初中数学人教版 (五四制)八年级上册22.2 分式的运算教学设计

分式的运算（1）

15.2.1  分式的乘除（1）

一、内容和内容解析

1．内容

分式的乘除法法则．

2．内容解析

分式的乘除法法则是对分数的乘除法法则的抽象，两者的本质相同，因此，可以类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，即“分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母”，“分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘”．
    教科书通过两个实际问题-----长方体容器内水面高度问题、工作效率问题，说明分式的乘除法有着丰富的实际背景和广泛的应用，通过对这两个问题的数学化，潜移默化地向学生渗透数学模型思想．分式的乘除法法则的引出，体现了类比的思想方法，将分式的除法转化为分式的乘法，体现了化归的思想方法．
    基于以上分析，确定本节课的教学重点：分式的乘除法法则．

二、目标和目标解析

1．目标

(1) 类比分数的乘除法法则，探究分式的乘除法法则．

(2) 能进行简单的分式乘除法运算．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：学生能类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，通过分数的乘除法体会分式的乘除法，能用文字语言和符号语言表示分式的乘除运算法则．

达成目标(2)的标志是：学生能对两个分式进行乘除运算，明确分式的除法必须化为分式的乘法才能进行运算，体会化归思想在分式的除法运算中的作用．

三、教学问题诊断分析

教科书中的例3是带有实际背景的问题，第（1）问要求比较两个分式的大小．由于它们的分子是相同的正数，而由问题的实际意义可知分母都是正数，所以只要比较分母的大小就可以了．具体比较大小时，需要利用前面学习过的乘法公式以及“a＞1”这一条件，这对于学生来说有一定难度，因为他们以前很少这样分析问题，教科书在正文中采用借助图形直观的办法得出结论，旁白中给出严格的数学证明．教学中，教师应根据学生的基础和认知能力等具体情况，灵活处理．

本节课的教学难点是：比较两个分式的大小．

四、教学过程设计

1．创设情境，引入课题

问题1  一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案，如果学生存在问题，教师可适时启发，具体分析如下：

（1）       这个长方体容器的高是多少？

（2）       容器内水面的高度与容器内的水所占容积间有何关系？

学生逐题思考后回答：长方体容器的高为；容器内水面的高度与容器高的比，和容器内的水所占容积的比相等．所以水面的高度为．

问题2  大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案，如果学生存在问题，教师可适时启发，具体分析如下：

（1）       什么是工作效率？

（2）       大拖拉机和小拖拉机的工作效率分别是多少？ 

学生逐题思考后回答：本题中出现的“工作效率”即为“耕地速度”,单位为“hm2/天”；大拖拉机的工作效率为hm2/天，小拖拉机的工作效率为hm2/天．所以，可以得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍．

设计意图：通过这两个实际问题，说明分式的乘除法有着丰富的实际背景，为引出分式的乘除法作铺垫．

2．类比探究，学习新知

观察上述两个问题中所列出的式子和可知，为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算.

分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则.

思考  你还记得分数的乘除法法则吗？

类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？

师生活动：学生回答问题，相互补充．在教师的指导下，学生给出分数的乘除法法则，再通过类比得出分式的乘除法法则：“分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘”．上述法则可以用式子表示为：

设计意图：从学生已有的数学经验出发，经历由特殊（分数）乘除法法则到一般（分式）乘除法法则的类比过程，感受数式通性，体会一般化方法、类比方法在解决数学问题时的重要价值.

3．学以致用，应用新知

例1  计算：

；   .

师生活动：师生共同分析、解答，教师板书（1），学生书写（2）．本题中分式的分子分母都是单项式，比较简单．其计算方法是：先直接按乘除法法则运算，再对运算的结果进行约分，把结果化为最简分式．对于第（1）题，教师提示学生，本题也可以先约分，后作乘除．第（2）题注意符号的处理．答案为：（1）；（2）．

设计意图：运用分式的乘除法法则进行简单计算，并规范分式的乘除运算的步骤和格式.

例2  计算：

师生活动：师生共同分析、解答．本题中分式的分子或分母是多项式，教师要强调当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的要先分解因式，便于进行约分，从而简化运算．教师提示学生，计算过程中，如：，每个分子都是个整体，要适时添上括号．对于第（2）题，不同的学生解法可能不同．有的同学可能把提取负1，化成，再分解因式、约分；有的同学可能会直接分解因式、约分．教师提示学生本题要注意添上括号和注意符号．学生在教师的指导下，得出答案为：（1）；（2）．

设计意图：本题中分式的分子或分母是多项式，教学中教师应利用本题，向学生说明运算应进行到何种程度，为学生做出示范．

例3　如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a -1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案，如果学生存在问题，教师可适时启发，具体分析如下：

①     如何求这两块试验田的单位面积产量？

②     怎样确定哪种小麦的单位面积产量高？

学生按照教师的分析，逐步思考并回答：① “丰收1号”小麦的试验田面积是m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是m2，单位面积产量是kg/m2；②比较与的大小．对于问题（1）中与的大小的比较，教师可利用图2进行讲解，提示学生也可通过严格的数学证明得出，，由此得出的结论．问题（2）利用分式除法得出，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．

　　设计意图：本题是带有实际背景的问题．解题时先要弄清题意，根据题意列出算式，再进行计算．其中列算式是最难的．安排这样的问题，是想把培养学生将实际问题转化为数学问题的能力贯穿于教学的整个过程之中．

4．基础训练，巩固新知

练习  求出问题1和问题2的计算结果.

师生活动：教师提问，学生在练习本上完成，教师巡视并指导，师生交流．

解：（1）

所以，水面的高度为．

（2）

所以，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍．

设计意图：通过这个练习，让学生应用分式的乘除法法则解决简单的实际问题，并在此过程中体会分式的乘除法在解决实际问题时的重要作用.

练习  计算：

师生活动：学生独立完成练习，教师指导、讲评．在（2）中，可以把看作分母是1的分式，即，再乘除；教师提示学生，（4）中的与可以直接约分，但要注意约分后的符号，也可以通过改变符号化为公因式．结果为：（1）；（2）；（3）；（4）．

设计意图：通过由简到繁，循序渐进的练习，考查学生对基础知识的掌握程度，培养和提高学生的运算能力；学生经历将分式除法转化为分式乘法的过程,体会化归的作用．

练习　计算：

师生活动：学生独立完成练习，教师指导、讲评．教师提示学生，本题中分式的分子或分母是多项式，能分解因式的要先分解因式，便于进行约分，从而简化运算．第（2）题，教师提示学生可以采用不同方法，对于可以直接分解因式，也可以提取负1后，再分解因式，但都要注意符号．结果为：（1）；（2）．

设计意图：通过练习使学生进一步理解分式的乘除法法则，会运用它们进行分式的乘除运算；进一步体会分式的分子或分母为多项式时的解题思路和步骤．

5．小结归纳，自我完善

教师和学生一起回顾本节课所学内容：

（1）分式的乘、除法法则是什么？

（2）运用分式乘除法法则进行运算时，若分式的分子或分母是多项式，通常先怎样做能简化运算？

设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，体会类比方法在学习分式的乘除法中的作用，进一步感悟数式通性，体会化归思想，积累解题经验.通过小结，使学生梳理本节课所学的内容．

6.课后作业

教科书第146页习题15.2的第1，2题．

五、目标检测设计

计算：

学生独立完成．

设计意图：（1）（4）考查学生对分式乘法运算的掌握情况；（2）（3）考察学生对分式的除法运算的情况；其中（3）（4）又考查了学生对分式的分子或分母为多项式时的乘除运算的掌握情况.

说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第十五章第15.2节的内容，见教科书第135页至第138页．