2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷

这是一份2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷，共27页。
2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣2）0的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．0
2．（3分）一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a2）3＝a6
4．（3分）如图，AB∥CD，∠EFD＝115°，∠AEC＝70°，则∠CEF的大小为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
5．（3分）若正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则下列各点在该函数图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，1）
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则tan∠CAD的值是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（　　）

A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8
9．（3分）如图，⊙O的半径OA＝7.5，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为（　　）

A．7.5 B．9 C．10 D．12
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（　　）
A．13 B．18 C．24 D．36
二．填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：a3﹣4a＝　 　．
12．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则DF的长是　 　．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为 　 　．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，则对角线BD的最大值为 　 　．

三．解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+．
16．（5分）解方程：+1＝．
17．（5分）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，E为AD上一点，请你用尺规在BC边上求作一点P，使得线段EP最小．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，已知AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：AD＝BC．

19．（7分）某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测的角度为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF＝5米，并在F处通过测倾器测的角度为30°，测倾器的高度CD＝EF＝1米．已知点F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）

20．（7分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m＝　 　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程x2﹣2|x|＝0有　 　个实数根；
②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是　 　．

21．（7分）某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，求销售总额的最大值．
22．（7分）某中学开展迎十四运主题宣传活动，给同学们分发十四运吉祥物卡片：A卡片“金金”；B卡片“羚羚”；C卡片“熊熊”；D卡片“朱朱”，要求每名学生必须选择且只能选择其中一张卡片，学校随机抽查了部分学生，对他们的卡片选择情况进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）此次共抽查了　 　名学生；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）现有甲，乙两名同学选卡片，求他们选择同一张卡片的概率．
23．（8分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点 C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若OB＝3，PA＝2，求线段PB的长．

24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．

25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？


2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学六模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣2）0的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．0
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（﹣2）0＝1．
故选：B．
2．（3分）一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】根据一个锐角的不尽比它的余角大90°求解即可．
【解答】解：60°+90°＝150°，
即这个角的补角等于150°．
故选：D．
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a2）3＝a6
【分析】根据完全平方公式与幂的运算公式进行计算即可．
【解答】解：A．a6÷a3＝a4，故选项错误；
B．a2+a3≠a5，故选项错误；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项错误；
D．（a2）3＝a6，故选项正确；
故选：D．
4．（3分）如图，AB∥CD，∠EFD＝115°，∠AEC＝70°，则∠CEF的大小为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】由平行线的性质及平角的定义求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠FEB＝180°，
∵∠EFD＝115°，
∴∠FEB＝180°﹣115°＝65°，
∵∠AEC+∠CEF+∠FEB＝180°，∠AEC＝70°，
∴∠CEF＝180°﹣70°﹣65°＝45°．
故选：C．
5．（3分）若正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则下列各点在该函数图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，1）
【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出正比例函数解析式，再分别代入x＝﹣1，x＝1及x＝3，求出与之对应的y值，对照四个选项后即可得出结论．
【解答】解：依题意得：6＝2k，
解得：k＝3，
∴正比例函数解析式为y＝3x．
当x＝﹣1时，y＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣3）在该函数图象上，点（﹣1，3）不在该函数图象上；
当x＝1时，y＝3×1＝3，
∴点（1，﹣3）不在该函数图象上；
当x＝3时，y＝3×3＝9，
∴点（3，1）不在该函数图象上．
故选：A．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则tan∠CAD的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求CD，再在在Rt△ACD中，由正切的定义求
tan∠CAD的值即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即CD的长为3，
∴在Rt△ACD中，
tan∠CAD＝＝＝．
故选：B．
7．（3分）已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据k的符号来确定一次函数y＝kx+b的图象所经过的象限，然后根据a、b的情况即可求得交点的位置．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+5中a＞0，
∴一次函数y＝ax+5的图象经过第一、二、三象限．
又∵一次函数y＝bx+3中b＜0，
∴一次函数y＝bx+3的图象经过第一、二、四象限．
∵3＜5，
∴这两个一次函数的图象的交点在第二象限，
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（　　）

A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8
【分析】根据勾股定理求出AE＝2.5，证明△ABE∽△DFA，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠BAD＝∠B＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝1.5，
∴AE＝＝2.5，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠FDA＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴DF＝2.4．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O的半径OA＝7.5，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为（　　）

A．7.5 B．9 C．10 D．12
【分析】连接OD，由题意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC＝OB＝4.5，再由垂径定理得CD＝CE＝DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝3：2，
∴OD＝OB＝OA＝7.5，OC＝OB＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CE＝DE，
∴CD＝＝＝6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：D．

10．（3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（　　）
A．13 B．18 C．24 D．36
【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，
∴﹣y＝x2+（2m+2n）x+6n﹣9，
∴x2+（2m+2n）x+6n﹣9＝x2+（5m﹣n）x+m2，
∴，
解得m＝3，n＝3，
∴m2+n2＝18．
故选：B．
二．填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）分解因式：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
12．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则DF的长是　10　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，＝，
∴＝＝，即＝，
解得，EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故答案为：10．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为 　30　．

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
故答案为30．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，则对角线BD的最大值为 　6+6　．

【分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，延长BO交⊙于E，连接AE，DE．证明△AED∽△AOC，推出＝＝，推出DE＝OC，求出DE，BE，可得结论．
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，延长BO交⊙于E，连接AE，DE．

∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵BE是直径，
∴OE＝OA，∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝45°，AE＝AO，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，AD＝AC，
∴∠EAO＝∠DAC＝45°，
∴∠EAD＝∠OAC，
∵＝＝，
∴△AED∽△AOC，
∴＝＝，
∴DE＝OC，
∵AB＝6，∠AOB＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝3，
∴DE＝6，EC＝6，
∵BD≤DE+EB，
∴BD≤6+6，
∴BD的最小值为6+6，
故答案为：6+6．
三．解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+2
＝﹣2++2
＝3﹣．
16．（5分）解方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣1+x﹣3＝﹣2，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，
则x＝1是分式方程的解．
17．（5分）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，E为AD上一点，请你用尺规在BC边上求作一点P，使得线段EP最小．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】过点E作EP⊥BC于点P即可．
【解答】解：如图，线段EP即为所求作．

18．（5分）如图，已知AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：AD＝BC．

【分析】由平行线的性质得到∠CAB＝∠E，由邻补角的定义得到∠D＝∠ACB，然后可根据AAS判定出△ABC≌△EAD，即可得解．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，
∴∠D＝∠ACB，
在△ABC与△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴AD＝BC．
19．（7分）某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测的角度为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF＝5米，并在F处通过测倾器测的角度为30°，测倾器的高度CD＝EF＝1米．已知点F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AN的长，进而得出答案．
【解答】解：连接EC并延长交AB于点N，
由题意可得：EN⊥AB，四边形EFDC是矩形，
故FD＝EC＝5米，EF＝DC＝BN＝1米，
则设AN＝x米，故CN＝x米，
可得：tan30°＝，
解得：x＝，
则AB＝+1＝（米），
答：这棵古树的高度AB为米．

20．（7分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m＝　0　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程x2﹣2|x|＝0有　3　个实数根；
②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．

【分析】解：（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）描点画出函数图象即可；
（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2﹣2|x|＝0有3个根，即可求解；
②x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，即y＝x2﹣2|x|和y＝a有4个交点，从图象看，此时﹣1＜a≤0．
【解答】解：（1）根据函数的对称性，m＝0，
故答案为：0；

（2）描点画出如下函数图象：


（3）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2﹣2|x|＝0有3个根，
故答案为：3；
②x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，即y＝x2﹣2|x|和y＝a有4个交点，
从图象看，此时﹣1＜a＜0，
故答案为：﹣1＜a＜0．
21．（7分）某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，求销售总额的最大值．
【分析】（1）x名工人采摘枇杷，那么30名工人中剩下的人采摘草莓，根据每人采摘枇杷和草莓的数量及其枇杷和草莓分别的售价即可列出销售总额y与x的函数关系，
（2）根据当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量列出关于x的一元一次不等式，解出x的最小值代入y与x之间的函数关系式即可．
【解答】解：（1）x名工人采摘枇杷，那么（30﹣x）名工人采摘草莓，
采摘的枇杷的数量为0.4x吨，采摘的草莓的数量为0.3（30﹣x）吨，
根据题意，得：y＝2000×0.4x+3000×0.3（30﹣x），
整理后，得：y＝27000﹣100x，
y与x之间的函数关系式为y＝27000﹣100x，
（2）根据题意得：0.4x≥0.3（30﹣x），
解得：x≥，
∵x为正整数，
∴x的最小值为13，
∵x越小，y越大，
∴把x＝13代入y＝27000﹣100x，
解得：y＝25700，
即：销售综合的最大值为25700元，
答：若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，销售综合的最大值为25700元．
22．（7分）某中学开展迎十四运主题宣传活动，给同学们分发十四运吉祥物卡片：A卡片“金金”；B卡片“羚羚”；C卡片“熊熊”；D卡片“朱朱”，要求每名学生必须选择且只能选择其中一张卡片，学校随机抽查了部分学生，对他们的卡片选择情况进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）此次共抽查了　210　名学生；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）现有甲，乙两名同学选卡片，求他们选择同一张卡片的概率．
【分析】（1）由D课程人数及其所占百分比求解即可；
（2）总人数减去A、B、D人数即可求出C课程人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为42÷20%＝210（名），
故答案为：210；

（2）C课程人数为210﹣（58+50+42）＝60（人），
补全图形如下：

（3）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中他们选择同一张卡片的有4种结果，
∴他们选择同一张卡片的概率为＝．
23．（8分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，直线AB与⊙O相切于点B，连接BP并延长，交直线l于点 C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若OB＝3，PA＝2，求线段PB的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到OB⊥AB，根据同角的余角相等、等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，证明结论；
（2）过点B作BD⊥OP于D，根据勾股定理求出AB、PC，证明△BDP∽△CAP，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵直线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠OBC+∠ABC＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
∵OB＝OP，
∴∠APC＝∠OPB＝∠OBP，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点B作BD⊥OP于D，
在Rt△OBA中，AB＝＝＝4，
∴AC＝AB＝4，
∴PC＝＝＝2，
∵S△ABC＝×OB×AB＝×OA×BD，
∴×3×4＝×5×BD，
解得，BD＝，
∵∠BDP＝∠CAP＝90°，∠BPD＝∠CPA，
∴△BDP∽△CAP，
∴＝，即＝，
解得，PB＝．

24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．

【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法可求；
（2）利用分类讨论的思想，分以CE为边和以CE为对角线两种情形讨论．利用菱形的四条边相等和对角线垂直平分的性质可求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴，解得．
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）如下图，

∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为（2，1）．
∵C（0，3），
∴EC＝2．
①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2，
根据菱形的四条边相等，
EM1＝EM2＝EC＝2，
∵点M在对称轴x＝2上，
∴点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）．
②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3，
∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F，
∴△CN3F是等腰直角三角形．
∴EM3＝CN3＝CF＝2，
则点M3的坐标为（2，3）．
综上，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是　DE＝BC　，位置关系是　DE∥BC　；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？

【分析】（1 ）根据中位线定理即可得出答案；
（2）取AC的中点F，连接EF、BF，由图在△BEF中，BF+EF＞BE，可得当B、E、F三点共线的时候BE最大，此时BE＝BF+EF，根据中位线可得出EF的长度，在Rt△ABF中根据勾股定理可得BF的长度，即可得出BE的最大值；
（3）过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP、OP，可证得ADCM为正方形，再证明△CMB≌△CDN，易证△BCN为等腰直角三角形，从而得出BN的长度，根据中位线定理可得出OP的长度；利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DP＝CN＝10，再根据OP+PD＞OD可得，当O、P、D三点共线时OD最大，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题可知，D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE＝﹣BC；
故答案为：DE＝BC，DE∥BC；
（2）如图，取AC的中点F，连接EF、BF，

∵E、F分别是AD和AC的中点，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF∥DC且EF＝CD＝×4＝2，
在Rt△ABF中，AB＝4，AF＝AC＝2：BF＝＝2；
在△BEF中，BF+EF＞BE，
∴当B、E、F三点共线的时候BE最大，
即此时BE＝BF+EF＝2+2，
答：BE的最大值为2+2；
（3）过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP．OP，

∵CM⊥AB，AB∥CD，
∴∠CMA＝∠MCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCM为矩形，
∵AD＝CD．
∴矩形ADCM为正方形，
∴CD＝CM，
在△CMB与△CDN中，
，
∴△CMB≌△CDN（SAS），
∴CN＝CB，∠BCM＝∠NCD，
∴∠BCN＝∠MCD＝90°，
在Rt△BCN中，BC＝CN＝20，
∴BN＝＝20，
在Rt△CDN中，点P为CN中点，
∴DP＝CN＝10，
在Rt△BCN中，点P、O分别为CN、CB中点，
∴OP为△BCN的中位线，
∴OP∥BN且OP＝BN＝10，
在△OPD中，OP+PD＞OD，
∴当O、P．D三点共线的时OD最大，
即此时OD＝OP+PD＝10+10，
答：绿色长廊OD最长为（10+10）米．
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日期：2021/8/11 12:03:42；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298