2020-2021学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．经过一点有无数条直线
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x﹣2＝﹣B．（x3）2＝x5C．（xy）3＝x3y3D．x6÷x2＝x3
4．（3分）下列各组数作为三条线段的长，能作为三角形的三条边的一组是（ ）
A．2，6，3B．5，6，13C．2，2，4D．4，4，7
5．（3分）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
6．（3分）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）同一平面内有四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+2n＝（ ）
A．1B．6C．8D．4
8．（3分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经“排水﹣清洗﹣注水”的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
A．每分钟放水20m3
B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量
C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300m3
D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟
9．（3分）如图，已知点M，N分别在AC，AB上，∠MBN＝∠MCN，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABM≌△ACN的是（ ）
A．AM＝ANB．AB＝ACC．BM＝CND．∠AMB＝∠ANC
10．（3分）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87°B．84°C．75°D．72°
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知∠A＝100°，∠A和∠B互补，那么∠B＝ ．
12．（4分）已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝ ．
13．（4分）正方形有 条对称轴．
14．（4分）在不透明的箱子中装有10个形状质地大小相同的小球，其中编号依次为1，2，3，…，10，现从箱子中随机摸取一个小球，则摸得的是小球编号为质数的概率是 ．
15．（4分）若|x﹣1|+y2﹣4y+4＝0，那么xy＝ ．
16．（4分）如图，把四边形ABCD纸条沿MN对折，若AD∥BC，∠α＝52°，则∠AMN＝ ．
17．（4分）如图所示，在△ABC中，OB、OC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，OD为△OBC的BC边上的高线，OD＝5，设△ABC的面积为y，△ABC的周长为x（x＞0），那么△ABC的面积y与△ABC的周长x的关系式为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：
（1）﹣12021+（）﹣2+（π﹣3.14）0；
（2）（6a3b2﹣4a2b）÷2ab．
19．（6分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣y）2﹣3y2+1，其中x＝﹣1，y＝．
20．（6分）阅读并完成下列的推理过程．
如图，在四边形ABCD中，E、F分别在线段AB、AD上，连结ED、EF，已知∠AFE＝∠CDF，∠BCD+∠DEF＝180°．证明BC∥DE；
证明：∵∠AFE＝∠CDF（已知），
∴EF∥CD （ ）．
∴∠DEF＝∠CDE（ ）．
∵∠BCD+∠DEF＝180°（ ），
∴ （ ）．
∴BC∥DE（ ）．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝30°．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，求∠ABD．
22．（8分）如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘等分成16份）．
（1）小明购物180元，他获得奖金的概率是多少？
（2）小德购物210元，那么获得奖金的概率是多少？
（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？
23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC外的一点，连结CD、BD、AD，线段BC与AD相交于点F，E为AF上一点，连结CE，已知∠CAD＝∠CBD，∠ACB＝∠ECD．
（1）证明：CE＝CD；
（2）若∠CAB＝72°，求∠ADB的大小．
五、解答题（三）（本大题共2小题，小题10分，共20分）
24．（10分）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？
25．（10分）如图，在△ABC中，点M、N分别为线段BC、AC上的动点，当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC．
（1）证明：AB＝AC；
（2）设线段AB的中点为D，当AB＝14cm，BC＝13cm时，若动点M从B点出发，以2cm/s的速度沿线段BC由B点向C点运动，动点N从C点出发匀速沿线段CA由C点向A点运动，动点M出发1秒后动点N才出发，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？
（3）若AB⊥AC，当BN平分∠ABC时，延长BN至点E使得AE＝AB，∠CAE的角平分线交BE于F，证明：BN＝2EF．
2020-2021学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，故B正确；
C、不是轴对称图形，故C错误；
D、不是轴对称图形，故D错误．
故选：B．
2．（3分）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．经过一点有无数条直线
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x﹣2＝﹣B．（x3）2＝x5C．（xy）3＝x3y3D．x6÷x2＝x3
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，负整数指数幂的运算法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、（x3）2＝x6，故此选项不符合题意；
C、（xy）3＝x3y3，故此选项符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列各组数作为三条线段的长，能作为三角形的三条边的一组是（ ）
A．2，6，3B．5，6，13C．2，2，4D．4，4，7
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：∵2+3＜6，5+6＜13，2+2＝4，4+4＞7，
∴根据三角形的三边关系，只有D选项满足题意．
故选：D．
5．（3分）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2＝∠5，4+∠5＝180°，
∴4+∠2＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上，是随机事件；
②13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；
③某人买彩票中奖，是随机事件；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件．
故选：C．
7．（3分）同一平面内有四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+2n＝（ ）
A．1B．6C．8D．4
【分析】可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求m+n．
【解答】解：同一平面内有四条直线，它们最多有6个交点，最少有0个交点，m+n＝6，
故选：B．
8．（3分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经“排水﹣清洗﹣注水”的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
A．每分钟放水20m3
B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量
C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300m3
D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟
【分析】根据该游泳池共蓄水2500m3与每分钟后游泳池中的剩余水量可得，每分钟放水20m3，继而判断正误．
【解答】解：A．由表格可得每分钟放水20m3，正确．
B．游泳池中的水量随放水时间变化而变化，故放水时间是自变量，游泳池中的水量是因变量，正确．
C．放水十分钟后，剩余水量2500﹣20×10＝2300（m3），正确．
D．全部放完需要2500÷20＝125（分钟），错误．
故选：D．
9．（3分）如图，已知点M，N分别在AC，AB上，∠MBN＝∠MCN，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABM≌△ACN的是（ ）
A．AM＝ANB．AB＝ACC．BM＝CND．∠AMB＝∠ANC
【分析】由已知∠MBN＝∠MCN，再加上条件∠BAM＝∠CAN，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．
【解答】解：如果AM＝AN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（AAS）．
如果AB＝AC，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（ASA）．
如果BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（ASA）．
只有D选项不满足题意，
故选：D．
10．（3分）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87°B．84°C．75°D．72°
【分析】已知∠A＝18°，欲求∠C，需求∠ABC．如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM，得∠1＝∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°，则需求∠3．根据三角形内角和定理，得∠3+∠C＝112°，∠ABC+∠C+18°＝180°，即3∠3+∠C＝162°，故求得∠3＝25°．
【解答】解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知∠A＝100°，∠A和∠B互补，那么∠B＝ 80° ．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠A与∠B互补，∠A＝100°，
∴∠B＝180°﹣100°＝80°，
故答案为：80°．
12．（4分）已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝ 3 ．
【分析】由题意得m﹣n＝8，再结合所给的条件m2﹣n2＝24，利用平方差公式进行分解，从而有m+n的形式，则可求解．
【解答】解：∵m比n大8，
∴m﹣n＝8，
∵m2﹣n2＝24，
∴（m+n）（m﹣n）＝24，
8（m+n）＝24，
m+n＝3．
故答案为：3．
13．（4分）正方形有 4 条对称轴．
【分析】根据正方形是轴对称图形的性质分析．
【解答】解：根据正方形的性质得到，如图：
正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有4条．
故答案为：4．
14．（4分）在不透明的箱子中装有10个形状质地大小相同的小球，其中编号依次为1，2，3，…，10，现从箱子中随机摸取一个小球，则摸得的是小球编号为质数的概率是 ．
【分析】用质数的个数除以小球的总数即可求得答案．
【解答】解：小球编号是质数的有2，3，5，7，
所以摸得的小球的编号是质数的概率是＝，
故答案为：．
15．（4分）若|x﹣1|+y2﹣4y+4＝0，那么xy＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：因为|x﹣1|+y2﹣4y+4＝0，
所以|x﹣1|+（y﹣2）2＝0，
所以x﹣1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝1，y＝2，
所以，xy＝1×2＝2．
故答案为：2．
16．（4分）如图，把四边形ABCD纸条沿MN对折，若AD∥BC，∠α＝52°，则∠AMN＝ 116° ．
【分析】根据折叠的性质可得，∠BNM＝∠MNP，再根据平行线性质可得∠AMN+∠BNM＝180°，由此问题的答案．
【解答】解：由折叠的性质可得，∠BNM＝∠MNP，
∵∠α＝52°，
∴∠BNM＝∠MNP＝＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠AMN+∠BNM＝180°，
∴∠AMN＝116°．
故答案为：116°．
17．（4分）如图所示，在△ABC中，OB、OC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，OD为△OBC的BC边上的高线，OD＝5，设△ABC的面积为y，△ABC的周长为x（x＞0），那么△ABC的面积y与△ABC的周长x的关系式为 y＝x ．
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝5，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝5，
∴OE＝OF＝OD＝5，
∵△ABC的周长为x
∴AB+AC+BC＝x，
∴△ABC的面积为y＝×AB×5+×AC×5+×BC×5
＝×（AB+AC+BC）×5
＝x，
故答案为：y＝x．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：
（1）﹣12021+（）﹣2+（π﹣3.14）0；
（2）（6a3b2﹣4a2b）÷2ab．
【分析】（1）先分别化简有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后再计算；
（2）用多项式除以单项式的法则进行计算求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+9+1
＝9；
（2）原式＝6a3b2÷（2ab）﹣4a2b÷（2ab）
＝3a2b﹣2a．
19．（6分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣y）2﹣3y2+1，其中x＝﹣1，y＝．
【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣2xy+y2）﹣3y2+1
＝x2+4xy+4y2﹣x2+2xy﹣y2﹣3y2+1
＝6xy+1，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣2+1＝﹣1．
20．（6分）阅读并完成下列的推理过程．
如图，在四边形ABCD中，E、F分别在线段AB、AD上，连结ED、EF，已知∠AFE＝∠CDF，∠BCD+∠DEF＝180°．证明BC∥DE；
证明：∵∠AFE＝∠CDF（已知），
∴EF∥CD （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠DEF＝∠CDE（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠BCD+∠DEF＝180°（ 已知 ），
∴ ∠BCD+∠DEF＝180° （ 等量代换 ）．
∴BC∥DE（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得EF∥CD，根据平行线的性质得∠DEF＝∠CDE，由∠BCD+∠DEF＝180°可得∠BCD+∠CDE＝180°．根据同旁内角互补，两直线平行可得结论．
【解答】证明：∵∠AFE＝∠CDF（已知），
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠BCD+∠DEF＝180°（已知），
∴∠BCD+∠DEF＝180°（等量代换）．
∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠BCD+∠DEF＝180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝30°．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，求∠ABD．
【分析】（1）根据基本作图方法即可作出BC边的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质即可求∠ABD．
【解答】解：（1）如图，BC边的垂直平分线DE即为所求；
（2）∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣30°＝40°．
22．（8分）如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘等分成16份）．
（1）小明购物180元，他获得奖金的概率是多少？
（2）小德购物210元，那么获得奖金的概率是多少？
（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？
【分析】（1）用消费的钱数和200元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为0；
（2）用概率公式求解即可；
（3）设需要将x个无色区域涂上绿色，根据获得10元奖金的概率为列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵180＜200，
∴小明购物180元，不能获得转动转盘的机会，
∴小明获得奖金的概率为0；
（2）小德购物210元，能获得一次转动转盘的机会，
获得奖金的概率是＝；
（3）设需要将x个无色区域涂上绿色，
则有，
解得：x＝1，
所以需要将1个无色区域涂上绿色．
23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC外的一点，连结CD、BD、AD，线段BC与AD相交于点F，E为AF上一点，连结CE，已知∠CAD＝∠CBD，∠ACB＝∠ECD．
（1）证明：CE＝CD；
（2）若∠CAB＝72°，求∠ADB的大小．
【分析】（1）利用ASA证明△CAE≌△CBD，得到CE＝CD；
（2）由△CAE≌△CBD得∠CAE＝∠CBD，结合由AC＝BC得到的∠CAB＝∠CBA，求出∠DAB+∠ABD的值，从而求出∠ADB的大小．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECD﹣∠ECB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵∠AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，
∴△CAE≌△CBD（ASA），
∴CE＝CD．
（2）解：∵∠AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝72°，
∵∠CAD＝∠CBD，∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝72°，
∴∠CBD+∠DAB＝72°，
∴∠CBA+∠CBD+∠DAB＝72°+72°＝144°，
∴∠ADB＝180°﹣144°＝36°．
五、解答题（三）（本大题共2小题，小题10分，共20分）
24．（10分）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？
【分析】（1）观察函数图象即可得出结论；
（2）观察函数图象二者做差即可得出结论；
（3）根据速度＝路程÷时间，即可求出甲同学在CD路段内的跑步速度．
【解答】解：（1）由图象知，甲同学离图书馆的最远距离是3千米，他在120分钟内共跑了6千米；
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为：（40﹣20）+（80﹣60）＝40（分钟）；
（3）CD路段长度为：3﹣1.5＝1.5（千米），
所用时间为：（小时），
故甲同学在CD路段内的跑步速度为：（千米/小时）．
25．（10分）如图，在△ABC中，点M、N分别为线段BC、AC上的动点，当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC．
（1）证明：AB＝AC；
（2）设线段AB的中点为D，当AB＝14cm，BC＝13cm时，若动点M从B点出发，以2cm/s的速度沿线段BC由B点向C点运动，动点N从C点出发匀速沿线段CA由C点向A点运动，动点M出发1秒后动点N才出发，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？
（3）若AB⊥AC，当BN平分∠ABC时，延长BN至点E使得AE＝AB，∠CAE的角平分线交BE于F，证明：BN＝2EF．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）设点N的运动速度为xcm/s，经过ts后△BMD与△CNM全等，由题意BM＝2（t+1）cm，CM＝[13﹣2（t+1）]cm，CN＝xtcm，分两种情形：①当BD＝CM，BM＝CN时，两三角形全等．②当BM＝CM，BD＝CN时，两三角形全等．分别构建方程求解即可．
（3）如图3中，连接CF，延长CF交BA的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CF＝EF，CF＝FH，BN＝CH，可得结论．
【解答】（1）证明：∵当M运动到线段BC的中点时有AM⊥BC，
∴AM垂直平分线段BC，
∴AB＝AC．
（2）解：设点N的运动速度为xcm/s，经过ts后△BMD与△CNM全等，
由题意BM＝2（t+1）cm，CM＝[13﹣2（t+1）]cm，CN＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情形：
①当BD＝CM，BM＝CN时，两三角形全等．则有13﹣2（t+1）＝7且2（t+1）＝xt，
解得x＝3．
②当BM＝CM，BD＝CN时，两三角形全等．则有2（t+1）＝13﹣2（t+1）且7＝xt，
解得x＝，
综上所述，满足条件的点N的速度为3cm/s或cm/s时，两三角形全等．
（3）证明：如图3中，连接CF，延长CF交BA的延长线于H．
∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE，
∵AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠EAF，
在△AFC和△AFE中，
，
∴△AFC≌△AFE（SAS），
∴∠ACF＝∠E，CF＝EF，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
∴∠ABN＝∠NCF，
∵∠ANB＝∠FNC，
∴∠BAN＝∠CFN，
∵AB⊥AC，
∴∠CFN＝∠BAN＝90°，
∵BN平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠HBF，
在△BFC和△BFH中，
，
∴△BFC≌△BFH（ASA），
∴CF＝FH，
在△ABN和△ACH中，
，
∴△ABN≌△ACH（ASA），
∴BN＝CH＝2CF＝2EF．
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日期：2021/8/11 12:03:35；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298放水时间（分钟）
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