2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（上）第三次定时作业数学试卷（12月份）

这是一份2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（上）第三次定时作业数学试卷（12月份），共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（上）第三次定时作业数学试卷（12月份）
一、填空题（每题4分，共48分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
2．（4分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．b2+b3＝b5 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．a3•a2＝a
4．（4分）下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是（　　）
A．对某校九年级 1 班学生身高情况的调查
B．对“嫦娥五号”月球探测器零部件质量情况的调查
C．调查我市市民对垃圾分类相关知识的知晓情况
D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
5．（4分）正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
6．（4分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
7．（4分）如图⊙O的半径OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．
8．（4分）观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（　　）

A．59 B．75 C．81 D．93
9．（4分）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（　　）

A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
10．（4分）若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．12 B．14 C．21 D．24
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△BCD的边BC在x轴上，边BC的中点与坐标原点O重合，线段DC与y轴的交点记为F，CF＝2DF，反比例函数y＝（k＜0）经过点D，若S△BDF＝4，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣3 C．﹣8 D．﹣4
12．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AB边的中点，点E为线段AC上的一点，连接EB，将△ABE沿AB翻折得到△ABE'，连接DE、DE'，当BC∥DE'时，则BE'的长是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共32分）
13．（4分）世界文化遗产长城总长约为6690000m，若将6690000写成科学记数法应表示为　 　m．
14．（4分）计算：2cos60°+（π﹣）0＝　 　．
15．（4分）现有五张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，再随机从剩下的抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m、n．则二次函数y＝﹣（x+m）2﹣n的顶点在x轴上的概率为　 　．
16．（4分）如图，等边△ABC的边长为6，以BC为直径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是　 　．

17．（4分）甲、乙分别开车同时沿同一条路线从A地出发B地，已知 A、B两地相距300千米，他们出发不久后乙车坏了，乙立即开始修车，甲车继续行驶，半小时后，乙修好车继续按原速前往B地，乙到达B地后，原地休息，甲继续前进，甲到B地时，运动停止．整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（千米）与甲出发的时间x（小时）之间的关系如图所示，则当甲行驶到AB里程的一半时，甲乙两人相距　 　千米．

18．（4分）元旦节快到了，不在同一地区的甲、乙、丙三人决定去A地旅游，他们都要换乘飞机，动车，汽车才能到达A地（三种出行方式速度为平均速度，不受线路影响，每种出行方式平均速度一样），已知动车行驶6小时的路程与汽车行驶9小时的路程相等．甲需要坐3个小时的飞机，2个小时的动车，2个小时的汽车才能到达；乙的总路程比甲的总路程多32%，乙坐飞机、动车和汽车的时间分别比甲各段上升了30%、50%、50%，丙的总路程比甲总路程多98%，但丙发现乘坐飞机，动车，汽车的各段路程有多种选择．且每种选择坐动车，汽车的时间均不低于5小时，不超过15小时，且坐飞机、动车和汽车的时间均为整数．请你算一算丙最少需要花 　 　小时才能到达A地．（换乘时间不计）
三、解答题（8个题，共78分）
19．（10分）计算：
（1）（x﹣2）2﹣2x（x﹣3）；
（2）÷（﹣x﹣1）．
20．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的点，BE＝DF．
（1）请用直尺和圆规作出∠BFC的角平分线FH，并标出FH与BC的交点H；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，若∠AEB＝110°，求∠CFH的度数．

21．（10分）近年来，有关教育部门大力提倡提高中小学生阅读能力，鼓励学生们在课余时间增加课外阅读的时间，某地教育局发布了“普通中小学阅读状况评价指标”．为了解某校学生一周阅读时长的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的一周阅读的总时长统计表：
3
2
2
3
3
4
4
5
3
5
5
3
6
3
5
1
5
6
3
7
八年级20名学生的一周阅读的总时长条形统计图：

七、八年级抽取的学生的一周阅读时长的平均数、众数、中位数如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
3.90
a
b
八年级
3.65
3
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计员将八年级20人中阅读时长为2小时的数据统计落了，请你帮他将条形统计图补全；
（2）直接写出上述表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的一周阅读情况状况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）若一周阅读时间在5小时及以上为优秀，该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，估计该校七年级和八年级一周阅读时间优秀的学生总人数是多少？
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质
的过程，已知函数y＝|﹣3|，结合已有的学习经验，完成下列各小题．
（1）请在下列表格空白处填入恰当的数据；
x
…
﹣5
﹣1
0
0.5
1.5
　 　
　 　
4
7
…
y
…
2
0
3
9
　 　
3
　 　
1
2
…
（2）根据上表中的数据，在所给的平面直角坐标系中补全函数y＝|﹣3|的图象；
（3）根据你所画的该函数图象，写出该函数所具有的一条性质：　 　；
（4）结合你所画的函数图象，直接写出方程|﹣3|＝x+4的近似解为：　 　（结果保留一位小数，误差不超过0.2）．

23．（10分）定义：对任意一个各位数字均不为0的自然数，将其数字排列顺序倒过来，这样得到的数称为原数的逆序数．例如：123的逆序数是321，4156的逆序数是6514，根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个四位数，其数位上的数字顺次为连续的四个自然数，求该四位数与其逆序数之差的绝对值；
（2）一个各位数字均不为0的三位自然数，满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字的和，且这个三位数字与其逆序数的和被8除余1，求满足条件的所有三位数．
24．（10分）5G时代来临，互联网交互式行业成为新的商机，其中直播带货尤其被寄予厚望，直播带货正成为商家新的销售手段．重庆某火锅店通过直播助力推广该店特色火锅底料和便携式自热火锅．直播当天火锅底料和自热火锅共销售9万份，其中火锅底料的销量不少于自热火锅的3.5倍．
（1）求当天的直播活动中火锅底料至少销售了多少万份？
（2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动．直播前原价50元一份的火锅底料，降价a%售卖，原价30元一份的便携式火锅，降价a%售卖．已知直播前火锅底料和自热火锅的日销量比直播当天分别少a%，a%，且直播当天火锅底料的销量正好是（1）中的最小值，直播当天该店火锅底料和自热火锅的总日销售额比直播前的总日销售额多2a%，求a的值．
25．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，且BO＝3AO＝3．
（1）求b，c的值；
（2）抛物线与y轴交于点C，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，点P为直线y＝3x﹣3上一点，点Q为抛物线上一点，当△CPQ是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

26．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AC＝AB，点E为BA延长线上一点，点F在对角线BD上，连接EF，满足BF＝EF，连接CE，取CE的中点G，连FG，AG；
（1）如图1，若AE＝2，∠BEC＝45°，求AB的长；
（2）如图2，请写出AG与FG的数量关系，并且证明；
（3）如图3，若菱形ABCD的边长AB＝6，点E沿AB方向运动到线段AB上，点F也随之沿DB方向运动，且始终保持EF＝BF．当AG＝时停止运动，此时，将△BEF绕点B旋转得△BE'F'，连接CE'，取CE'的中点G'，直接写出AG'+CG'的最小值．


2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（上）第三次定时作业数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题4分，共48分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为2．
故选：C．
2．（4分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．b2+b3＝b5 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．a3•a2＝a
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、b2+b3无法合并，故此选项错误；
B、（a2）3＝a6，故此选项正确；
C、﹣a2÷a＝﹣a，故此选项错误；
D、a3•a2＝a5，故此选项错误；
故选：B．
4．（4分）下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是（　　）
A．对某校九年级 1 班学生身高情况的调查
B．对“嫦娥五号”月球探测器零部件质量情况的调查
C．调查我市市民对垃圾分类相关知识的知晓情况
D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
【分析】根据“普查、抽查”的意义和适用情况逐项进行判断即可．
【解答】解：A．对某校九年级 1 班学生身高情况的调查，由于个体不多，易于普查，因此选项A不符合题意；
B．对“嫦娥五号”月球探测器零部件质量情况的调查，必须对每个零部件进行检查，才能确保成功，因此适合普查，故选项B不符合题意；
C．调查我市市民对垃圾分类相关知识的知晓情况，由于市民较多，且没有必要全部调查，可采用抽查，因此选项C符合题意；
D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，适合普查，不能漏掉对一个旅客的检查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．（4分）正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．
【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
6．（4分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴8：x＝2：5，
解得x＝20．
故选：A．
7．（4分）如图⊙O的半径OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．
【分析】连接OA，先由题意得OA＝OC＝OD＝10，再由OM：OC＝3：5，得OM＝6，然后由勾股定理和垂径定理可求得AB的长．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的半径OD＝10，
∴OA＝OC＝OD＝10，
又∵OM：OC＝3：5，
∴OM＝6，
∵AB⊥CD于点M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝＝8，
∴AB＝2AM＝16，
故选：C．
8．（4分）观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（　　）

A．59 B．75 C．81 D．93
【分析】由已知图形中小圆圈个数，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图形有3+1×（1﹣1）＝3个小圆圈；
第②个图形中一共有3+2×（2﹣1）＝5个小圆圈；
第③个图形中一共有3+3×（3﹣1）＝9个小圆圈，
第④个图形一共有3+4×（4﹣1）＝15个小圆圈，
…
第⑨个图形中小圆圈的个数为3+9×（9﹣1）＝75个小圆圈，
故选：B．
9．（4分）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（　　）

A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，
设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2＝1952，
解得x≈75m，
DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，
（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，
由勾股定理，得CD＝13x，
∴13x＝195，
∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）
EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．
∵AF∥DG，
∴∠1＝∠ADG＝20°，
tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．
AF＝EB＝126m，
tan∠1＝＝0.364，
DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，
AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，
故选：A．
10．（4分）若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．12 B．14 C．21 D．24
【分析】根据题目的条件确定a的取值范围即可求解．
【解答】解：解不等式组：，
得，
∵不等式组有且仅有五个整数解，
∴﹣1≤＜0，
∴2＜a≤9，
解分式方程，
解得y＝，
又∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，且y≠1，
即≥0，且≠1，
解得a≥5且a≠7，
∴5≤a≤9且a≠7，
∴满足条件的整数a的值为5，6，8，9，
当a＝6或8时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，
∴满足条件的整数a的值为5，9，
∴满足条件的整数a的值之和是14．
故选：B．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△BCD的边BC在x轴上，边BC的中点与坐标原点O重合，线段DC与y轴的交点记为F，CF＝2DF，反比例函数y＝（k＜0）经过点D，若S△BDF＝4，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣3 C．﹣8 D．﹣4
【分析】过B作BH⊥CD于H，H为垂足，过D作DM⊥x轴于M，M为垂足，证△FOC∽△DMC，计算△BDC面积，求出k的值．
【解答】解：过B作BH⊥CD于H，H为垂足，
过D作DM⊥x轴于M，M为垂足，

∵D在y＝上，
∵S△BDF＝DF×BH．
HB×CF，
∵S△BDF＝4＝×DF×BH且 CF＝2DF，
∴HB×CF＝8，
∴S△BDC＝S△BDF+S△BFC＝12，
设D（a，），
∴OM＝﹣a，DM＝，
在△FOC和△DMC中，
∠FOC＝∠DMC，
∠FCO＝∠DCM，
∴△FOC∽△DMC（AA），
∴，
∴，
∴CO＝﹣2a，
∵O为BC的中点，
∴BC＝2CO＝﹣4a，
∴ BC×DM＝，
∴k＝﹣6．
故选：A．
12．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AB边的中点，点E为线段AC上的一点，连接EB，将△ABE沿AB翻折得到△ABE'，连接DE、DE'，当BC∥DE'时，则BE'的长是（　　）

A． B． C． D．
【分析】设AB与EE'交于点G，△ABE△ABE'关于直线AB对称，则EE'与AB垂直，△BGE'为直角三角形，当BC与DE'平行时，找到角度之间的关系，分别 确定BG、E'G的长，利用勾股定理可求解．
【解答】解：设AB与EE'交于点G，延长E'D交AE于点F，如图，
，
∵△ABE△ABE'关于直线AB对称，
∴AB⊥EE'，∠BAE＝∠BAE'，∠BDE＝∠BDE'，
∵BC⊥AC，BC∥E'F，
∴E'F⊥AC，∠FDA＝∠CBA，
在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，
∴tan∠CBA＝＝2，AB＝＝4，
在Rt△DGE'中，
∵∠CBA＝∠FDA＝∠BDE'，
∴tan∠GDE'＝tan∠CBA＝＝2，
设DG＝a，则E'G＝2a，
∵∠EAB+∠CBA＝∠E'AB+∠GE'A＝90°，
∴∠CBA＝∠GE'A，
在Rt△AGE'中，GE'＝2a，
∴tan∠GE'A＝＝2，
∴AG＝4a
∴AD＝4a﹣a＝3a，
∵AB＝4，D是AB中点，AD＝2．
∴3a＝2，a＝，
在Rt△BGE'中，GE'＝2a，BG＝AB﹣AG＝6a﹣4a＝2a，
∴BE'＝＝2a，
∴BE'＝2×＝，
故选：C．
二、填空题（每题4分，共32分）
13．（4分）世界文化遗产长城总长约为6690000m，若将6690000写成科学记数法应表示为　6.69×106　m．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将6690000用科学记数法表示为6.69×106．
故答案为6.69×106．
14．（4分）计算：2cos60°+（π﹣）0＝　2　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+1
＝1+1
＝2．
故答案为：2．
15．（4分）现有五张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，再随机从剩下的抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m、n．则二次函数y＝﹣（x+m）2﹣n的顶点在x轴上的概率为　　．
【分析】先画出树状图，共有20个等可能的结果，二次函数y＝﹣（x+m）2﹣n的顶点在x轴上的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有20个等可能的结果，二次函数y＝﹣（x+m）2﹣n的顶点在x轴上的结果有4个，分别为（﹣1，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0），
∴二次函数y＝﹣（x+m）2﹣n的顶点在x轴上的概率为＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，等边△ABC的边长为6，以BC为直径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是　﹣π　．

【分析】连接OD、DE、OE，根据菱形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案，
【解答】解：连接OD、DE、OE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BOD＝60°，∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，即△DOE为等边三角形，
∵∠A＝∠ODB＝60°，
∴OD∥AE，同理，OE∥OD，
∴四边形ADOE为菱形，
∵BC＝6，
∴OB＝OC＝OD＝OE＝3，
∴阴影部分的面积＝3×﹣＝﹣π，
故答案为：﹣π．

17．（4分）甲、乙分别开车同时沿同一条路线从A地出发B地，已知 A、B两地相距300千米，他们出发不久后乙车坏了，乙立即开始修车，甲车继续行驶，半小时后，乙修好车继续按原速前往B地，乙到达B地后，原地休息，甲继续前进，甲到B地时，运动停止．整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（千米）与甲出发的时间x（小时）之间的关系如图所示，则当甲行驶到AB里程的一半时，甲乙两人相距　50　千米．

【分析】由图象可求甲车，乙车的速度，由题意列出方程可求乙车修车时间，即可求解．
【解答】解：由图得，y＝60km时，乙开始修车，y＝30km时，乙修好了车，故这半小时内，甲前进了30km，
∴V甲＝＝60（km/h），甲全程共用时＝5（h），
当y＝90km时，y开始下降，可知乙此时已到达B，
甲仍继续前进了＝1.5（h），
可知乙共用了：5﹣1.5＝3.5（h），
乙行驶的时间为：3.5﹣0.5＝3（h），
∴V乙＝＝100（km/h），
甲行驶到AB里程的一半时，共h，行驶了300÷2＝150（km），
又∵＝1.5（h），1.5+0.5＝2（h），
∵2h＜2.5h，故乙修好车又走了2.5﹣2＝0.5（h），
∴当甲行驶到AB里程的一半时，乙行驶了2h，
2×100＝200（km），
∴当甲行驶到AB里程的一半时，甲乙两人相距200﹣150＝50（km），
故答案为：50．
18．（4分）元旦节快到了，不在同一地区的甲、乙、丙三人决定去A地旅游，他们都要换乘飞机，动车，汽车才能到达A地（三种出行方式速度为平均速度，不受线路影响，每种出行方式平均速度一样），已知动车行驶6小时的路程与汽车行驶9小时的路程相等．甲需要坐3个小时的飞机，2个小时的动车，2个小时的汽车才能到达；乙的总路程比甲的总路程多32%，乙坐飞机、动车和汽车的时间分别比甲各段上升了30%、50%、50%，丙的总路程比甲总路程多98%，但丙发现乘坐飞机，动车，汽车的各段路程有多种选择．且每种选择坐动车，汽车的时间均不低于5小时，不超过15小时，且坐飞机、动车和汽车的时间均为整数．请你算一算丙最少需要花 　23　小时才能到达A地．（换乘时间不计）
【分析】设飞机速度为a千米/小时，动车速度为b千米/小时，汽车速度为c千米/小时，甲的总路程为S千米，由题意列出方程组，可求a，b，c，由题意列出方程可得30x+3y+2z＝198，则当x越大，x+y+z的值越小，即可求解．
【解答】解：设飞机速度为a千米/小时，动车速度为b千米/小时，汽车速度为c千米/小时，甲的总路程为S千米，
根据题意得，，
∴，
设丙需要坐x个小时的飞机，y个小时的动车，z个小时的汽车才能到达A地，
根据题意得，xS+yS+zS＝（1+98%）S，
∴30x+3y+2z＝198，
∴当x越大，x+y+z的值越小，
∵5≤y≤15，5≤z≤15，x，y，z为正整数，
∴当x＝5，y＝12，z＝6时，x+y+z有最小值为23，
故答案为23．
三、解答题（8个题，共78分）
19．（10分）计算：
（1）（x﹣2）2﹣2x（x﹣3）；
（2）÷（﹣x﹣1）．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x（x﹣3）
＝x2﹣4x+4﹣2x2+6x
＝﹣x2+2x+4；
（2）÷（﹣x﹣1）
＝÷
＝
＝
＝．
20．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的点，BE＝DF．
（1）请用直尺和圆规作出∠BFC的角平分线FH，并标出FH与BC的交点H；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，若∠AEB＝110°，求∠CFH的度数．

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）得到FH；
（2）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，再利用平行线的性质得到∠ABE＝∠CDF，则利用“SAS”可判断△ABE≌△CDF，从而得到∠AEB＝∠CFD＝110°，接着根据邻补角的定义得到∠BFC＝70°，然后根据角平分线的定义求解．
【解答】解：（1）如图，FH为所作；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD＝110°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CFD＝70°，
∵FH平分∠BFC，
∴∠CFH＝∠BFC＝35°．
21．（10分）近年来，有关教育部门大力提倡提高中小学生阅读能力，鼓励学生们在课余时间增加课外阅读的时间，某地教育局发布了“普通中小学阅读状况评价指标”．为了解某校学生一周阅读时长的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的一周阅读的总时长统计表：
3
2
2
3
3
4
4
5
3
5
5
3
6
3
5
1
5
6
3
7
八年级20名学生的一周阅读的总时长条形统计图：

七、八年级抽取的学生的一周阅读时长的平均数、众数、中位数如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
3.90
a
b
八年级
3.65
3
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计员将八年级20人中阅读时长为2小时的数据统计落了，请你帮他将条形统计图补全；
（2）直接写出上述表中的a＝　3　，b＝　3.5　，c＝　3.5　；
（3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的一周阅读情况状况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）若一周阅读时间在5小时及以上为优秀，该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，估计该校七年级和八年级一周阅读时间优秀的学生总人数是多少？
【分析】（1）求出八年级20人中阅读时间为2小时的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据众数、中位数的意义即可求出答案；
（3）由于七年级与八年级阅读时间的中位数众数均相同，因此可以从平均数的比较得出答案；
（4）分别求出七年级1000人中优秀的人数，再求出八年级1200人中的优秀人数，即可得出答案．
【解答】解：（1）20﹣2﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1＝3，补全的条形统计图如图所示：

（2）七年级20名学生的阅读时间出现次数最多的是3小时，共出现7次，因此七年级小时阅读时间的众数是3小时，即a＝3，
七年级20名学生的阅读时间从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝3.5，因此中位数是3.5，即b＝3.5，
八年级20名学生的阅读时间从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝3.5，因此中位数是3.5，即c＝3.5，
故答案为：3，3.5，3.5；
（3）七年级的阅读情况较好，七理由：年级学生的阅读时间的平均数大于八年级学生阅读时间的平均数；
（4）1000×+1200×＝760（人），
答：该校七年级和八年级一周阅读时间优秀的学生总人数是760人．
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质
的过程，已知函数y＝|﹣3|，结合已有的学习经验，完成下列各小题．
（1）请在下列表格空白处填入恰当的数据；
x
…
﹣5
﹣1
0
0.5
1.5
　2　
　3　
4
7
…
y
…
2
0
3
9
　9　
3
　0　
1
2
…
（2）根据上表中的数据，在所给的平面直角坐标系中补全函数y＝|﹣3|的图象；
（3）根据你所画的该函数图象，写出该函数所具有的一条性质：　函数图象关于直线x＝1对称　；
（4）结合你所画的函数图象，直接写出方程|﹣3|＝x+4的近似解为：　﹣5.7或0.2或1.7　（结果保留一位小数，误差不超过0.2）．

【分析】（1）将x＝1.5，y＝3，y＝0分别代入即可求得，
（2）描点、连线，画出函数的图象；
（3）观察图象即可求得；
（4）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）补充完整下表为：
x
…
﹣5
﹣1
0
0.5
1.5
2
3
4
7
…
y
…
2
0
3
9
9
3
0
1
2
…
（2）画出函数的图象如图：

（3）观察函数图象：函数图象关于直线x＝1对称，
故答案为：函数图象关于直线x＝1对称．
（4）由图象可知：方程|﹣3|＝x+4的近似解为x＝﹣5.7或x＝0.2或x＝1.7，
故答案为﹣5.7或0.2或1.7．
23．（10分）定义：对任意一个各位数字均不为0的自然数，将其数字排列顺序倒过来，这样得到的数称为原数的逆序数．例如：123的逆序数是321，4156的逆序数是6514，根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个四位数，其数位上的数字顺次为连续的四个自然数，求该四位数与其逆序数之差的绝对值；
（2）一个各位数字均不为0的三位自然数，满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字的和，且这个三位数字与其逆序数的和被8除余1，求满足条件的所有三位数．
【分析】（1）这道题要用字母表示数，先表示出这个四位数和它的逆序数，然后再求它们差的绝对值；
（2）先表示出这个三位数和它的逆序数，再求和，根据和能被8除余1，判断和的尾数，再根据2b为偶数，求出a的值，根据a的取值，计算b的值，从而写出答案．
【解答】解：（1）设这个四位数为[n×103+（n﹣1）×102+10（n﹣2）+（n﹣3）]，
其逆序数为[（n﹣3）×103+（n﹣2）×102+（n﹣1）×10+n]，
∴差值的绝对值为：|[n×103+（n﹣1）×102+10（n﹣2）+（n﹣3）]﹣[（n﹣3）×103+（n﹣2）×102+（n﹣1）×10+n]|
＝|1000n+100（n﹣1）+10（n﹣2）+n﹣3﹣[1000（n﹣3）+100（n﹣2）+10（n﹣1）+n]|
＝|1111n﹣123﹣1111n+3000+200+10|
＝3087．

（2）设这个数为100（a+b）+10a+b，
其逆序数为100b+10a+（a+b），
其中a+b≤9，且a，b为自然数，
其和为100（a+b）+10a+b+100b+10a+（a+b）
＝121a+202b
＝120a+200b+a+2b，
∵能被8除余1，
∴a+2b﹣1是8的倍数．
∵1≤a≤9，1≤b≤9，a+b≤9，
∴1≤a+2b﹣1≤17，
∴a+2b﹣1＝8或16．
又a+b≤9，
∴，，，，．
∴满足条件的所有三位数为514，633，752，871，918．
24．（10分）5G时代来临，互联网交互式行业成为新的商机，其中直播带货尤其被寄予厚望，直播带货正成为商家新的销售手段．重庆某火锅店通过直播助力推广该店特色火锅底料和便携式自热火锅．直播当天火锅底料和自热火锅共销售9万份，其中火锅底料的销量不少于自热火锅的3.5倍．
（1）求当天的直播活动中火锅底料至少销售了多少万份？
（2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动．直播前原价50元一份的火锅底料，降价a%售卖，原价30元一份的便携式火锅，降价a%售卖．已知直播前火锅底料和自热火锅的日销量比直播当天分别少a%，a%，且直播当天火锅底料的销量正好是（1）中的最小值，直播当天该店火锅底料和自热火锅的总日销售额比直播前的总日销售额多2a%，求a的值．
【分析】（1）设当天的直播活动中火锅底料销售了x万份，则自热火锅销售了（9﹣x）万份，根据火锅底料的销量不少于自热火锅的3.5倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据直播当天该店火锅底料和自热火锅的总日销售额比直播前的总日销售额多2a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设当天的直播活动中火锅底料销售了x万份，则自热火锅销售了（9﹣x）万份，
依题意得：x≥3.5（9﹣x），
解得：x≥7．
答：当天的直播活动中火锅底料至少销售了7万份．
（2）依题意得：50（1﹣a%）×7+30（1﹣a%）×（9﹣7）﹣50×7（1﹣a%）﹣30×（9﹣2）（1﹣a%）＝[50×7（1﹣a%）+30×（9﹣2）（1﹣a%）]×2a%，
整理得：0.116a2﹣5.8a＝0，
解得：a1＝50，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为50．
25．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，且BO＝3AO＝3．
（1）求b，c的值；
（2）抛物线与y轴交于点C，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，点P为直线y＝3x﹣3上一点，点Q为抛物线上一点，当△CPQ是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用三角形面积的转化，铅垂高水平宽法求解出三角形的表达式即可，利用配方法即可求解；
（3）分∠PCQ＝90°，∠CQP＝90°，∠CPQ＝90°，三种情况，通过构建全等三角形，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵BOBO＝3AO＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3；

（2）由（1）可知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则C（0，﹣3），
过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点F，连接AC、CD，

∵S△BCD＝S△BDE+S△DEC，S△ABC＝S△ABE+S△ABE，
而，即，
∴，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点D的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则点F的坐标为（x，x﹣3），
∴DF＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△BCD＝×3（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，S△ABC＝3×4＝6，
∴＝﹣（x﹣）2+≤，
∴的最大值为；

（3）①当△CPQ是以点C为直角顶点的等腰直角三角形时，过点P作PM⊥y轴，过点Q作QN⊥y轴，分别交于点M，N．

∵△CPQ为等腰直角三角形且点C为直角顶点，
∴CP＝QC，∠PCQ＝90°，
∴∠PCM+∠QCN＝180°﹣∠PCQ＝90°，
∵PM⊥y轴，QN⊥y轴，
∴∠PMC＝∠CNQ＝90°，
∴∠PCM+∠CPM＝180°∠PMC＝90°，
∴∠CPM＝∠QCN，
∴△PCM≌△CQN（AAS），
∴PM＝CN，MC＝NQ，
设点P的坐标为（m，3m﹣3），点Q的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
∴PM＝m，CN＝﹣3﹣n2+2n+3＝﹣n2+2n，QN＝n，CM＝3m，
∴m＝﹣n2+2n，3m＝n，
解得m＝，n＝，
代入可得点P的坐标为（，﹣）；
②当△CPQ是以点C为直角顶点的等腰直角三角形时，
同理可得：△PCM≌△CQN（AAS），
∴PM＝CN，MC＝NQ，
设点P的坐标为（m，3m﹣3），点Q的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
∴QN＝﹣n2+2n+3﹣3＝﹣n2+2nQN，PM＝﹣3m，CN＝n，CM＝﹣m，
∴﹣m＝﹣n2+2n，﹣3m＝n，
解得m＝﹣，n＝，
代入可得点P的坐标为（﹣，﹣）；
③当△CPQ是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形时，过点Q作QN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥QN交于点M．

同理可得：△PCM≌△CQN（AAS），
∴PM＝QN，MQ＝CN，
设点P的坐标为（m，3m﹣3），点Q的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
∴PM＝3m﹣3﹣n2+2n+3＝﹣n2+2n+3m，CN＝n2﹣2n，MQ＝n﹣m，QN＝n，
∴n＝﹣n2+2n+3m，n2﹣2n＝n﹣m，
解得m＝，n＝，
代入可得点P的坐标为（，）
④当△CPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，
同理可得，点P的坐标为（，﹣）
综上所述符合条件的P点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，）或（，﹣）．
26．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AC＝AB，点E为BA延长线上一点，点F在对角线BD上，连接EF，满足BF＝EF，连接CE，取CE的中点G，连FG，AG；
（1）如图1，若AE＝2，∠BEC＝45°，求AB的长；
（2）如图2，请写出AG与FG的数量关系，并且证明；
（3）如图3，若菱形ABCD的边长AB＝6，点E沿AB方向运动到线段AB上，点F也随之沿DB方向运动，且始终保持EF＝BF．当AG＝时停止运动，此时，将△BEF绕点B旋转得△BE'F'，连接CE'，取CE'的中点G'，直接写出AG'+CG'的最小值．

【分析】（1）利用45°和60°角，过C作AB边上的高CQ，利用EQ＝CQ建立方程解决；
（2）过A作AH⊥BC交BD于点H，得△AHK为30°直角三角形，通过证明△AGF∽△AKH，可证明△AFG∽△AHK，进而得出∠FAG＝30°，所以AG＝FG；
（3）由AG＝求出BE＝2，过F作FM⊥AB，利用勾股求出FM＝2，则BE＝4，取BC中点O，连接G′O，由中位线可得G′O为定值＝2，确定点G′轨迹为圆，在OC上取OP＝，通过证明△POG′∽△G′OC，可得G′P＝G′C，由AG′+CG′＝（AG′+CG′），当E、G′、P 三点共线时AG′+G′P最小，由勾股定理，可求得EP＝，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
取AB中点M，连接CM，
则MC⊥ME，
∵AE＝2，∠BEC＝45°，∠CME＝90°，
∴∠ECM＝90°﹣∠BEC＝45°＝∠BEC，
∴AM+2＝ME＝MC＝AM，
∴AM＝+1，
∴AB＝2AM＝2+2；
（2）AG＝FG．
取BE中点H，则FH⊥BE，连接AF，
由（1）得：△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
在Rt△BFH中，∠BHF＝90°，∠FBH＝30°，∠BFH＝60°，
∴BF＝2HF，＝tan∠BFH＝tan60°＝，
∵BF＝2HF，BA＝BC＝2HG，
∴，
∵∠GHF＝∠GHB﹣∠FHB＝30°＝∠ABF，
∴△ABF∽△GHF，
∴∠AFG＝∠HFG﹣∠AFH＝∠AFB﹣∠AFH＝∠BFH，
∴＝2，
∴△BFH∽△AFG，
∴，
即；AG＝FG；
（3）如图3，过点F作FM⊥AB，
由（2）知：＝，＝2，
∵AG＝，
∴FG＝＝＝，
AF＝2FG＝2，
设MF＝y，则BM＝y，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣y，
由AM2+MF2＝AF2，得：（6﹣y）2+y2＝（2）2，
解得：y1＝2，y2＝7（舍去），
∴BM＝y＝2，
∴BE＝2BM＝4，
取BC中点O，连接G′O，
∵G′、O分别为E′C、BC中点，
∴G′O＝BE＝2，
∴点G′运动轨迹为以O为圆心，2为半径的圆，
在OC上截取OP＝，连接PG′，
∵OP＝，OG′＝2，OC＝BC＝3，
∴＝，
∴G′P＝G′C，
∴AG′+CG′＝（AG′+CG′）＝（AG′+G′P），
当E、G′、P三点共线时，AG′+G′P最小，过点E作EN⊥BC于N，
则BN＝BE＝2，
∴NP＝，EN＝6，
由勾股定理，得EP＝，
∴AG′+CG′的最小值＝×＝．



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日期：2021/8/11 12:05:25；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298