初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程复习练习题

专题09 利用一元二次方程解决增长率问题

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100

【答案】A

【分析】

利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．

【详解】

由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，

2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，

即： 80（1+x）2=100，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．

2．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）

A． B．

C．        D．

【答案】D

【详解】

第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2

，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.

3．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）

A．200（1+x）2＝1000

B．200+200×2x＝1000

C．200+200×3x＝1000

D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000

【答案】D

【分析】

根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.

【详解】

解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，

∴二月份的营业额为200×（1+x），

∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，

∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，

即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．

故选D．

【点睛】

此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.

4．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．

【详解】

解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：

，

故选B．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．

5．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）

A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315

C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝315

【答案】B

【详解】

试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为x，可列方程为560（1-x）²=315.

故选B

6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（   ）

A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182

C．50(1+2x)=182 D．50+50(1+x)+550（1+x）²=182

【答案】B

【分析】

先根据平均每月的增长率求出该厂五．六月份生产的零件数量，再根据“第二季度共生产零件182万个”列出方程即可．

【详解】

由题意得：该厂五、六月份生产的零件数量分别为万个、万个

则

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，正确求出该厂五、六月份生产的零件数量是解题关键．

7．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461

C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442

【答案】B

【分析】

本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．

【详解】

解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．

8．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（　　）

A．            B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．

【详解】

解：已设这个百分数为x．

200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．

故选B．

【点睛】

本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．

9．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　）

A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8

C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8

【答案】C

【解析】

试题分析：设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程10.8（1+x）2=16.8，

故选C．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程

10．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．

【详解】

解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，

根据题意可列方程为．

故选：D．

【点睛】

本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．

二、填空题(共5小题)

11．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

【答案】20%

【详解】

解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，

整理得，

解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；

即该药品平均每次降价的百分率是20%．

12．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.

【答案】20%.

【分析】

一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），再根据题意列出方程5(1+x)2＝7.2，即可解答.

【详解】

设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：

5(1+x)2＝7.2，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意舍去).

答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.

故答案是：20%.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程.

13．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为，则__________．

【答案】20%．

【详解】

试题分析：根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x．

试题解析：依题意，有：100（1+x）2=144，

1+x=±1．2，

解得：x=20%或-2．2（舍去）．

考点：一元二次方程的应用．

14．某种传染性羊疾在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔小时能传染头羊，现知一养羊场有头羊染有此病，那么小时后共有________头羊染上此病（用含、的代数式表示）．

【答案】

【分析】

10小时可以传染两轮，根据每轮传染数和传染轮数列出一元二次方程即可．

【详解】

解：平均一头羊每隔5小时能传染a头羊，那么十个小时可以传染两轮.第一轮中，被传染的羊有ma头，再加上原本患病的m头羊，那么5个小时后共有m＋ma头羊染上此病；第二轮中，被传染的羊有a(m＋ma)头，再加上原本患病的m＋ma头，那么十个小时后共有m＋ma＋a(m＋ma)＝m(a＋1)2头羊患上此病．故答案为m(a＋1)2．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是要根据题中所给条件之间的关键列出正确的一元二次方程．

15．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为_____．

【答案】20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．

【分析】

设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．

【详解】

设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得

20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．

故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．

【点睛】

一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．

三、解答题(共2小题)

16．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；

（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

【答案】（1）20%；（2）能.

【分析】

（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)(1+x)，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可．

（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.

【详解】

(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．

答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，

所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．

17．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．

（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．

【详解】

试题分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；

（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．

试题解析：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，

由题意，得10(1＋x)2＝12.1，

(1＋x)2＝1.21，1＋x＝±1.1，

x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．

答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；

 (2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，

∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．

设需要增加y名业务员，

根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，

解得y≥≈1.183，

∵y为整数，

∴y≥2.

答：至少需要增加2名业务员．