2020-2021学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（10题，每题3分，共30分）
1．（3分）垃圾分类就是将垃圾分门别类地投放，并通过分类地清运和回收使之重新变成资源．对于下列垃圾分类的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾
C．可回收物 D．其它垃圾
2．（3分）若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（　　）
A．40° B．70° C．80° D．100°
3．（3分）分式有意义时x的取值范围是（　　）
A．x＝1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠1
4．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
5．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
C．（x+y） 2＝x2+y2 D．x2+y2＝（x+y）2
7．（3分）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
8．（3分）如图，若正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（　　）

A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
9．（3分）下面所描述的两个等腰三角形不一定全等的是（　　）
A．顶角和底角分别相等 B．腰和底角分别相等
C．底角和底边分别相等 D．腰和底边分别相等
10．（3分）如图，l1反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，l2反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．下列说法不正确的是（　　）

A．当销售量为0t时，销售收入为0元
B．当销售量小于4t时，没有赢利
C．当销售量为6t时，赢利1000元
D．当赢利为4000元，销售量为10t
二、填空题（7题，每题4分，共28分）
11．（4分）x的3倍小于6，用不等式表示为 　 　．
12．（4分）因式分解：2a2﹣2＝　 　．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝　 　．

14．（4分）在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝　 　°．
15．（4分）计算：＝　 　．
16．（4分）若等腰三角形的两边分别为12和10，则等腰三角形底边上的高为 　 　．
17．（4分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中垂线交BC边于点D，垂足为E点，∠ABC的平分线交AC边于点F，交DE于点G，连接AD交BF于点H．则下列结论正确的是 　 　．
①C△ABD＝AC+BC（C表示周长）；
②AH＝DH；
③若AB＝DB，则∠C＝36°；
④若BD＝CD，则图中有6个等腰三角形；
⑤若∠BDE＝α，则∠BAC＝360°﹣2α．

三、解答题（一）（3题，每题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）先化简，后求值：，其中x＝﹣2．
20．（6分）△ABC如图所示．
（1）利用尺规作图法作▱ABCD（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）所作的▱ABCD中，连接BD．若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求BD的长．

四、解答题（二）（3题，每题8分，共24分）
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣5，1）、B（﹣3，3），C（﹣2，2）．
（1）将△ABC平移，使点B的对应点B坐标为（3，4），画出平移后的△A′B′C′，此时平移的距离为 　 　；
（2）求△A′B'C′的面积．

22．（8分）如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O．
（1）若M、N分别是OB、OC的中点，求证：四边形MNED是平行四边形；
（2）若AB＝AC，求证：△OBC是等腰三角形．

23．（8分）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小明家去年12月份的水费是50元，而今年6月份的水费则是72元．已知小明家今年6月份的用水量比去年12月份的用水量多了5m3．
（1）求今年居民用水的价格；
（2）随着夏季高温到来，小明家7月份用水量至少比6月份增加20%．若小明家计划将7月份的水费控制在100元以内，则按计划小明家7月份最多可用水多少立方米？（结果精确到1m3）
五、解答题（三）（2题，每题10分，共20分）
24．（10分）已知函数y1＝﹣x+3，y2＝2x﹣4．
（1）若y1＜y2，求x的取值范围；
（2）若点P（m，n）是函数y1与y2图象的交点，求32m2+16mn+2n2的值；
（3）若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1．求（a+1）（b﹣1）的值．
25．（10分）如图，ABCD的顶点A、B、D的坐标分别（0，0）、（5，0）、（1，3），将▱ABCD绕点A逆时针旋转．
（1）直接写出点C的坐标 　 　；
（2）如图1，当线段AB′与线段CD有交点时，求点B′的横坐标m的取值范围；
（3）如图2，当点C′在射线AD上时，在直线AD′上求一点P，使得△AC′P为等腰三角形．


2020-2021学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10题，每题3分，共30分）
1．（3分）垃圾分类就是将垃圾分门别类地投放，并通过分类地清运和回收使之重新变成资源．对于下列垃圾分类的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾
C．可回收物 D．其它垃圾
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（　　）
A．40° B．70° C．80° D．100°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为＝70°．
故选：B．
3．（3分）分式有意义时x的取值范围是（　　）
A．x＝1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠1
【分析】分式有意义的条件为：分母不等于0，列出不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
∴x≠1，
故选：D．
4．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
5．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝5，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故选：B．
6．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
C．（x+y） 2＝x2+y2 D．x2+y2＝（x+y）2
【分析】根据因式分解的意义，利用提公因式法、公式法分解因式后，并逐项进行判断即可．
【解答】解：A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2不符合因式分解的意义，因此选项A不符合题意；
B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）是利用平方差公式进行的因式分解，因此选项B符合题意；
C．（x+y） 2＝x2+2xy+y2，因此选项C不符合题意；
D．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，因此选项D不符合题意；
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．
【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（﹣3，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＞﹣3时，函数值小于0，即不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣3．
故选：C．
8．（3分）如图，若正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（　　）

A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
【分析】连接对应点，作所连线段的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心．
【解答】解：∵正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，
∴连接对应点A和点E，点D和点H，
分别作线段DH和线段AE的中垂线，交点M即为旋转中心．
故选：D．

9．（3分）下面所描述的两个等腰三角形不一定全等的是（　　）
A．顶角和底角分别相等 B．腰和底角分别相等
C．底角和底边分别相等 D．腰和底边分别相等
【分析】画出图形，再根据全等三角形的判定即可判断A；根据等腰三角形的性质得出∠W＝∠R，∠U＝∠K，求出∠R＝∠K，再根据全等三角形的判定即可判断B；求出∠R＝∠K，再根据全等三角形的判定定理即可判断C；根据全等三角形的判定定理SSS即可判断D．
【解答】解：A．如图：

在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
△ADE和△ABC不全等；故本选项符合题意；
B．如图：

∵QW＝QR，YU＝YK，
∴∠W＝∠R，∠U＝∠K，
∵∠W＝∠U，
∴∠R＝∠K，
∵QW＝YU，
∴根据AAS可以推出△QWR≌△YUK，故本选项不符合题意；
C．如图：

∵QW＝QR，YU＝YK，
∵∠W＝∠R，∠U＝∠K，
∵∠W＝∠U，
∴∠R＝∠K，
∵WR＝UK，
∴根据ASA可以推出△QWR≌△YUK，故本选项不符合题意；
D．如图：

∵QW＝QR，YU＝YK，
又∵QW＝YU，
∴QR＝YK，
∵WR＝UK，
∴根据SSS可以推出△QWR≌△YUK，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，l1反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，l2反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．下列说法不正确的是（　　）

A．当销售量为0t时，销售收入为0元
B．当销售量小于4t时，没有赢利
C．当销售量为6t时，赢利1000元
D．当赢利为4000元，销售量为10t
【分析】利用图象交点得出公司赢利以及公司亏本情况，进而可以求解．
【解答】解：A、当销售量为0t时，销售收入为0元，正确，不符合题意；
B、当销售量小于4t时，没有赢利，正确，不符合题意；
C、设l1的解析式为y1＝kx，
由题意得：4k＝4000，解得：k＝1000，
∴l1的解析式为y1＝1000x，
设l2的解析式为y2＝k′x+b，
由题意得：，解得：，
∴l2的解析式为y2＝500x+2000，
∴当销售量为6t时，y1＝1000×6＝6000，y2＝500×6+2000＝5000，
y1﹣y2＝6000﹣5000＝1000（元），
∴当销售量为6t时，赢利1000元，正确，不符合题意；
D、当赢利为4000元，y1﹣y2＝4000，
∴1000x﹣（500x+2000）＝4000，解得：x＝12，
∴当赢利为4000元，销售量为12t，
∴当赢利为4000元，销售量为10t，错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（7题，每题4分，共28分）
11．（4分）x的3倍小于6，用不等式表示为 　3x＜6　．
【分析】直接利用“x的3倍”即3x，再利用“小于6”即可得出不等式．
【解答】解：根据题意可得：3x＜6．
故答案为：3x＜6．
12．（4分）因式分解：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝　3　．

【分析】根据直角三角形的性质：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝×6＝3，
故答案为：3．
14．（4分）在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝　50　°．
【分析】由在▱ABCD中，∠A＝50°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°．
故答案为：50．
15．（4分）计算：＝　　．
【分析】根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解答】解：•
＝
＝，
故答案为：．
16．（4分）若等腰三角形的两边分别为12和10，则等腰三角形底边上的高为 　或8　．
【分析】根据等腰三角形三线合一，先求出底边的一半，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：当腰为12，底为10时，
∵12﹣12＜10＜12+12，满足三角形三边关系，
底边上的高为：＝，
当腰为10，底为12时，
∵10﹣10＜12＜10+10，满足三角形三边关系，
底边上的高为：＝8，
故答案为：或8．
17．（4分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中垂线交BC边于点D，垂足为E点，∠ABC的平分线交AC边于点F，交DE于点G，连接AD交BF于点H．则下列结论正确的是 　①③⑤　．
①C△ABD＝AC+BC（C表示周长）；
②AH＝DH；
③若AB＝DB，则∠C＝36°；
④若BD＝CD，则图中有6个等腰三角形；
⑤若∠BDE＝α，则∠BAC＝360°﹣2α．

【分析】根据垂直平分线的性质得到AD＝CD，通过等量代换即可判断①正确；当AB＝BD时，有AH＝DH，故②错误；根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠BDA＝2∠C，由△ABD内角和为180°即可求③正确；根据等腰三角形的判定可以得到等腰三角形共有7个，故④错误；根据等腰三角形的性质和三角形内角和为180°可以求出∠BAC＝360°﹣2α，故⑤正确．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵AB＝AC
∴C△ABD＝AB+BD+AD＝AC+BD+CD＝AC+BC，故①正确；
∵BG是∠ABC的角平分线，
∴BH是∠ABC的角平分线，
当AB＝BD时，有AH＝DH，故②错误；
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝2∠C，
在△ABD中，∠ABC+∠ADB+∠BAD＝180°，
即∠C+2∠C+2∠C＝180°，
即∠C＝36°，故③正确；
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ACD为等腰三角形，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∠CAD＝∠C＝45°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠ADE＝∠CAD＝45°，∠CDE＝∠C＝45°，
∴△ADE和△CDE是等腰三角形，
∵BG是∠ABC的角平分线，
∴∠DBG＝∠ABG＝∠ABC＝22.5°，
∴∠AHF＝∠ABG+∠BAD＝67.5°，
∴∠AFH＝180°﹣∠CAD﹣∠AHF＝67.5°，
∴∠AHF＝∠AFH，
∴△AHF为等腰三角形，
∵∠ADB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°，
∴∠BDG＝∠ADB+∠ADE＝135°，
∴∠BGD＝180°﹣∠BDG﹣∠DBG＝22.5°，
∴∠BGD＝∠DBG，
∴△BDG为等腰三角形，
综上共有7个等腰三角形，故④错误；
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠CED＝90°，
∴∠C＝∠BDG﹣∠CED＝α﹣90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝α﹣90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝360°﹣2α，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
三、解答题（一）（3题，每题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组：．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣2，
由②得，x＜3，
所以，不等式组的解集是﹣2＜x＜3．
19．（6分）先化简，后求值：，其中x＝﹣2．
【分析】先化简分式，再代入求值．
【解答】解：原式＝（）×
＝×
＝．
当x＝﹣2时，
原式＝＝2．
20．（6分）△ABC如图所示．
（1）利用尺规作图法作▱ABCD（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）所作的▱ABCD中，连接BD．若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求BD的长．

【分析】（1）分别以A，C为圆心，BC，AB为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD即可．
（2）在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求．

（2）设AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝4，OB＝OD，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10．
四、解答题（二）（3题，每题8分，共24分）
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣5，1）、B（﹣3，3），C（﹣2，2）．
（1）将△ABC平移，使点B的对应点B坐标为（3，4），画出平移后的△A′B′C′，此时平移的距离为 　先向右平移6个单位，再向上平移1个单位　；
（2）求△A′B'C′的面积．

【分析】（1）利用点B和B′的坐标关系可判断△ABC先向右平移6个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，利用此平移规律写出A′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）∵B（﹣3，3），平移后点B的对应点B坐标为（3，4），
∴△ABC先向右平移6个单位，再向上平移1个单位△A′B′C′，
如图所示：

此时平移的距离为先向右平移6个单位，再向上平移1个单位；
故答案为：先向右平移6个单位，再向上平移1个单位．
（2）△A′B'C′的面积＝．
22．（8分）如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O．
（1）若M、N分别是OB、OC的中点，求证：四边形MNED是平行四边形；
（2）若AB＝AC，求证：△OBC是等腰三角形．

【分析】（1）根据三角形中位线性质得到DE∥BC，DE＝BC，MN∥BC，MN＝BC，则DE∥MN，DE＝MN，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）证明△DBC≌△ECB得到∠DCB＝∠EBC，则OB＝OC，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE、CD为△ABC的中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵M、N分别是OB、OC的中点，
∴MN为△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN＝BC，
∴DE∥MN，DE＝MN，
∴四边形MNED是平行四边形；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，DB＝EC，
在△DBC和△ECB中，
，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．

23．（8分）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小明家去年12月份的水费是50元，而今年6月份的水费则是72元．已知小明家今年6月份的用水量比去年12月份的用水量多了5m3．
（1）求今年居民用水的价格；
（2）随着夏季高温到来，小明家7月份用水量至少比6月份增加20%．若小明家计划将7月份的水费控制在100元以内，则按计划小明家7月份最多可用水多少立方米？（结果精确到1m3）
【分析】（1）设去年12月份居民用水的价格为x元/m3，则今年居民用水的价格为（1+20%）x元/m3，利用数量＝总价÷单价结合小明家今年6月份的用水量比去年12月份的用水量多了5m3，即可得出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设小明家7月份可用水m立方米，根据“小明家7月份用水量至少比6月份增加20%，且计划将7月份的水费控制在100元以内”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再取其中最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设去年12月份居民用水的价格为x元/m3，则今年居民用水的价格为（1+20%）x元/m3，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）x＝（1+20%）×2＝2.4（元/m3）．
答：今年居民用水的价格为2.4元/m3．
（2）设小明家7月份可用水m立方米，
依题意得：，
解得：36≤m＜41．
∵m为整数，
∴m可以取的最大值为41．
答：按计划小明家7月份最多可用水41立方米．
五、解答题（三）（2题，每题10分，共20分）
24．（10分）已知函数y1＝﹣x+3，y2＝2x﹣4．
（1）若y1＜y2，求x的取值范围；
（2）若点P（m，n）是函数y1与y2图象的交点，求32m2+16mn+2n2的值；
（3）若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1．求（a+1）（b﹣1）的值．
【分析】（1）将y1＝﹣x+3，y2＝2x﹣4代入y1＜y2，得到不等式﹣x+3＜2x﹣4，即可求出x的取值范围；
（2）解方程组，得出m＝，n＝，再将32m2+16mn+2n2变形为2（4m+n）2，然后代入计算即可；
（3）不等式组即为，求出3+2b＜x＜，根据不等式组的解集为﹣1＜x＜1，得出3+2b＝﹣1，＝1，求出b＝﹣2，a＝1，代入（a+1）（b﹣1），计算即可．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣x+3，y2＝2x﹣4，
∴y1＜y2时，﹣x+3＜2x﹣4，解得x＞．
即若y1＜y2，x的取值范围是x＞；

（2）解方程组，得．
∵点P（m，n）是函数y1与y2图象的交点，
∴m＝，n＝，
∴32m2+16mn+2n2
＝2（16m2+8mn+n2）
＝2（4m+n）2
＝2×（4×+）2
＝2×102
＝2×100
＝200；

（3）∵y1＝﹣x+3，y2＝2x﹣4，
∴关于x的不等式组即为，
解得3+2b＜x＜，
∵关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴3+2b＝﹣1，＝1，
解得b＝﹣2，a＝1，
∴（a+1）（b﹣1）＝（1+1）×（﹣2﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．
25．（10分）如图，ABCD的顶点A、B、D的坐标分别（0，0）、（5，0）、（1，3），将▱ABCD绕点A逆时针旋转．
（1）直接写出点C的坐标 　（6，3）　；
（2）如图1，当线段AB′与线段CD有交点时，求点B′的横坐标m的取值范围；
（3）如图2，当点C′在射线AD上时，在直线AD′上求一点P，使得△AC′P为等腰三角形．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝5，即可求解；
（2）分别求出点B'在CD上时和AB'与AD重合时，点B'的横坐标，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由“AAS”可证△APF≌△CAH，可得PF＝AH＝3，AF＝CH＝6，可求AD解析式，设点P（x，﹣2x），由等腰三角形的性质和两点距离公式列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B、D的坐标分别（0，0）、（5，0）、（1，3），
∴AB∥CD，AB＝CD＝5，
∴点C坐标为（6，3），
故答案为：（6，3）；
（2）如图1，当点B'落在CD上时，延长CD交y轴于点H，

∵点D（1，3），
∴点H（0，3），
∴AH＝3，DH＝1，
∵将▱ABCD绕点A逆时针旋转，
∴AB'＝AB＝5，
∴B'H＝＝＝4，
∴点B'的横坐标为4，
如图1﹣1，当线段AB'与AD重合时，连接B'H，过点B'作B'N⊥y轴于N，过点H作HM⊥AD于M，延长CD交y轴于点H，

∵AH＝3，DH＝1，
∴AD＝＝＝，
∵S△ADH＝×AH×DH＝×AD×HM，
∴HM＝＝，
∵S△AB'H＝×AH×B'N＝AB'×HM，
∴B'N＝＝，
∴点B'的横坐标为，
∴点B′的横坐标m的取值范围为≤m≤4；
（3）当AP＝A'C，且点P在点A上方时，如图2，延长CD交y轴于点H，过点P作PF⊥y轴于F，过点D作DE⊥AC于E，

∵点C坐标为（6，3），
∴CH＝6，
∴AC＝＝＝3，
∵S△ADC＝CD×AH＝×AC×DE，
∴DE＝＝，
∴AE＝＝＝，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，
∵将▱ABCD绕点A逆时针旋转，
∴AC＝AC'＝AP＝3，∠PAC'＝∠CAC'＝45°，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAF+∠CAH＝90°＝∠CAH+∠ACH，
∴∠PAF＝∠ACH，
又∵AP＝AC，∠PFA＝∠CHA＝90°，
∴△APF≌△CAH（AAS），
∴PF＝AH＝3，AF＝CH＝6，
∴点P（﹣3，6），
设AD的解析式为y＝kx，
∴6＝﹣3k，
∴k＝﹣2，
∴直线AD解析式为y＝﹣2x，
设点P（x，﹣2x），
当点P在点A下方时，
∵AP＝A'C＝3，
∴（x﹣0）2+（﹣2x﹣0）2＝45，
∴x＝±3，
∴当点P在点A下方时，点P坐标为（3，﹣6）；
当AC'＝C'P'时，

∴∠P'AC'＝∠CP'A＝45°，
∴AC'＝C'P'＝3，
∴AP'＝AC'＝3，
设点P'（x，﹣2x），
∴（x﹣0）2+（﹣2x﹣0）2＝90，
∴x＝﹣3，x＝3（不合题意舍去），
∴点P'（﹣3，6）；
当AP''＝P''C时，
∴∠P''AC'＝∠P''C'A＝45°，
∴∠AP''C'＝90°，
∴AC'＝AP''＝3，
∴AP''＝，
设点P'（x，﹣2x），
∴（x﹣0）2+（﹣2x﹣0）2＝90，
∴x＝﹣，x＝（不合题意舍去），
∴点P''（﹣，3），
综上所述：当点P坐标为（﹣3，6）或（3，﹣6）或（﹣3，6）或（﹣，3）时，使得△AC′P为等腰三角形．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/11 12:05:05；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298