A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=20

【答案】B

【详解】

解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，由题意得：n（n﹣1）=20．故选B．

点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

二、填空题(共5小题)

11．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共比赛90场比赛，共有____个队参加比赛.

【答案】10

【详解】

设有x支球队，由题意则有：

x(x-1)=90，

解得：x1=10，x2=-9(舍去)，

所以共有10个队参加比赛，

故答案为10.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用；根据题意弄清楚是单循环还是双循环比赛，从而得到比赛总场数的等量关系是解题的关键．

12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人.

【答案】7

【解析】

试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，则根据题意可知：，解得：x=7或x=-9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染给7个人．

13．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．

【答案】10

【分析】

设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，

依题意，得：x（x﹣1）＝90，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．

故答案为10．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

14．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.

【答案】11

【分析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x-1）=55，
整理，得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．

故答案为11.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有______名同学．

【答案】18

【详解】

试题解析：设该班有名x学生，则有x（x-1）=306，

解之，得 ：x1=18，x2=-17（舍去）．

故该班有18名学生．

点睛：每位同学向本班的其他同学赠送自己制作的小礼物1件，则x位同学时，每位同学赠送（x-1）件．

三、解答题(共2小题)

16．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．

【分析】

（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．

【详解】

（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，

解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．

（2）256×（1+15）＝4096（人）．

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

17．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．

（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　   　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　   　次；

（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　   　次；

（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．

（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．

【答案】（1）3；10；（2） ；（3）参加聚会的人数为8人；（4） .

【分析】

（1）（2）（3）根据题意每个人要与他自己以外的人握手一次，当两人只握手一次，所以握手次数为：×聚会人数×（聚会人数-1），故可进行计算求解；（4）由线段上AB上共有m个点（不含端点A，B），则相当于聚会人数为m+2,则根据公式即可写出线段数.

【详解】

（1）若参加聚会的人数为3，则共握手3次；

若参加聚会的人数为5，则共握手10次；

（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次

（3）由题意得：=28，即

解得，，（舍去）

答：参加聚会的人数为8人．

（4）由线段上AB上共有m个点（不含端点A，B），则相当于聚会人数为m+2,则根据公式即可写出线段数为

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.