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2020-2021学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．±3是（﹣3）2的算术平方根
B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C．的平方根是﹣3
D．﹣3是的一个平方根
3．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
6．（3分）已知x，y为实数，xy＝5，那么x+y的值为（ ）
A． B．2 C．±2 D．5
7．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则梯形ABCD的面积等于（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
8．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（3分）有一个数值转换器，原理如图，那么输入的x为729时，输出的y是 ．
10．（3分）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为 ．
12．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，BC的中点为E，连接EF，EF⊥AB．连接DF，DE，则△DEF的面积为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，则平行四边形ABCD的面积是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为 ．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（共46分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2）0﹣+（﹣1）2+|1﹣|；
（2）×（）+．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
21．（8分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝DC，点E、F分别在AD、AB上，且．
（1）求证：BF＝EF﹣ED；
（2）连接AC，若∠B＝80°，∠DEC＝70°，求∠ACF的度数．
22．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
23．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．依题意补全图1，并解答下列问题：
（1）当BE＝CE时，直接写出旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请写出∠BEF的度数，并证明；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
2020-2021学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．±3是（﹣3）2的算术平方根
B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C．的平方根是﹣3
D．﹣3是的一个平方根
【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、3是（﹣3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
B、3是（﹣3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
C、，的平方根是±3，故此选项不符合题意；
D、﹣3是的一个平方根，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°，由M为AB中点，则MB＝＝2，在Rt△MNB中，MN＝，BN＝cos30°•MB＝3，则根据S△MNB＝可求答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°．
∵M为AB中点，AB＝4，
∴MB＝＝2，
又MN⊥BC，则在Rt△MNB中，
MN＝＝，BN＝cos30°•MB＝＝3，
故S△MNB＝＝＝．
故选：A．
4．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝＝2，
∴选项A不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴选项B不符合题意；
C、∵S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，
∴选项C符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
∵S△ABC＝×5×h＝5，
∴h＝2，
即点A到直线BC的距离是2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AM＝MC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵OM⊥AC，
∴AM＝MC，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD＝8＝AM+DM+CD＝8，
∴AD+CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故选：B．
6．（3分）已知x，y为实数，xy＝5，那么x+y的值为（ ）
A． B．2 C．±2 D．5
【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．
【解答】解：x+y
＝，
∵x，y为实数，xy＝5，
∴x、y同号，
当x＜0，y＜0时，
原式＝+＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣2，
当x＞0，y＞0时，
原式＝+＝＝+＝2，
由上可得，x+y的值是，
故选：C．
7．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则梯形ABCD的面积等于（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，再求出BF＝＝3，EF＝，BC＝6，由EF为梯形中位线，则EF＝（AB+DC）＝，最后由梯形面积公式得到答案．
【解答】解：过E作EF∥AB交BC于点F，
则EF为梯形的中位线，EF＝（AB+DC），
又∠EBA＝30°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝＝3，EF＝，
∴BC＝6，
∴梯形ABCD的面积为＝＝．
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答即可．
【解答】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，
∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG＝AC，GE＝CE，
同理可得，AB＝AH，BD＝HD，
∵BF＝CF，BD＝HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF＝CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，
∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（3分）有一个数值转换器，原理如图，那么输入的x为729时，输出的y是 ．
【分析】先求729的立方根是9，再求9的算术平方根是3，由于3是有理数，再次求3的算术平方根是，由于是无理数，则可直接输出．
【解答】解：输入x＝729时，
∴729的立方根是9，
∵9的算术平方根是3，是有理数，
∴3的算术平方根是，是无理数，
∴输出为，
故答案为．
10．（3分）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为 17﹣4 ．
【分析】求出AB的长度为3，根据勾股定理求出AC的长为，所以AD＝AC＝，所以a＝﹣2+，根据完全平方公式求a2即可．
【解答】解：∵A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1，
∴AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∵BC⊥AB，且BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝AC＝，
∴a＝﹣2+，
∴a2＝（﹣2）2
＝13﹣4+4
＝17﹣4，
故答案为：17﹣4．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为 3 ．
【分析】由旋转可知∠BAC1＝90°，再用勾股定理求BC1的长即可得答案．
【解答】解：由旋转性质可知，AC1＝AC＝，∠BAC1＝∠BAC+∠CAC1＝30°+60°＝90°，
则在Rt△BAC1中，BC1＝＝＝．
故答案为：．
12．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 15﹣5 ．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，BC的中点为E，连接EF，EF⊥AB．连接DF，DE，则△DEF的面积为 16 ．
【分析】延长FE交DC的延长线于点G，由中点性质可得BE＝5，利用ASA证明△BEF≌△CEG，从而CG＝BF＝3，∠G＝∠BFE＝90°，由勾股定理定理可得EF＝4，最后可根据S△DEF＝来计算面积得到答案．
【解答】解：如图，延长FE交DC的延长线于点G，
由四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BCG，
又BC中点为E，
∴BE＝CE＝＝5，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴CG＝BF＝3，∠G＝∠BFE＝90°，
∴EF＝＝4，
∴S△DEF＝＝＝16．
故答案为：16
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，则平行四边形ABCD的面积是 72 ．
【分析】连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，可得四边形AEBF为平行四边形，BF＝AE＝9，AF＝BE＝5，DF＝15．再运用勾股定理逆定理证明△DBF为直角三角形，可求出DF边上高h为，最后根据SABCD＝AD•h求面积即可得到答案．
【解答】解：连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，
∴四边形AEBF为平行四边形．
∴BF＝AE＝9，AF＝BE＝＝＝5，
∴DF＝AD+AF＝10+5＝15，
又BD＝12，92+122＝225＝152，
即BD2+BF2＝DF2，
∴△DBF为直角三角形．
则设DF上的高为h，根据面积公式有DF•h＝BF•BD，
即15h＝9×12，解得h＝．
∴SABCD＝AD•h＝10×＝72．
故答案为：72．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 6 ．
【分析】利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵CB＝BE，DF＝FE，
∴CD＝2BF＝6，
∵AD＝＝DB，∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝12，
∴BC＝＝＝6，
故答案为：6．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 ．
【分析】证明四边形ADCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出DF的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD，
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝12，AC＝16，
∴BC＝＝20，
∴AH＝＝＝，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CD＝CE，
∴S菱形ADCE＝EC•DF＝CD•AH，
∴DF＝AH＝．
故答案为．
17．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为 120 ．
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，求得AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，由勾股定理可求AO＝12，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，
∵AD2＝OD2+AO2，
∴（1+OA）2＝25+AO2，
∴AO＝12，
∴AC＝24，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝120，
故答案为：120．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 2+3 ．
【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．
【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，
∴∠BEF＝∠TEG，
在△EBF和△ETG中，
，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝8，BE＝2，CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠CED＝∠BET＝45°，
∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝2，
∴CJ⊥DE，
∴JE＝JD，
∴CJ＝DE＝3，
∴CG＝CJ+GJ＝2+3，
∴CG的最小值为2+3，
故答案为2+3．
三、解答题（共46分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2）0﹣+（﹣1）2+|1﹣|；
（2）×（）+．
【分析】（1）由二次根式的混合运算的运算顺序，先算乘方并化简，将化简为1﹣++，进而解决此题．
（2）根据二次根式的混合运算的运算顺序，先算乘除后算加减．
【解答】解：（1）
＝1﹣++
＝1﹣
＝4﹣．
（2）
＝
＝
＝．
＝．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
【分析】（1）根据菱形的性质得到CB＝CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，推出△DEG与△BEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BF＝DE；
（2）解：∵∠A＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，
∴∠CBG＝∠G＝45°，
∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形，
∵BE＝CE＝4，
∴BC＝AD＝4，
∵∠A＝∠G＝45°，
∴AB＝BC，∠ABG＝90°，
∴AG＝8，
∴DG＝AG﹣AD＝8﹣4．
21．（8分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝DC，点E、F分别在AD、AB上，且．
（1）求证：BF＝EF﹣ED；
（2）连接AC，若∠B＝80°，∠DEC＝70°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，从而根据SAS证得△FCE≌△F′CE，从而可证得结论．
（2）根据等腰三角形的性质可得出∠BAC＝∠BCA＝50°，∠DEC＝∠FEC＝∠ECB＝70°，从而可得出∠DCE的度数，也就得出了∠BCF的度数，再结合∠BCA＝50°即可得出答案．
【解答】（1）证明：旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB＝DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A＝∠ADC，∠A+∠ABC＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
由旋转可知：∠ABC＝∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′＝180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵FC＝F′C，EC＝EC，∠ECF'＝∠BCF+∠DCE＝∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′＝EF＝DF′+ED，
∴BF＝EF﹣ED；
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝80°，
∴∠ACB＝50°，
由（1）得∠FEC＝∠DEC＝70°，
∴∠ECB＝70°，
而∠B＝∠BCD＝80°，
∴∠DCE＝10°，
∴∠BCF＝30°，
∴∠ACF＝∠BCA﹣∠BCF＝20°．
22．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可；
（2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论；
（3）设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，证△DEG是等腰直角三角形，得DE＝DG＝a，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝AB＝2a，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解得a＝8，即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形；
（3）解：设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝80，AB∥CD，
∵四边形CFDE是正方形，
∴∠DEC＝90°，CD⊥EF，DG＝EG＝CD＝a，
∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝DG＝a，
∵AB∥CD，CD⊥EF，
∴AB⊥BF，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即802＝（a）2+（2）2，
解得：a＝8，
∴AB＝2a＝16．
23．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．依题意补全图1，并解答下列问题：
（1）当BE＝CE时，直接写出旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请写出∠BEF的度数，并证明；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）证△BEC是等边三角形，得出α＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）由等腰三角形的性质可得∠CED＝∠CDE＝＝90°﹣，∠CEB＝∠CBE＝＝45°+，故∠BEF＝180°﹣∠CED﹣∠CEB＝45°，即，∠BEF的度数不变始终是45°；
（3）设AB与DF交于点P，过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于H，过点C作CI⊥DF于I，证四边形AGFH是正方形，得出AH＝AF，根据AAS证△AHD≌△DIC，得AH＝DI，再根据CD＝CE，得出DE＝2DI＝2AH＝AF．
【解答】解：补图如图1所示，
（1）在正方形ABCD中，BC＝CD，
由旋转可知，CE＝CD，
∵BE＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵∠BCD＝90°，
∴α＝∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）不变，∠BEF＝45°，证明如下：
在△CED中，CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝＝90°﹣，
在△CEB中，CE＝CB，∠BCE＝90°﹣α，
∴∠CEB＝∠CBE＝＝45°+，
∴∠BEF＝180°﹣∠CED﹣∠CEB＝45°；
（3）DE＝AF，证明如下：
如图2，设AB与DF交于点P，过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于H，过点C作CI⊥DF于I，
则四边形AGFH是平行四边形，
∵BF⊥DF，
∴平行四边形AGFH是矩形，
∵∠BAD＝∠BFP＝90°，∠BPF＝∠APD，
∴∠ABG＝∠ADH，
∵∠AGB＝∠AHD＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADH（AAS），
∴AG＝AH，
∴矩形AGFH是正方形，
∴∠AFH＝∠FAH＝45°，
∴AH＝AF，
∵∠DAH+∠ADH＝∠CDI+∠ADH＝90°，
∴∠DAH＝∠CDI，
∵∠AHD＝∠DIC＝90°，AD＝DC，
∴△AHD≌△DIC（AAS），
∴AH＝DI，
∵CD＝CE，CI⊥DE，
∴DE＝2DI，
∴DE＝2AH＝AF．
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日期：2021/8/11 12:04:19；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．±3是（﹣3）2的算术平方根
B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C．的平方根是﹣3
D．﹣3是的一个平方根
3．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
6．（3分）已知x，y为实数，xy＝5，那么x+y的值为（ ）
A． B．2 C．±2 D．5
7．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则梯形ABCD的面积等于（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
8．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（3分）有一个数值转换器，原理如图，那么输入的x为729时，输出的y是 ．
10．（3分）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为 ．
12．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，BC的中点为E，连接EF，EF⊥AB．连接DF，DE，则△DEF的面积为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，则平行四边形ABCD的面积是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为 ．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（共46分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2）0﹣+（﹣1）2+|1﹣|；
（2）×（）+．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
21．（8分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝DC，点E、F分别在AD、AB上，且．
（1）求证：BF＝EF﹣ED；
（2）连接AC，若∠B＝80°，∠DEC＝70°，求∠ACF的度数．
22．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
23．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．依题意补全图1，并解答下列问题：
（1）当BE＝CE时，直接写出旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请写出∠BEF的度数，并证明；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
2020-2021学年北京市十一学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．±3是（﹣3）2的算术平方根
B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C．的平方根是﹣3
D．﹣3是的一个平方根
【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、3是（﹣3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
B、3是（﹣3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
C、，的平方根是±3，故此选项不符合题意；
D、﹣3是的一个平方根，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°，由M为AB中点，则MB＝＝2，在Rt△MNB中，MN＝，BN＝cos30°•MB＝3，则根据S△MNB＝可求答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°．
∵M为AB中点，AB＝4，
∴MB＝＝2，
又MN⊥BC，则在Rt△MNB中，
MN＝＝，BN＝cos30°•MB＝＝3，
故S△MNB＝＝＝．
故选：A．
4．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝＝2，
∴选项A不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴选项B不符合题意；
C、∵S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，
∴选项C符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
∵S△ABC＝×5×h＝5，
∴h＝2，
即点A到直线BC的距离是2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AM＝MC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵OM⊥AC，
∴AM＝MC，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD＝8＝AM+DM+CD＝8，
∴AD+CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故选：B．
6．（3分）已知x，y为实数，xy＝5，那么x+y的值为（ ）
A． B．2 C．±2 D．5
【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．
【解答】解：x+y
＝，
∵x，y为实数，xy＝5，
∴x、y同号，
当x＜0，y＜0时，
原式＝+＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣2，
当x＞0，y＞0时，
原式＝+＝＝+＝2，
由上可得，x+y的值是，
故选：C．
7．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则梯形ABCD的面积等于（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，再求出BF＝＝3，EF＝，BC＝6，由EF为梯形中位线，则EF＝（AB+DC）＝，最后由梯形面积公式得到答案．
【解答】解：过E作EF∥AB交BC于点F，
则EF为梯形的中位线，EF＝（AB+DC），
又∠EBA＝30°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝＝3，EF＝，
∴BC＝6，
∴梯形ABCD的面积为＝＝．
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答即可．
【解答】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，
∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG＝AC，GE＝CE，
同理可得，AB＝AH，BD＝HD，
∵BF＝CF，BD＝HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF＝CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，
∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．（3分）有一个数值转换器，原理如图，那么输入的x为729时，输出的y是 ．
【分析】先求729的立方根是9，再求9的算术平方根是3，由于3是有理数，再次求3的算术平方根是，由于是无理数，则可直接输出．
【解答】解：输入x＝729时，
∴729的立方根是9，
∵9的算术平方根是3，是有理数，
∴3的算术平方根是，是无理数，
∴输出为，
故答案为．
10．（3分）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为 17﹣4 ．
【分析】求出AB的长度为3，根据勾股定理求出AC的长为，所以AD＝AC＝，所以a＝﹣2+，根据完全平方公式求a2即可．
【解答】解：∵A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1，
∴AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∵BC⊥AB，且BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝AC＝，
∴a＝﹣2+，
∴a2＝（﹣2）2
＝13﹣4+4
＝17﹣4，
故答案为：17﹣4．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为 3 ．
【分析】由旋转可知∠BAC1＝90°，再用勾股定理求BC1的长即可得答案．
【解答】解：由旋转性质可知，AC1＝AC＝，∠BAC1＝∠BAC+∠CAC1＝30°+60°＝90°，
则在Rt△BAC1中，BC1＝＝＝．
故答案为：．
12．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 15﹣5 ．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，BC的中点为E，连接EF，EF⊥AB．连接DF，DE，则△DEF的面积为 16 ．
【分析】延长FE交DC的延长线于点G，由中点性质可得BE＝5，利用ASA证明△BEF≌△CEG，从而CG＝BF＝3，∠G＝∠BFE＝90°，由勾股定理定理可得EF＝4，最后可根据S△DEF＝来计算面积得到答案．
【解答】解：如图，延长FE交DC的延长线于点G，
由四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BCG，
又BC中点为E，
∴BE＝CE＝＝5，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴CG＝BF＝3，∠G＝∠BFE＝90°，
∴EF＝＝4，
∴S△DEF＝＝＝16．
故答案为：16
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，则平行四边形ABCD的面积是 72 ．
【分析】连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，可得四边形AEBF为平行四边形，BF＝AE＝9，AF＝BE＝5，DF＝15．再运用勾股定理逆定理证明△DBF为直角三角形，可求出DF边上高h为，最后根据SABCD＝AD•h求面积即可得到答案．
【解答】解：连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，
∴四边形AEBF为平行四边形．
∴BF＝AE＝9，AF＝BE＝＝＝5，
∴DF＝AD+AF＝10+5＝15，
又BD＝12，92+122＝225＝152，
即BD2+BF2＝DF2，
∴△DBF为直角三角形．
则设DF上的高为h，根据面积公式有DF•h＝BF•BD，
即15h＝9×12，解得h＝．
∴SABCD＝AD•h＝10×＝72．
故答案为：72．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 6 ．
【分析】利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵CB＝BE，DF＝FE，
∴CD＝2BF＝6，
∵AD＝＝DB，∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝12，
∴BC＝＝＝6，
故答案为：6．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 ．
【分析】证明四边形ADCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出DF的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD，
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝12，AC＝16，
∴BC＝＝20，
∴AH＝＝＝，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CD＝CE，
∴S菱形ADCE＝EC•DF＝CD•AH，
∴DF＝AH＝．
故答案为．
17．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为 120 ．
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，求得AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，由勾股定理可求AO＝12，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，
∵AD2＝OD2+AO2，
∴（1+OA）2＝25+AO2，
∴AO＝12，
∴AC＝24，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝120，
故答案为：120．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 2+3 ．
【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．
【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，
∴∠BEF＝∠TEG，
在△EBF和△ETG中，
，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝8，BE＝2，CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠CED＝∠BET＝45°，
∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝2，
∴CJ⊥DE，
∴JE＝JD，
∴CJ＝DE＝3，
∴CG＝CJ+GJ＝2+3，
∴CG的最小值为2+3，
故答案为2+3．
三、解答题（共46分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2）0﹣+（﹣1）2+|1﹣|；
（2）×（）+．
【分析】（1）由二次根式的混合运算的运算顺序，先算乘方并化简，将化简为1﹣++，进而解决此题．
（2）根据二次根式的混合运算的运算顺序，先算乘除后算加减．
【解答】解：（1）
＝1﹣++
＝1﹣
＝4﹣．
（2）
＝
＝
＝．
＝．
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，BE＝4，求DG的值．
【分析】（1）根据菱形的性质得到CB＝CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，推出△DEG与△BEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BF＝DE；
（2）解：∵∠A＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，
∴∠CBG＝∠G＝45°，
∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形，
∵BE＝CE＝4，
∴BC＝AD＝4，
∵∠A＝∠G＝45°，
∴AB＝BC，∠ABG＝90°，
∴AG＝8，
∴DG＝AG﹣AD＝8﹣4．
21．（8分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝DC，点E、F分别在AD、AB上，且．
（1）求证：BF＝EF﹣ED；
（2）连接AC，若∠B＝80°，∠DEC＝70°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，从而根据SAS证得△FCE≌△F′CE，从而可证得结论．
（2）根据等腰三角形的性质可得出∠BAC＝∠BCA＝50°，∠DEC＝∠FEC＝∠ECB＝70°，从而可得出∠DCE的度数，也就得出了∠BCF的度数，再结合∠BCA＝50°即可得出答案．
【解答】（1）证明：旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB＝DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A＝∠ADC，∠A+∠ABC＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
由旋转可知：∠ABC＝∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′＝180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵FC＝F′C，EC＝EC，∠ECF'＝∠BCF+∠DCE＝∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′＝EF＝DF′+ED，
∴BF＝EF﹣ED；
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝80°，
∴∠ACB＝50°，
由（1）得∠FEC＝∠DEC＝70°，
∴∠ECB＝70°，
而∠B＝∠BCD＝80°，
∴∠DCE＝10°，
∴∠BCF＝30°，
∴∠ACF＝∠BCA﹣∠BCF＝20°．
22．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可；
（2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论；
（3）设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，证△DEG是等腰直角三角形，得DE＝DG＝a，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝AB＝2a，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解得a＝8，即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形；
（3）解：设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝80，AB∥CD，
∵四边形CFDE是正方形，
∴∠DEC＝90°，CD⊥EF，DG＝EG＝CD＝a，
∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝DG＝a，
∵AB∥CD，CD⊥EF，
∴AB⊥BF，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即802＝（a）2+（2）2，
解得：a＝8，
∴AB＝2a＝16．
23．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．依题意补全图1，并解答下列问题：
（1）当BE＝CE时，直接写出旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请写出∠BEF的度数，并证明；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）证△BEC是等边三角形，得出α＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）由等腰三角形的性质可得∠CED＝∠CDE＝＝90°﹣，∠CEB＝∠CBE＝＝45°+，故∠BEF＝180°﹣∠CED﹣∠CEB＝45°，即，∠BEF的度数不变始终是45°；
（3）设AB与DF交于点P，过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于H，过点C作CI⊥DF于I，证四边形AGFH是正方形，得出AH＝AF，根据AAS证△AHD≌△DIC，得AH＝DI，再根据CD＝CE，得出DE＝2DI＝2AH＝AF．
【解答】解：补图如图1所示，
（1）在正方形ABCD中，BC＝CD，
由旋转可知，CE＝CD，
∵BE＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵∠BCD＝90°，
∴α＝∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）不变，∠BEF＝45°，证明如下：
在△CED中，CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝＝90°﹣，
在△CEB中，CE＝CB，∠BCE＝90°﹣α，
∴∠CEB＝∠CBE＝＝45°+，
∴∠BEF＝180°﹣∠CED﹣∠CEB＝45°；
（3）DE＝AF，证明如下：
如图2，设AB与DF交于点P，过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于H，过点C作CI⊥DF于I，
则四边形AGFH是平行四边形，
∵BF⊥DF，
∴平行四边形AGFH是矩形，
∵∠BAD＝∠BFP＝90°，∠BPF＝∠APD，
∴∠ABG＝∠ADH，
∵∠AGB＝∠AHD＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADH（AAS），
∴AG＝AH，
∴矩形AGFH是正方形，
∴∠AFH＝∠FAH＝45°，
∴AH＝AF，
∵∠DAH+∠ADH＝∠CDI+∠ADH＝90°，
∴∠DAH＝∠CDI，
∵∠AHD＝∠DIC＝90°，AD＝DC，
∴△AHD≌△DIC（AAS），
∴AH＝DI，
∵CD＝CE，CI⊥DE，
∴DE＝2DI，
∴DE＝2AH＝AF．
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