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2020-2021学年安徽省黄山市八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年安徽省黄山市八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省黄山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卷的相应区域答题）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
3．（3分）如果a是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．70° C．100° D．110°
5．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
6．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）某校在甲、乙两名运动员中，选拔一名参加市运动会100米短跑比赛．分别随机抽取这两名运动员的5次成绩（单位：秒）分析，由甲运动员的成绩得＝12，S2甲＝0.8，乙运动员的5次成绩为：13，12.5，11，11.5，12．则最适合参加本次比赛的运动员是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都一样 D．无法选择
8．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分。请在答题卷的相应区域答题）
11．（3分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 ．
12．（3分）化简：＝ ．
13．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 ．
14．（3分）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如表：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售量/件
10
12
20
12
12
如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注销售数据的统计量是 ．（填写“平均数”或“中位数”或“众数”）
15．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为 ．
16．（3分）正方形ABCD中，点P为对角线BD上的一个动点，连接AP，并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE为等腰三角形，则∠PEC＝ ．
17．（3分）如图，已知直线y＝kx+b（k，b为常数且k＜0），经过点A（2，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
18．（3分）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为 ．
三、（本大题满分8分，每小题8分。请在答题卷的相应区域答题）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（+1）（﹣1）﹣（﹣2）2．
四、（本大题共2小题，第20题8分，第21题8分，满分16分，请在答题卷的相应区域答题。）
20．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
21．（8分）2019年9月，在祖国母亲70华诞即将来临之际，某校团委组织全校2000名学生参加“中国共产党党史”知识大赛．大赛结束后，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，最低分50分，满分100分）作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图和如下不完整的频数分布表：
频数分布表
成绩x（分）
频数（人）
50≤x＜60
10
60≤x＜70
30
70≤x＜80
40
80≤x＜90
n
90≤x≤100
50
根据所给信息，解答下列问题：
（1）n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）若成绩在80分或80分以上为“优”，请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有多少人？
五、（本题满分10分。请在答题卷的相应区域答题）。
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
六、（本大题满分12分，请在答题卷的相应区域答题）
23．（12分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．
C乡（吨）
D乡（吨）
A城
x
B城
（1）①用含x的代数式完成表；
②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？
2020-2021学年安徽省黄山市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卷的相应区域答题）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：A选项，原式＝，不符合题意；
B选项，原式＝2，不符合题意；
C选项，原式＝10，不符合题意；
D选项，是最简二次根式．
故选：D．
2．（3分）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，一一判断即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．
B、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
3．（3分）如果a是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数非负数和平方数非负数的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、a＜0时，无意义，故本选项错误；
B、a＝0时，分母等于0，无意义，故本选项错误；
C、a2+1≥1，所以，对全体实数都有意义，故本选项正确；
D、只有a＝0时有意义，故本选项错误．
故选：C．
4．（3分）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．70° C．100° D．110°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：画出图形如下所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°．
故选：B．
5．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据QA、QB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
OA＝40×1.5＝600（m），OB＝40×2＝800（m），AB＝1000m，
∵8002+6002＝10002，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°
∵∠NOA＝30°，
∴∠SOB＝60°
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°；
故选：C．
6．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：D．
7．（3分）某校在甲、乙两名运动员中，选拔一名参加市运动会100米短跑比赛．分别随机抽取这两名运动员的5次成绩（单位：秒）分析，由甲运动员的成绩得＝12，S2甲＝0.8，乙运动员的5次成绩为：13，12.5，11，11.5，12．则最适合参加本次比赛的运动员是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都一样 D．无法选择
【分析】先由平均数的公式和方差公式求出乙运动员的平均成绩和方差成绩，再根据方差的意义进行比较即可得出答案．
【解答】解：乙运动员的平均成绩是：（13+12.5+11+11.5+12）＝12（秒），
则乙运动员的5次成绩的方差是：S2乙＝[（13﹣12）2+（12.5﹣12）2+（11﹣12）2+（11.5﹣12）2+（12﹣12）2]＝0.5，
∵甲运动员的成绩得＝12，S2甲＝0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴最适合参加本次比赛的运动员是乙；
故选：B．
8．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
【分析】首先证明四边形AECF是平行四边形，推出AF＝CE，想办法求出CE即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3.5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3.5＝1.5（cm），
故选：A．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先判定四边形AEBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，
∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABO＝S菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分。请在答题卷的相应区域答题）
11．（3分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 y＝3x﹣1 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，
解得 b＝﹣1．
所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
12．（3分）化简：＝ +2 ．
【分析】根据二次根式的性质＝|a|即可化简．
【解答】解：原式＝6﹣|﹣4|
＝6+﹣4
＝+2，
故答案为：+2．
13．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 3﹣ ．
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝3﹣．
故答案为：3﹣．
14．（3分）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如表：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售量/件
10
12
20
12
12
如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注销售数据的统计量是 众数 ．（填写“平均数”或“中位数”或“众数”）
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量；销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数．
故答案为：众数．
15．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为 1 ．
【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．
【解答】解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+1．
当y＝0时，x+1＝0，解得：x＝﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），OC＝1，
∴S△AOC＝OC•yA＝×1×2＝1．
故答案为：1．
16．（3分）正方形ABCD中，点P为对角线BD上的一个动点，连接AP，并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE为等腰三角形，则∠PEC＝ 30°或120° ．
【分析】分两种情况讨论：①当点E在BC的延长线上时，首先利用等腰三角形的性质得CP＝CE，易得∠BCP＝∠CPE+∠CEP＝2∠CEP，由正方形的性质得∠PBA＝∠PBC＝45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP＝∠BCP＝2∠CEP，因为∠BAP+∠PEC＝90°，求得∠PEC的度数；②当点E在BC上时，同理得出结论．
【解答】解：①当点E在BC的延长线上时，如图1，△PCE是等腰三角形，则CP＝CE，
∴∠BCP＝∠CPE+∠CEP＝2∠CEP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA＝∠PBC＝45°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP＝2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC＝90°，2∠PEC+∠PEC＝90°，
∴∠PEC＝30°；
②当点E在BC上时，如图2，△PCE是等腰三角形，则PE＝CE，
∴∠BEP＝∠CPE+∠PCE＝2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA＝∠PBC＝45°，
又AB＝BC，BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB＝90°，2∠BCP+∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠AEB＝60°，
∴∠PEC＝180°﹣∠AEB＝120°，
综上所述：∠PEC＝30°或120°．
故答案为：30°或120°．
17．（3分）如图，已知直线y＝kx+b（k，b为常数且k＜0），经过点A（2，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 x＞2 ．
【分析】因为点A也在直线y＝x上，所以根据图形可知：当直线y＝x在直线y＝kx+b上方时，对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：因为点A（2，1）也在直线y＝x上，
所以直线y＝x与直线y＝kx+b的交点坐标是A（2，1），
所以当kx+b＜x时，x的取值范围为x＞2．
故答案是：x＞2．
18．（3分）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为 2 ．
【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．
【解答】解：过F作FQ⊥BC于Q，
则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积＝×CE×FQ＝×4×1＝2，
故答案为：2
三、（本大题满分8分，每小题8分。请在答题卷的相应区域答题）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（+1）（﹣1）﹣（﹣2）2．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝6+﹣3
＝6﹣2；
（2）原式＝2﹣1﹣（3﹣4+4）
＝2﹣1﹣7+4
＝﹣6+4．
四、（本大题共2小题，第20题8分，第21题8分，满分16分，请在答题卷的相应区域答题。）
20．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）是，
理由：∵62+2.52＝6.52，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
21．（8分）2019年9月，在祖国母亲70华诞即将来临之际，某校团委组织全校2000名学生参加“中国共产党党史”知识大赛．大赛结束后，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，最低分50分，满分100分）作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图和如下不完整的频数分布表：
频数分布表
成绩x（分）
频数（人）
50≤x＜60
10
60≤x＜70
30
70≤x＜80
40
80≤x＜90
n
90≤x≤100
50
根据所给信息，解答下列问题：
（1）n＝ 70 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）若成绩在80分或80分以上为“优”，请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有多少人？
【分析】（1）根据题目中的数据和频数分布表中的数据，可以计算出n的值；
（2）根据（1）中n的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以得到这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段；
（4）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有多少人．
【解答】解：（1）n＝200﹣（10+30+40+50）＝70，
故答案为：70；
（2）由（1）知，n＝70，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）∵一共200个数据，10+30+40+80，80+70＝150，
∴这200名学生成绩的中位数落在80≤x＜90这个分数段；
（4）2000×＝1200（人），
答：该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有1200人．
五、（本题满分10分。请在答题卷的相应区域答题）。
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【分析】（1）由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB＝DC，由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到EF＝AD＝6，进而求得BE＝CF＝2，BF＝8，由∠ABE＝60°可求得AB＝2BE＝4，由勾股定理可求得DF＝AE＝2，BD＝2，由平行四边形性质得OB＝OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
六、（本大题满分12分，请在答题卷的相应区域答题）
23．（12分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．
C乡（吨）
D乡（吨）
A城
x
210﹣x
B城
240﹣x
x+50
（1）①用含x的代数式完成表；
②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？
【分析】（1）①根据题意即可完成表格；
②用含x的代数式分别表示出A城运往C、D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费＝运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（2）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论．
【解答】解：（1）①由从A城运往C乡肥料x吨，可得从A城运往D乡肥料为（210﹣x）吨；从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，从B城运往D乡肥料290﹣（240﹣x）＝（50+x）吨；
故答案为：210﹣x；240﹣x；50+x；
②y＝20x+25（210﹣x）+15（240﹣x）+24（x+50）
＝4x+10050，
∵y＝4x+10050是一次函数，k＝4＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴0≤x≤210，
∴当x＝0时，运费最少，最少运费是10050元；
（2）设更换车型后，总费用为y'元，从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
∴y'＝（20﹣a）x+25（210﹣x）+15（240﹣x）+24（x+50）
＝（4﹣a）x+10050，
①当0＜a＜4时，4﹣a＞0，y'随x的增大而增大，
∴当x＝0时，运费最少是10050元，即从A城运往C乡0吨，总费用最少；
②当a＝4时，不管A城运往C乡多少吨（不超过210吨），运费都是10050元．
③当4＜a＜6时，4﹣a＜0，y'随x的增大而减小，
∴当x＝210时，运费最少，即从A城运往C乡210吨，总费用最少．
答：当0＜a＜4时，从A城运往C乡0吨，总费用最少；
当a＝4时，不管A城运往乡C多少吨（不超过210吨），运费都是10050元．
当4＜a＜6时，从A城运往C乡210吨，总费用最少．
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日期：2021/8/11 11:59:07；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年安徽省黄山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卷的相应区域答题）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
3．（3分）如果a是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．70° C．100° D．110°
5．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
6．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）某校在甲、乙两名运动员中，选拔一名参加市运动会100米短跑比赛．分别随机抽取这两名运动员的5次成绩（单位：秒）分析，由甲运动员的成绩得＝12，S2甲＝0.8，乙运动员的5次成绩为：13，12.5，11，11.5，12．则最适合参加本次比赛的运动员是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都一样 D．无法选择
8．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分。请在答题卷的相应区域答题）
11．（3分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 ．
12．（3分）化简：＝ ．
13．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 ．
14．（3分）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如表：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售量/件
10
12
20
12
12
如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注销售数据的统计量是 ．（填写“平均数”或“中位数”或“众数”）
15．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为 ．
16．（3分）正方形ABCD中，点P为对角线BD上的一个动点，连接AP，并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE为等腰三角形，则∠PEC＝ ．
17．（3分）如图，已知直线y＝kx+b（k，b为常数且k＜0），经过点A（2，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
18．（3分）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为 ．
三、（本大题满分8分，每小题8分。请在答题卷的相应区域答题）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（+1）（﹣1）﹣（﹣2）2．
四、（本大题共2小题，第20题8分，第21题8分，满分16分，请在答题卷的相应区域答题。）
20．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
21．（8分）2019年9月，在祖国母亲70华诞即将来临之际，某校团委组织全校2000名学生参加“中国共产党党史”知识大赛．大赛结束后，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，最低分50分，满分100分）作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图和如下不完整的频数分布表：
频数分布表
成绩x（分）
频数（人）
50≤x＜60
10
60≤x＜70
30
70≤x＜80
40
80≤x＜90
n
90≤x≤100
50
根据所给信息，解答下列问题：
（1）n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）若成绩在80分或80分以上为“优”，请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有多少人？
五、（本题满分10分。请在答题卷的相应区域答题）。
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
六、（本大题满分12分，请在答题卷的相应区域答题）
23．（12分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．
C乡（吨）
D乡（吨）
A城
x
B城
（1）①用含x的代数式完成表；
②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？
2020-2021学年安徽省黄山市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卷的相应区域答题）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：A选项，原式＝，不符合题意；
B选项，原式＝2，不符合题意；
C选项，原式＝10，不符合题意；
D选项，是最简二次根式．
故选：D．
2．（3分）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，一一判断即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．
B、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
3．（3分）如果a是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数非负数和平方数非负数的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、a＜0时，无意义，故本选项错误；
B、a＝0时，分母等于0，无意义，故本选项错误；
C、a2+1≥1，所以，对全体实数都有意义，故本选项正确；
D、只有a＝0时有意义，故本选项错误．
故选：C．
4．（3分）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．70° C．100° D．110°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：画出图形如下所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°．
故选：B．
5．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据QA、QB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
OA＝40×1.5＝600（m），OB＝40×2＝800（m），AB＝1000m，
∵8002+6002＝10002，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°
∵∠NOA＝30°，
∴∠SOB＝60°
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°；
故选：C．
6．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：D．
7．（3分）某校在甲、乙两名运动员中，选拔一名参加市运动会100米短跑比赛．分别随机抽取这两名运动员的5次成绩（单位：秒）分析，由甲运动员的成绩得＝12，S2甲＝0.8，乙运动员的5次成绩为：13，12.5，11，11.5，12．则最适合参加本次比赛的运动员是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都一样 D．无法选择
【分析】先由平均数的公式和方差公式求出乙运动员的平均成绩和方差成绩，再根据方差的意义进行比较即可得出答案．
【解答】解：乙运动员的平均成绩是：（13+12.5+11+11.5+12）＝12（秒），
则乙运动员的5次成绩的方差是：S2乙＝[（13﹣12）2+（12.5﹣12）2+（11﹣12）2+（11.5﹣12）2+（12﹣12）2]＝0.5，
∵甲运动员的成绩得＝12，S2甲＝0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴最适合参加本次比赛的运动员是乙；
故选：B．
8．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
9．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
【分析】首先证明四边形AECF是平行四边形，推出AF＝CE，想办法求出CE即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3.5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3.5＝1.5（cm），
故选：A．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先判定四边形AEBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，
∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABO＝S菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分。请在答题卷的相应区域答题）
11．（3分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 y＝3x﹣1 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，
解得 b＝﹣1．
所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
12．（3分）化简：＝ +2 ．
【分析】根据二次根式的性质＝|a|即可化简．
【解答】解：原式＝6﹣|﹣4|
＝6+﹣4
＝+2，
故答案为：+2．
13．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 3﹣ ．
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝3﹣．
故答案为：3﹣．
14．（3分）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如表：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售量/件
10
12
20
12
12
如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注销售数据的统计量是 众数 ．（填写“平均数”或“中位数”或“众数”）
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量；销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数．
故答案为：众数．
15．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为 1 ．
【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．
【解答】解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+1．
当y＝0时，x+1＝0，解得：x＝﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），OC＝1，
∴S△AOC＝OC•yA＝×1×2＝1．
故答案为：1．
16．（3分）正方形ABCD中，点P为对角线BD上的一个动点，连接AP，并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE为等腰三角形，则∠PEC＝ 30°或120° ．
【分析】分两种情况讨论：①当点E在BC的延长线上时，首先利用等腰三角形的性质得CP＝CE，易得∠BCP＝∠CPE+∠CEP＝2∠CEP，由正方形的性质得∠PBA＝∠PBC＝45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP＝∠BCP＝2∠CEP，因为∠BAP+∠PEC＝90°，求得∠PEC的度数；②当点E在BC上时，同理得出结论．
【解答】解：①当点E在BC的延长线上时，如图1，△PCE是等腰三角形，则CP＝CE，
∴∠BCP＝∠CPE+∠CEP＝2∠CEP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA＝∠PBC＝45°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP＝2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC＝90°，2∠PEC+∠PEC＝90°，
∴∠PEC＝30°；
②当点E在BC上时，如图2，△PCE是等腰三角形，则PE＝CE，
∴∠BEP＝∠CPE+∠PCE＝2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA＝∠PBC＝45°，
又AB＝BC，BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB＝90°，2∠BCP+∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠AEB＝60°，
∴∠PEC＝180°﹣∠AEB＝120°，
综上所述：∠PEC＝30°或120°．
故答案为：30°或120°．
17．（3分）如图，已知直线y＝kx+b（k，b为常数且k＜0），经过点A（2，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 x＞2 ．
【分析】因为点A也在直线y＝x上，所以根据图形可知：当直线y＝x在直线y＝kx+b上方时，对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：因为点A（2，1）也在直线y＝x上，
所以直线y＝x与直线y＝kx+b的交点坐标是A（2，1），
所以当kx+b＜x时，x的取值范围为x＞2．
故答案是：x＞2．
18．（3分）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为 2 ．
【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．
【解答】解：过F作FQ⊥BC于Q，
则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积＝×CE×FQ＝×4×1＝2，
故答案为：2
三、（本大题满分8分，每小题8分。请在答题卷的相应区域答题）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（+1）（﹣1）﹣（﹣2）2．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝6+﹣3
＝6﹣2；
（2）原式＝2﹣1﹣（3﹣4+4）
＝2﹣1﹣7+4
＝﹣6+4．
四、（本大题共2小题，第20题8分，第21题8分，满分16分，请在答题卷的相应区域答题。）
20．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）是，
理由：∵62+2.52＝6.52，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
21．（8分）2019年9月，在祖国母亲70华诞即将来临之际，某校团委组织全校2000名学生参加“中国共产党党史”知识大赛．大赛结束后，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，最低分50分，满分100分）作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图和如下不完整的频数分布表：
频数分布表
成绩x（分）
频数（人）
50≤x＜60
10
60≤x＜70
30
70≤x＜80
40
80≤x＜90
n
90≤x≤100
50
根据所给信息，解答下列问题：
（1）n＝ 70 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）若成绩在80分或80分以上为“优”，请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有多少人？
【分析】（1）根据题目中的数据和频数分布表中的数据，可以计算出n的值；
（2）根据（1）中n的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以得到这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段；
（4）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有多少人．
【解答】解：（1）n＝200﹣（10+30+40+50）＝70，
故答案为：70；
（2）由（1）知，n＝70，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）∵一共200个数据，10+30+40+80，80+70＝150，
∴这200名学生成绩的中位数落在80≤x＜90这个分数段；
（4）2000×＝1200（人），
答：该校参加本次比赛的2000名学生中成绩为“优”的学生有1200人．
五、（本题满分10分。请在答题卷的相应区域答题）。
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【分析】（1）由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB＝DC，由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到EF＝AD＝6，进而求得BE＝CF＝2，BF＝8，由∠ABE＝60°可求得AB＝2BE＝4，由勾股定理可求得DF＝AE＝2，BD＝2，由平行四边形性质得OB＝OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
六、（本大题满分12分，请在答题卷的相应区域答题）
23．（12分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．
C乡（吨）
D乡（吨）
A城
x
210﹣x
B城
240﹣x
x+50
（1）①用含x的代数式完成表；
②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．
（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？
【分析】（1）①根据题意即可完成表格；
②用含x的代数式分别表示出A城运往C、D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费＝运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（2）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论．
【解答】解：（1）①由从A城运往C乡肥料x吨，可得从A城运往D乡肥料为（210﹣x）吨；从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，从B城运往D乡肥料290﹣（240﹣x）＝（50+x）吨；
故答案为：210﹣x；240﹣x；50+x；
②y＝20x+25（210﹣x）+15（240﹣x）+24（x+50）
＝4x+10050，
∵y＝4x+10050是一次函数，k＝4＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴0≤x≤210，
∴当x＝0时，运费最少，最少运费是10050元；
（2）设更换车型后，总费用为y'元，从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
∴y'＝（20﹣a）x+25（210﹣x）+15（240﹣x）+24（x+50）
＝（4﹣a）x+10050，
①当0＜a＜4时，4﹣a＞0，y'随x的增大而增大，
∴当x＝0时，运费最少是10050元，即从A城运往C乡0吨，总费用最少；
②当a＝4时，不管A城运往C乡多少吨（不超过210吨），运费都是10050元．
③当4＜a＜6时，4﹣a＜0，y'随x的增大而减小，
∴当x＝210时，运费最少，即从A城运往C乡210吨，总费用最少．
答：当0＜a＜4时，从A城运往C乡0吨，总费用最少；
当a＝4时，不管A城运往乡C多少吨（不超过210吨），运费都是10050元．
当4＜a＜6时，从A城运往C乡210吨，总费用最少．
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