初中数学青岛版七年级下册第13章 平面图形的认识13.1 三角形当堂达标检测题

这是一份初中数学青岛版七年级下册第13章 平面图形的认识13.1 三角形当堂达标检测题，共114页。试卷主要包含了5，求 BF 的长．， 【答案】D， 【答案】， 【答案】 15， 【答案】 ∵AE=CD，， 【答案】 12等内容，欢迎下载使用。
三角形2016-2020年成都数学七年级下学期常规版期末汇编
1. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB 的依据是   

A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS

2. 下列说法正确的是   
A．若 x>y，则 x2>y2 B．对顶角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．两边及一角相等的两三角形全等

3. 如图 1，在 △ABC 中，BO⊥AC 于点 O，AO=BO=3，OC=1，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，交 BO 于点 P．

(1) 求线段 OP 的长度；
(2) 连接 OH，求证：∠OHP=45∘；
(3) 如图 2，若点 D 为 AB 的中点，点 M 为线段 BO 延长线上一动点，连接 MD，过点 D 作 DN⊥DM 交线段 OA 延长线于 N 点，则 S△BDM−S△ADN 的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．


4. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边 B 点，选对岸正对的一棵树 A；
②沿河岸直走 20 步有一棵树 C，继续前行 20 步到达 D 处；
③从 D 处沿与河岸垂直的方向行走，当到达 A 树正好被 C 树遮挡住的 E 处停止行走；
此时，测得 DE 的长度为 15 米，则河宽 米．


5. 已知一个三角形的三边长分别为 2，7，x，另一个三角形的三边分别为 y，2，8，若两个三角形全等，则 x+y= ．

6. 已知：点 A，E，D，C 在同一条直线上，AE=CD，EF∥BD，EF=BD，求证：AB∥CF．


7. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，AE 是过点 A 的一条直线，且 B，C 在 AE 的两侧，BD⊥AE 于 D，CE⊥AE 于 E．

(1) 求证：△ABD≌△CAE．
(2) 若 DE=3，CE=2，求 BD．

8. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=3，∠B=∠C=50∘，点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与点 B，C 重合），连接 AD，作 ∠ADE=50∘，DE 交线段 AC 于点 E．

(1) 当 ∠BDA=110∘ 时，∠EDC= ∘，∠AED= ∘，∠DAE= ∘．
(2) 当 DC 等于多少时？△ABD≌△DCE，请说明理由．
(3) 在点 D 的运动过程中，请直接写出当 △ADE 是等腰三角形时 ∠BDA 的度数．

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，∠C=30∘，AC=24，BD 平分 ∠ABC，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BD 上的动点，则 AF+EF 的最小值为 ．


10. 解答下列各题：
(1) 如图 1，△ABC 和 △DCE 都是等边三角形，且 B，C，D 三点在一条直线上，连接 AD，BE 相交于点 P，求证：BE=AD．

(2) 如图 2，在 △BCD 中，若 ∠BCD”，“=”或“90∘，求 ∠AFB 的度数（用含 α 的式子表示）．


107. 如图，△ABC 与 △ADE 中，DE=BC，EA=CA，CB 的延长线交 DE 于点 G，∠CAE=∠EGC，过 A 作 AF⊥DE 于点 F，连接 AG，若 AF=8，DF:FG:GE=2:3:5，BC=15，则四边形 DGBA 的面积是 ．


108. 如图：在 △ABC 中，∠BAC=110∘，AC=AB，射线 AD，AE 的夹角为 55∘，过点 B 作 BF⊥AD 于点 F，直线 BF 交 AE 于点 G，连接 CG．
(1) 如图 1，若射线 AD，AE 都在 ∠BAC 的内部，且点 B 与点 Bʹ 关于 AD 对称，求证：CG=BʹG；

(2) 如图 2，若射线 AD 在 ∠BAC 的内部，射线 AE 在 ∠BAC 的外部，其他条件不变，求证：CG=BG−2GF；

(3) 如图 3，若射线 AD，AE 都在 ∠BAC 的外部，其他条件不变，若 CG=145GF，AF=3，S△ABG=7.5，求 BF 的长．


109. 如图，△ABC 中，AB>AC，延长 CA 至点 G，边 BC 的垂直平分线 DF 与 ∠BAG 的角平分线交于点 D，与 AB 交于点 H，F 为垂足，DE⊥AB 于 E．下列说法正确的是 （填序号）．
① BH=FC；② ∠GAD=12∠B+∠HCB；③ BE−AC=AE；④ ∠B=∠ADE．


110. 如图 1 所示，以 △ABC 的边 AB，AC 为斜边向外分别作等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt△ACE，∠ADB=∠AEC=90∘，F 为 BC 边的中点，连接 DF，EF．

(1) 若 AB=AC，试说明 DF=EF；
(2) 若 ∠BAC=90∘，如图 2 所示，试说明 DF⊥EF；

(3) 若 ∠BAC 为钝角，如图 3 所示，则 DF 与 EF 存在什么数量关系与位置关系？试说明理由．


111. 如图，AB∥ED，CD=BF，若 △ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是   

A．EF=AC B．AB=DE C．∠B=∠E D．∠A=∠EFD

112. 在 △ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作 △ADE，使 AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接 CE．
(1) 如图1，当点 D 在线段 BC 上，如果 ∠BAC=90∘，则 ∠BCE= 度；

(2) 设 ∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 α，β 之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点 D 在直线 BC 上移动，则 α，β 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．


113. 如图，△ABC 和 △FPQ 均是等边三角形，点 E，D，F 分别是 △ABC 三边的中点，点 P 在 AB 边上，连接 FE，QE．若 AB=10，PB=2，则 QE= ．


114. 如图，Rt△ABC 中，∠CBA=90∘，∠CAB 的角平分线 AP 和 △ABC 的一个外角的平分线 CF 相交于点 D，AD 交 CB 于 P，CD 交 AB 的延长线于 F，过 D 作 DE⊥CF 交 CB 的延长线于点 G，交 AB 的延长线于点 E，连接 CE 并延长交 FG 于点 H，则下列结论：
① ∠CDA=45∘；② AF−CG=CA；③ DE=DC；④ FH=CD+GH；⑤ CF=2CD+EG，其中正确的有 ．


115. 在 △ABC 中，AB=AC，CG⊥BA 并交 BA 的延长线于点 G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B．

(1) 在图1中请你通过观察，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(2) 当三角尺沿 AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DE⊥BA 于点 E．此时请你通过观察，猜想并写出 DE，DF，CG 三条线段之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

(3) 当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到图3所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

答案
1. 【答案】D
【解析】由题可知：OD=OʹDʹ=OC=OʹCʹ，CD=CʹDʹ，
∴△OCD≌△OCʹDʹSSS，
∴∠AʹOʹBʹ=∠AOB．

2. 【答案】B

3. 【答案】
(1) ∵BO⊥AC，
∴∠AOP=∠BOC=90∘，
∴∠OAP+∠APO=180∘−∠AOP=90∘，
又 ∵AH⊥BC，则 ∠PHB=90∘，
∴ 在 △PBH 中，∠PHB+∠OBC+∠BPA=180∘，
∴∠OBC+∠BPH=180∘−∠PHB=90∘，
又 ∵∠BPH=∠APO
∴∠OAP=∠OBC，
在 △AOP 和 △BOC 中，
∠AOP=∠BOC,AO=BO,∠OAP=∠OBC,
∴△AOP≌△BOCASA，
∴OP=OC，
又 ∵OC=1，
∴OP=1．
(2) 如图，分别过 O 作 OD⊥AH 交 AH 于点 D，OE⊥BC 交 BC 于点 E．
∵OD⊥AH，OE⊥BC，
∴∠ODA=∠OEB=90∘，
∴ 在 △AOD 和 △BOE 中，
∠OAD=∠OBE,∠ODA=∠OEB,OA=OB,
∴△AOD≌△BOEAAS，
∴OD=OE，
又在 Rt△ODH 和 Rt△OEH 中，
OD=OE,OH=OH,
∴Rt△ODH≌Rt△OEHHL，
∴∠OHD=∠OHE，
又 ∵∠DHE=90∘，
∴∠OHD=12∠DHE=45∘，
即 ∠OHP=45∘．
(3) 不变．
如图所示，连接 OD．
∵AO=BO，BO⊥AC，
∴△AOB 为等腰直角三角形．
又 ∵D 为 AB 中点，
∴OD⊥AB，OD=AD=BD，∠ODM+∠ADM=∠ODA=90∘，
又 ∵DM⊥DN，
∴∠ADN+∠ADM=∠MDN=90∘，
∴∠ODM=∠ADN．
又 ∵△AOB 为等腰 Rt△，
∴∠BAO=∠DOA=45∘，
∴∠DAN=180−∠BAO=135∘，
∠DOM=∠DOA+∠AOM=90∘+45∘=135∘，
∴ 在 △ADN 和 △ODM 中，
∠ADN=∠ODM,AD=OD,∠DAN=∠DOM,
∴△ADN≌△ODM．
∵S△BDM=S△BDO+S△ODM，
∴S△BDM−S△ADN=S△BDO+S△ODM−S△ADN，
∵△ADN≌△ODM，
∴S△ADN=S△ODM，
∴S△BDM−S△ADN=S△BOD，
又 ∵S△BOD=12S△AOB=14×OA×OB=94，
∴S△BDM−S△ADN 为定值，该式子值为：94．

4. 【答案】 15
【解析】如图，由作法知：
在 Rt△ABC 和 Rt△EDC 中，
∠ABC=∠EDC=90∘,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴Rt△ABC≌Rt△EDCASA，
∴AB=ED=15m．

5. 【答案】 15
【解析】 ∵ 已知一个三角形的三边长分别为 2，7，x，另一个三角形的三边分别为 y，2，8，
∴ 要使两三角形全等，只能 x=8，y=7，
∴x+y=15．

6. 【答案】 ∵AE=CD，
∴AE+ED=CD+ED，即：AD=CE，
∵EF∥BD，
∴∠BDA=∠CEF，
在 △ABD 和 △CEF 中，
AD=CE,∠BDA=∠CEF,EF=BD,
∴△ABD≌△CEFSAS，
∴∠A=∠C，
∴AB∥CF．

7. 【答案】
(1) ∵BD⊥AE，AE⊥CE，∠BAC=90∘，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90∘，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=90∘，
∴∠ABD=∠CAE．
在 △ABD 和 △CAE 中，
∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=AC,
∴△ABD≌△CAEAAS．
(2) ∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=3，CE=2，
∴AE=AD+DE=CE+DE=2+3=5，
∴BD=AE=5．

8. 【答案】
(1) 20；70；60
(2) ∵∠C=50∘，
∴∠DEC+∠EDC=130∘，
又 ∵∠ADE=50∘，
∴∠ADB+∠EDC=130∘，
∴∠ADB=∠DEC．
又 ∵AB=DC=3，
在 △ABD 和 △DCE 中，
∠ADB=∠DEC,∠B=∠C,AB=DC,
∴△ABD≌△DCEAAS，
即当 DC=3 时，△ABD≌△DCE．
(3) 100∘ 或 115∘．
【解析】
(1) ∵∠BDA=110∘，∠ADE=50∘，
∴∠EDC=180∘−∠BDA−∠ADE=180∘−110∘−50∘=20∘.
在 △CDE 中，
∵∠AED 是 △CDE 的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC=50∘+20∘=70∘.
在 △ADE 中，∠AED=70∘，∠ADE=50∘，
∴∠DAE=180∘−∠AED−∠ADE=180∘−70∘−50∘=60∘.
(3) ① ∠BDA=100∘，则 ∠ADC=80∘，
∵∠C=50∘，
∴∠DAC=50∘，
∴∠DAC=∠ADE，
∴△ADE 的形状是等腰三角形．
② ∠BDA=115∘ 时，则 ∠ADC=65∘，
∵∠C=50∘，
∴∠DAC=65∘．
∵∠ADE=50∘，
∴∠AED=65∘，
∴∠DAC=∠AED，
∴△ADE 的形状是等腰三角形．
综上，当 ∠BDA 的度数为 100∘ 或 115∘ 时，△ADE 的形状是等腰三角形．

9. 【答案】 12
【解析】过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，连接 FH，EH，
∵∠C=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴AD=DH，AF=FH，
∴AF+EF=FH+EF，
∴FH+EF最小值=EH，
在 △ABD 与 △HBD 中，
AD=DH,BD=BD,
∴△ABD≌△HBDHL，
∴AB=BH，
∴BE=12BH，
∵∠ABC=60∘，
∴∠BHE=30∘，∠BEH=90∘，
∴EH∥AC，
∵E 为 AB 的中点，
∴EH 为 △ABC 的中位线，
∴EH=12AC=12，
∴AF+EF最小值=12．


10. 【答案】
(1) ∵△ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在 △BCE 与 △ACD 中，
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴BE=AD．
(2) ① ∵△ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60∘．
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在 △BCE 和 △ACD 中，
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴AD=BE，
∵△ABC 和 △BDF 都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60∘，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBF+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBF，
在 △ABD 与 △CBF 中，
AB=BC,∠ABD=∠CBF,BD=BF,
∴△ABD≌△CBFSAS，
∴AD=CF，
∵AD=BE，
∴AD=BE=CF．
②如图，在 PE 上截取 PM=PC，连接 CM，BE 与 CD 交于点 G，
由①可知，CF=BE，
∵△CDE 与 △BDF 都是等边三角形，
∴BD=DF，CD=DE，
在 △CDF 与 △EDB 中，
DF=BD,CD=DE,CF=BE,
∴△CDF≌△EDBSSS，
∴∠FCD=∠BED，
在 △CPG 与 △EDG 中，
∠FCD=∠BED，∠CGP=∠EGD，
∴∠CPM=∠EDG=60∘，
∴△CPM 是等边三角形，
∴CP=CM，∠PMC=60∘，
由①可知：△BCE≌△ACD，
∴∠CEB=∠CDA，
在 △CGE 和 △PGD 中，
∵∠CEB=∠CDA，∠CGE=∠PGD，
∴∠DPG=∠ECG=60∘，
∵∠CPM=∠CMP=60∘，
∴∠CPD=∠CME=120∘，
在 △CPD 和 △CME 中，
∠CPD=∠CME=120∘,∠CEM=∠CDP,CP=CM,
∴△CPD≌△CMEAAS，
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+MF=PB+PC+PD，
即 PB+PC+PD=BE．

11. 【答案】C
【解析】 ∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE=55∘，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=55∘，
∴∠EDC=70∘．

12. 【答案】 51
【解析】根据作图过程可知：
AD 是 ∠CAB 的平分线，
如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
∵∠C=90∘，
∴DC⊥AC，
∴DE=CD=6，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×17×6=51．


13. 【答案】∵ ∠DHC=90∘，
∴ ∠AHD+∠CHB=90∘．
∵ DA⊥AB，
∴ ∠D+∠AHD=90∘，
∴ ∠D=∠CHB．
在 △ADH 和 △BHC 中，
∵ ∠D=∠CHB,∠A=∠B=90∘,DH=CH,
∴ △ADH≌△BHCAAS．
∴ AD=BH=15 千米，AH=BC．
∵ A，B 两站相距 25 千米，
∴ AB=25 千米，
∴ AH=AB−BH=25−15=10（千米），即 BC=10 千米，
∴ 学校 C 到公路的距离是 10 千米．
答：H 应建在距离 A 站 10 千米处，学校 C 到公路的距离是 10 千米．

14. 【答案】 25
【解析】 ∵ 正方形 ABCD 与直角三角板如图，
∴∠BAD=∠EAF=90∘，即 ∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠BAF，
∴∠EAB=∠FAD，
∠D=∠ABE=90∘，
AD=AB，
在 △ABE 和 △ADF 中，
∠EAB=∠FAD,AB=AD,∠ABE=∠D,
∴△ABE≌△ADFASA，
∴ 四边形 AECF 的面积 = 正方形 ABCD 的面积 =52=25．

15. 【答案】
(1) ∵∠BAD=∠CAE=90∘，
∴∠BAC+∠CAD=90∘，∠CAD+∠DAE=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
在 △BAC 和 △DAE 中，
AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,
∴△BAC≌△DAESAS．
(2) ∵∠CAE=90∘，AC=AE，
∴∠E=45∘，
由（1）知 △BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45∘，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90∘，
∴∠CAF=45∘，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45∘+90∘=135∘．
(3) 延长 BF 到 G，使得 FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90∘，
在 △AFB 和 △AFG 中，
BF=GF,∠AFB=∠AFG,AF=AF,
∴△AFB≌△AFGSAS，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45∘，
在 △CGA 和 △CDA 中，
∠GCA=∠DCA,∠CGA=∠CDA,AG=AD,
∴△CGA≌△CDAAAS，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．

16. 【答案】
(1) 如图 1 所示：
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘，BC=12AB，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30∘，
∴DA=DB，
∵DE⊥AB 于点 E，
∴AE=BE=12AB，
∴BC=BE，
∴△EBC 是等边三角形．
(2) AD=DG+DM．
(3) AD=DG−DN．
延长 BD 至 H，使得 DH=DN，
由（1）得 DA=DB，∠A=30∘，
∵DE⊥AB 于点 E，
∴∠2=∠3=60∘，
∴∠4=∠5=60∘，
∴△NDH 是等边三角形，
∴NH=ND，∠H=∠6=60∘，
∴∠H=∠2，
∵∠BNG=60∘，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7，
即 ∠DNG=∠HNB，
在 △DNG 和 △HNB 中，∠DNG=∠HNB,DN=HN,∠H=∠2,
∴△DNG≌△HNBASA，
∴DG=HB，
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD，
∴AD=DG−ND．
【解析】
(2) 如图 2 所示：延长 ED 使得 DW=DM，连接 MW，
∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，
∴∠ADE=∠BDE=60∘，AD=BD，
又 ∵DM=DW，
∴△WDM 是等边三角形，
∴MW=DM，
在 △WGM 和 △DBM 中，
∵∠W=∠MDB,MW=DM,∠WMG=∠DMB,
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．

17. 【答案】B
【解析】因为以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于点 C，D，即 OC=OD；
以点 C，D 为圆心，以大于 12CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，即 CP=DP；
所以在 △OCP 和 △ODP 中，
OC=OD,OP=OP,CP=DP.
所以 △OCP≌△ODPSSS．

18. 【答案】小华的想法对，理由是：
因为 O 是 CF 的中点，
所以 CO=FO，(中点的定义)
在 △COB 和 △FOE 中，
CO=FO,∠COB=∠EOF,EO=BO,
所以 △COB≌△FOESAS，
所以 BC=EF，（全等三角形对应边相等）
∠BCO=∠F，（全等三角形对应角相等）
所以 AB∥DF，（内错角相等，两直线平行）
所以 ∠ACE 和 ∠DEC 互补．(两直线平行，同旁内角互补）

19. 【答案】
(1) 结论：△AEC≌△CDB，
理由：如图 1 中，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠CDB=90∘，
∴∠CAE+∠ACE=90∘，
∴∠BCD+∠ACE=90∘，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△AEC≌△CDBAAS．
(2) 50
(3) ① 1；
②如图 4 中，
∵∠FOP=120∘，
∴∠FOB+∠COP=60∘，
∵∠BCE=60∘，
∴∠COP+∠OPC=60∘，
∴∠FOB=∠OPC，
∵OF=OP，∠OBF=∠OCP=120∘，
∴△PCO≌△OBFAAS，
∴PC=OB=1=t−3，
解得：t=4．
【解析】
(2) 如图 2 中，
由（1）可知：△EFA≌△AGB，△GC≌△CHD，
∴EF=AG=6，AF=BG=CH=4，CG=DH=4，
∴S=126+4×16−18−12=50．
(3) ①如图 3 中，当 OB=EP 时，OF∥EC，
∴t=1．

20. 【答案】
(1) ∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CED=60∘，
∴∠EDB=60∘−∠B=30∘，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=EB．
(2) ED=EB，
理由如下：取 AB 的中点 O，连接 CO，EO，
∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠A=60∘，OC=OA，
∴△ACO 为等边三角形，
∴CA=CO，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE，
在 △ACD 和 △OCE 中，
CA=CO,∠ACD=∠OCE,CD=CE,
∴△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60∘，
∴∠BOE=60∘，
在 △COE 和 △BOE 中，
OC=OB,∠COE=∠BOE,OE=OE,
∴△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB．
(3) 取 AB 的中点 O，连接 CO，EO，EB，
由（2）得 △ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60∘，
∴∠BOE=60∘，
△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB，
∵EH⊥AB，
∴DH=BH=3，
∵GE∥AB，
∴∠G=180∘−∠A=120∘，
在 △CEG 和 △DCO 中，
∠G=∠COD,∠ECG=∠ODC,CE=CD,
∴△CEG≌△DCO，
∴CG=OD，
设 CG=a，则 AG=5a，OD=a，
∴AC=OC=4a，
∵OC=OB，
∴4a=a+3+3，解得 a=2，即 CG=2．

21. 【答案】
(1) ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45∘，AB=AC．
∵E 是 BC 的中点，
∴BE=CE．
在 △BPE 和 △CQE 中，
BE=CE,∠B=∠C,BP=CQ,
∴△BPE≌△CQESAS．
(2) ∵∠AEQ=45∘，∠B=45∘，
∴∠AEB+∠QEC=135∘，∠AEB+∠BAE=135∘．
∴∠QEC=∠BAE．
又 ∠B=∠C，BE=CQ，
∴△ABE≌△ECQAAS．
∴AE=EQ．
∴∠EAQ=∠EQA=180∘−45∘2=67.5∘．
(3) 在 CQ 上截取 CH，使得 CH=AP，连接 EH．
由（1）知 AE=CE，∠C=∠EAP=45∘，
在 △CHE 与 △APE 中，
CH=AP,∠C=∠EAP,AE=CE,
∴△CHE≌△APESAS．
∴HE=PE，∠CEH=∠AEP．
∴∠HEQ=∠AEC−∠CEH−∠AEQ=∠AEC−∠AEP−∠AEQ=∠AEC−∠PEF=90∘−45∘=45∘.
∴∠HEQ=∠PEQ=45∘．
∵ 在 △HEQ 与 △PEQ 中，
HE=PE,∠HEQ=∠PEQ,EQ=EQ,
∴△HEQ≌△PEQSAS．
∴HQ=PQ．
∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12.

22. 【答案】 25 ； α−90°
【解析】（1）
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
即 ∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60∘，
∴△DAE 是等边三角形，
∴∠AED=60∘，
∴∠DEC=180∘−35∘−60∘−60∘=25∘，
故答案为：25∘．
（2）连接 CE，
∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12180∘−α=90∘−12α，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
即 ∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠B=∠ACE=90∘−12α，
∴∠DCE=290∘−12α=180∘−α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=90∘，
∴∠DEC=90∘−∠DCE=α−90∘．
故答案为：α−90∘．


23. 【答案】①③④
【解析】 ∵ 点 C 为线段 AB 的中点，
∴AC=BC，
∵ 四边形 BCDE 是正方形，
∴DE=DC=BC=BE=AC，∠E=∠DCB=90∘，
又 ∵DF=DG，
∴CG=EF，
又 ∵∠E=∠ACG=90∘，
∴△ACG≌△BEFSAS，故①正确．
∴∠A=∠EBF，∠AGC=∠BFE，
∵∠EBF+∠FBC=90∘，
∴∠A+∠FBC=90∘，
∴∠AHB=90∘，
∴AH⊥BF；故③正确．
过点 D 作 DN⊥BF 于 N，DM⊥AH 于 H，
∵∠AGC=∠BFE，
∴∠DGM=∠NFD，
又 ∵∠DNF=∠DMG=90∘，DF=DG，
∴△DFN≌△DGMAAS，
∴DM=DN，
又 ∵∠AHF=90∘=∠DNF=∠DMG，
∴∠DHG=∠DHN=45∘，故④正确；
若 DH=DG，∠DHG=45∘，
∴∠HDG=∠HGD=67.5∘，
∴∠A=22.5∘，
∵ 点 F，点 G 分别在边 DE，DC 上，
∴∠A 不是定值，
∴DH 与 HG 不一定相等，故②错误．


24. 【答案】
(1) i）证明：如图 1 中，∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60∘，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCESAS．
ii）如图 1 中，∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠FBA+∠BAD=∠FBA+∠CBE=∠CBA=60∘．
(2) 如图 2 中，在 DB 上取一点 J，使得 CJ=CD，
∵∠CDJ=60∘，CJ=CD，
∴△CDJ 是等边三角形，
∴∠JCD=∠ACB=60∘，DJ=DC=CJ，
∴∠BCJ=∠ACD，
∵CB=CA，
∴△BCJ≌△ACDSAS，
∴BJ=AD，
∴BD=BJ+DJ=AD+DC=2+5=7．
(3) 当线段 AD 取最大值时 ∠BDC=120∘．
【解析】
(3) 如图 3 中，以 CD 为边向外作等边 △CDT，连接 BT．
∵CT=CD，CB=CA，∠TCD=∠BCA=60∘，
∴∠TCB=∠DCA，
∴△TCB≌△DCASAS．
∴BT=AD．
∵CT=CD=2，BD=3，
∴3−2≤ BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD 的最小值为 1，最大值为 5．


25. 【答案】 1 或 7
【解析】设点 P 的运动时间为 t 秒，则 BP=2t，
当点 P 线段 BC 上时，
∵ 四边形 ABCD 为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90∘，此时有 △ABP≌△DCE，
∴BP=CE，即 2t=2，解得 t=1；
当点 P 在线段 AD 上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16−2t，此时有 △ABP≌△CDE，
∴AP=CE，即 16−2t=2，解得 t=7．
综上可知当 t 为 1 秒或 7 秒时，△ABP 和 △CDE 全等．

26. 【答案】 13×(12)6a
【解析】如图 1，连接 AD，DF，DB．
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120∘，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30∘，
∵∠AFE=∠ABC=120∘，
∴∠AFD=∠ABD=90∘，
在 Rt△ABD 和 RtAFD 中，
∵AF=AB,AD=AD.
∴Rt△ABD≌Rt△AFDHL，
∴∠BAD=∠FAD=12×120∘=60∘，
∴∠FAD+∠AFE=60∘+120∘=180∘，
∴AD∥EF，
∵G，I 分别为 AF，DE 中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60∘，
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，△QKM 是等边三角形，
∴∠EDM=60∘=∠M，
∴ED=EM，
同理 AF=QF，
即 AF=QF=EF=EM，
∵ 等边三角形 QKM 的边长是 a，
∴ 第一个正六边形 ABCDEF 的边长是 13a，即等边三角形 QKM 的边长的 13．
如图 2，过 F 作 FZ⊥GI 于 Z，过 E 作 EN⊥GI 于 N，
则 FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴ 四边形 FZNE 是平行四边形，
∴EF=ZN=13a，
∵GF=12AF=12×13a=16a，∠FGI=60∘（已证），
∴∠GFZ=30∘，
∴GZ=12GF=112a，
同理 IN=112a，
∴GI=112a+13a+112a=12a，即第二个等边三角形的边长是 12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是 13×12a；
同理第第三个等边三角形的边长是 12×12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是 13×12×12a；
同理第四个等边三角形的边长是 123a，第四个正六边形的边长是 13×123a；
第五个等边三角形的边长是 124a，第五个正六边形的边长是 13×123a；
⋯
第 n 个正六边形的边长是 13×12n−1a，
∴ 第七个正六边形的边长是 13×126a．


27. 【答案】
(1) ∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CED=60∘，
∴∠EDB=60∘−∠B=30∘，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=EB．
(2) ED=EB，理由如下：
如图 1，取 AB 的中点 O，连接 CO，EO，
∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠A=60∘，OC=OA，
∴△ACO 为等边三角形，
∴CA=CO，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE，
在 △ACD 和 △OCE 中，
CA=CO,∠ACD=∠OCE,CD=CE,
∴△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60∘，
∴∠BOE=60∘，
在 △COE 和 △BOE 中，
OC=OB,∠COE=∠BOE,OE=OE,
∴△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB．
(3) 如图 2，取 AB 的中点 O，连接 CO，EO，EB，
由（2）得 △ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60∘，
∴∠BOE=60∘，
由（2）可知：△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB，
∵EH⊥AB，
∴DH=BH=3，
∵GE∥AB，
∴∠G=180∘−∠A=120∘，
在 △CEG 和 △DCO 中，
∠G=∠COD,∠ECG=∠ODC,CE=CD,
∴△CEG≌△DCO，
∴CG=OD，
设 CG=a，则 AG=5a，OD=a，
∴AC=OC=4a，
∵OC=OB，
∴4a=a+3+3，
解得，a=2，
即 CG=2．

28. 【答案】B
【解析】 ∵AB 平分 ∠DAC，
∴∠CAB=∠DAB，
∵AB=AB，
∴ 若 AC=AD，则 △ABC≌△ABDSAS，故选项A中的条件，可以判定 △ABC≌△ABD；
若 BC=BD，则无法判断 △ABC≌△ABD，故选项B中的条件，不可以判定 △ABC≌△ABD；
若 ∠CBA=∠DBA，则 △ABC≌△ABDASA，故选项C中的条件，可以判定 △ABC≌△ABD；
若 ∠C=∠D，则 △ABC≌△ABDAAS，故选项D中的条件，可以判定 △ABC≌△ABD．

29. 【答案】
(1) 如图 1，
∵AC 平分 ∠BAD，CB⊥AB 于点 B，CD⊥AD 于点 D，
∴CD=CB．
(2) （ⅰ）如图 2，∠AFE=2∠ACE，理由是：
延长 AB 到 H，使 BH=ED，连接 CH，
设 ∠H=α，∠CFH=β，
∵CD=CB，∠D=∠CBH=90∘，
∴Rt△CDE≌Rt△CBHSAS，
∴∠DEC=∠H，CE=CH，
∵EF=DE+BF，DE=BH，
∴EF=BF+BH=FH，
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CHFSSS，
∴∠CFE=∠CFH，∠H=∠CEF，
∴∠AFE=180∘−2β，
△AEF 中，∠EAF=180∘−∠AEF−∠AFE=2α−180∘−2β=2α+2β−180∘，
∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠DAC=12∠DAB=α+β−90∘，
△AEC 中，∠ACE=∠DEC−∠DAC=α−α+β−90∘=90∘−β，
∴∠AFE=2∠ACE；
（ⅱ）1n+1．
【解析】
(2) （ⅱ）如图 3，延长 AB 到 H，使 BH=ED=1，连接 CH，
过 A 作 AP⊥EF 于 P，过 C 作 CM⊥EF 于 M，
∴FH=EF=n+1，
由（ⅰ）知：∠EFC=∠HFC，
∴CM=CB=CD，
∵S△AEF=S△CED，
∴12EF⋅AP=12DE⋅CD，即 12n+1⋅AP=12CM，
∴APCM=1n+1，
∵S△AEGS△EGC=12EG⋅AP12EG⋅CM=12AG12CG，
∴AGCG=APCM=1n+1．


30. 【答案】D
【解析】由作图可知，OD=OC=OʹDʹ=OʹCʹ，CD=CʹDʹ，
∴△DOC≌△DʹOʹCʹSSS，
∴∠BOA=∠BʹOʹAʹ．

31. 【答案】B
【解析】A、当 x=0，y=−3 时，满足 x>y，但是不满足 x2>y2，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对顶角相等，故本选项说法正确，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法错误，不符合题意；
D、两边及夹角对应相等的两三角形全等，故本选项说法错误，不符合题意．

32. 【答案】C
【解析】A、添加 AB=DE 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；
B、添加 BC=EF 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；
C、添加 ∠B=∠E 不能判定 △ABC≌△DEF，故本选项正确；
D、添加 AD=CF，得出 AC=DF，然后可用 ASA 进行判定，故本选项错误．

33. 【答案】 13
【解析】因为两个三角形全等，
所以 x=6，y=7，
所以 x+y=7+6=13．

34. 【答案】 ∵AE=CD，
∴AE+ED=CD+ED，
即：AD=CE，
∵EF∥BD，
∴∠BDA=∠CEF，
在 △ABD 和 △CEF 中，
AD=CE,∠BDA=∠CEF,EF=BD,
∴△ABD≌△CEFSAS，
∴∠A=∠C，
∴AB∥CF．

35. 【答案】
(1) 因为 BD⊥AE 于 D，CE⊥AE 于 E，∠BAC=90∘，
所以 ∠BDA=∠AEC=90∘，∠DBA+∠BAD=90∘，∠BAD+∠EAC=90∘，
所以 ∠DBA=∠EAC，
在 △ABD 和 △CAE 中，
∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AECAB=AC.
所以 △ABD≌△CAEAAS
(2) 由（1）知，△ABD≌△CAE，则 BD=AE，AD=CE．
因为 DE=3，CE=2．
所以 AE=AD+DE=CE+DE=5．
所以 BD=AE=5．

36. 【答案】 1 或 7
【解析】设点 P 的运动时间为 t 秒，则 BP=2t，
当点 P 在线段 BC 上时，
∵ 四边形 ABCD 为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90∘，
此时有 △ABP≌△DCE，
∴BP=CE，即 2t=2，解得 t=1；
当点 P 在线段 AD 上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16−2t，
此时有 △ABP≌△CDE，
∴AP=CE，即 16−2t=2，解得 t=7；
综上可知当 t 为 1 秒或 7 秒时，△ABP 和 △CDE 全等．

37. 【答案】A
【解析】如图，连接 EC，DC．
根据作图的过程知，
在 △EOC 与 △DOC 中，
∵OE=OD,OC=OC,CE=CD,
∴△EOC≌△DOCSSS．


38. 【答案】 ∵AD∥CB（已知），
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADE=∠CBF（等角的补角相等）．
在 △ADE 和 △CBF 中，∠ADE=∠CBF,DE=BF,∠E=∠F.
∴△ADE≌△CBFASA，
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）．

39. 【答案】在 △AFC 与 △AGB 中，
AF=AG,∠FAC=∠GAB,AB=AC,
∴△AFC≌△AGBSAS，
∴∠AFC=∠AGB，
∴∠AFD=∠AGE，
∵AE⊥BG 交 BG 的延长线于 E，AD⊥CF 交 CF 的延长线于 D．
∴∠ADF=∠AEG=90∘，
在 △ADF 与 △AEG 中
∠ADF=∠AEG,∠AFD=∠AGE,AF=AG,
∴△ADF≌△AEGAAS，
∴AD=AE．

40. 【答案】
(1) ∵△ABC 和 △CDE 是正三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BECSAS，
∴AD=BE．
(2) ∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACP=∠BCQ，AC=BC，∠CAP=∠CBQ，
∴△APC≌△BQCASA．
(3) ∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60∘，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQASA，
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60∘，
∴△CPQ 是等边三角形．

41. 【答案】
(1) EF=BE+DF
(2) 结论仍然成立，
理由如下：如图 2，延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG．
∵∠ABC+∠D=180∘，∠ABG+∠ABC=180∘，
∴∠ABG=∠D，
∵ 在 △ABG 与 △ADF 中，
AB=AD,∠ABG=∠D,BG=DF,
∴△ABG≌△ADFSAS，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∵2∠EAF=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=12∠BAD=∠EAF，
∴∠GAE=∠EAF，
又 AE=AE，
∴△AEG≌△AEFSAS，
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD．
(3) 14．
【解析】
(1) 延长 FD 到点 G．使 DG=BE．连接 AG，
在 △ABE 和 △ADG 中，
AB=AD,∠ABE=∠ADG=90∘,BE=DG,
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=100∘，∠EAF=50∘，
∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=50∘，
∴∠EAF=∠FAG=50∘，
在 △EAF 和 △GAF 中，
∵AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△EAF≌△GAFSAS，
∴EF=FG=DF+DG，
∴EF=BE+DF．
(3) 如图，延长 EA 到 H，使 AH=CF，连接 BH，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=7=AD=CD，∠BAD=∠BCD=90∘，
∴∠BAH=∠BCF=90∘，
又 ∵AH=CF，AB=BC，
∴△ABH≌△CBFSAS，
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵∠EBF=45∘，
∴∠CBF+∠ABE=45∘=∠HBA+∠ABE=∠EBF，
∴∠EBH=∠EBF，
又 ∵BH=BF，BE=BE，
∴△EBH≌△EBFSAS，
∴EF=EH，
∴EF=EH=AE+CF，
∴△DEF 的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.


42. 【答案】等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE；CE；AAS；全等三角形的对应边相等
【解析】 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵∠ADC=∠B+∠BAD（三角形的外角性质），
且 ∠ADE=∠B，
∴∠ADC=∠ADE+∠BAD，
又 ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
在 △BAD 和 △CDE 中．
∠B=∠C,∠BAD=∠CDE,BD=CE.
∴△BAD≌△CDEAAS
∴AD=DE（全等三角形的对应边相等）．

43. 【答案】
(1) 证明：∵GD∥BA，
∴∠BAE=∠G，
在 △ABE 和 △GFE 中，
∵ ∠BAE=∠G,AE=EG,∠AEB=∠GEF,
∴△ABE≌△GFE ASA，
∴AB=GF．
(2) ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵GD∥BA，
∴∠B=∠DFC，
∴∠C=∠DFC，
∴DF=DC，
设 DC=x，则 AB=AC=3+x，
∵DG=10，
∴FG+DF=AB+DC=10，即 3+x+x=10，
∴x=72，
∴DC=72．
(3) 连接 AF，
∵S△ADF:S△CDF=AD:DC，
∵S△DCF=7，AD=3，CD=72，
∴S△ADF:7=3:72，
∴S△ADF=6，
同理得：S△ADF:S△AFG=DF:FG，
即 6:S△AFG=72:132，
∴S△AFG=787，
由（1）知：△ABE≌△GFE，
∴S△ABF=S△AFG=787，
∴S△ABC=787+6+7=1697．

44. 【答案】
(1) ∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴180∘−∠ADC=180∘−∠ACD，即 ∠ADB=∠ACE，
在 △ABD 和 △AEC 中，
AD=AC,∠ADB=∠ACE,BD=CE,
∴△ABD≌△AECSAS，
∴AB=AE．
(2) 延长 CE 到 E，使 CE=BD，
由（1）知，AB=AE，
∴∠E=∠B=60∘，
∴∠EAB=180∘−∠E−∠B=60∘，
∴△ABE 是等边三角形，
同理，△DBF 是等边三角形，
∴AB=BE．BF=BD=CE，
∴AB−BF=BE−CE，即 AF=BC．
(3) 猜想：PC=2BD，
理由如下：在 CP 上取点 E，使 CE=BD，连接 AE，
由（1）可知：AB=AE，
∴∠AEB=∠B=60∘，
∴∠AEP=180∘−∠AEB=120∘，
∵DF=DB，∠DFB=∠B=60∘，
∴∠PDF=∠DFB+∠B=120∘，
∴∠AEP=∠PDF，
又 ∵PA=PF，
∴∠PAF=∠PFA，
∵∠APE=180∘−∠B−∠PAF=120∘−∠PAF，
∠PFD=180∘−∠DFB−∠PFA=120∘−∠PFA，
∴∠APE=∠PFD，
在 △APE 和 △PFD 中，
∠APE=∠PFD,∠AEP=∠PDF,PA=PF,
∴△APE≌△PFDAAS，
∴PE=DF，
又 ∵DF=DB，
∴PE=DB，
又 ∵PC=PE+CE，
∴PC=2BD．

45. 【答案】D
【解析】由题意可得，
AD=BC，AB=CD，
在 △ADC 和 △CBA 中，
AD=CB,DC=BA,AC=CA.
∴△ADC≌△CBASSS．

46. 【答案】C
【解析】因为 AE=CF，
所以 AE+EF=CF+EF，
所以 AF=CE，
因为 DF∥BE，
所以 ∠DFA=∠BEC，
所以若①②③为条件，不能证明 △AFD≌△CEB，
若为①②④条件，能证明 △AFD≌△CEBAAS，
若为①③④条件，不能证明 △AFD≌△CEB，
若②③④为条件，能证明 △AFD≌△CEBAAS．

47. 【答案】
(1) ∵AD⊥AE，EH⊥AC，
∴∠AHE=∠EAD=∠ACB=90∘，
∴∠DAC+∠ADC=90∘，∠DAC+∠EAH=90∘，
∴∠EAH=∠ADC，
又 ∵AD=AE，∠ACD=∠AHE=90∘，
∴△AHE≌△DCAAAS，
∴EH=AC；
(2) 如图 2，过点 E 作 EN⊥AM，交 AM 的延长线于 N，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE=∠EAD=∠ACB=90∘，
∴∠DAC+∠ADC=90∘，∠DAC+∠EAN=90∘，
∴∠EAN=∠ADC，
又 ∵AD=AE，∠ACD+∠ANE=90∘，
∴△ANE≌△DCAAAS，
∴EN=AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又 ∵∠BMC=∠EMN，∠BCM=∠ENM=90∘，
∴△ACD≌△ENAAAS，
∴BM=EM；
(3) 14.
【解析】
(3) ∵AC=7 CM，
∴ 设 CM=a，AC=7a，
∵△ACD≌△ENA，
∴CM=MN=a，BC=NE=AC=7a，
∴AN=AC+CM+MN=9a，
∵△ANE≌△DCA，
∴AN=CD=9a，
∴BD=2a，
∴S△ADBS△AEM=12BD⋅AC12AM⋅EN=12×2a×7a12×8a×7a=14.

48. 【答案】 (m+n)22 或 (m−n)22
【解析】分两种情况：
① △BDE 绕点 B 逆时针旋转小于 90∘ 时，如图 1 所示：
连接 CEʹ，
∵△ABC，△BDE 都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，将 △BDE 绕点 B 逆时针方向旋转后得 △BDʹEʹ，
∴BDʹ=BEʹ=BD，∠DʹBEʹ=90∘，∠DʹBD=∠ABEʹ，∠BEʹDʹ=45∘，DE=DʹEʹ=n，
∴∠ABDʹ=∠CBEʹ，
在 △ABDʹ 和 △CBEʹ 中，
BA=BC,∠ABDʹ=∠CBEʹ,BDʹ=BEʹ,
∴△ABDʹ≌△CBEʹSAS，
∴∠ADʹB=∠CEʹB=45∘，ADʹ=CEʹ，
∴∠CEʹB+∠BEʹDʹ=45∘+45∘=90∘，
∴CEʹ⊥ADʹ，
ADʹ=AEʹ+DʹEʹ=m+n，
∴S△ADʹC=12ADʹ⋅CEʹ=12ADʹ2=m+n22；
② △BDE 绕点 B 逆时针旋转大于 90∘ 时，如图 2 所示：
连接 CEʹ，
∵△ABC，△BDE 都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，将 △BDE 绕点 B 逆时针方向旋转后得 △BDʹEʹ，
∴BDʹ=BEʹ=BD，∠DʹBEʹ=90∘，∠BEʹDʹ=∠BDʹEʹ=45∘，DE=DʹEʹ=n，
∵∠ABDʹ+∠EʹBDʹ=∠CBEʹ+∠EʹBDʹ，
∴∠ABDʹ=∠CBEʹ，
在 △ABDʹ 和 △CBEʹ 中，
BA=BC,∠ABDʹ=∠CBEʹ,BDʹ=BEʹ,
∴△ABDʹ≌△CBEʹSAS，
∴∠ADʹB=∠CEʹB，ADʹ=CEʹ，
∵∠BDʹEʹ=45∘，
∴∠ADʹB=∠CEʹB=180∘−45∘=135∘，
∴∠CEʹA=∠CEʹB−∠BEʹDʹ=135∘−45∘=90∘，
∴CEʹ⊥ADʹ，
ADʹ=AEʹ−DʹEʹ=m−n，
∴S△ADʹC=12ADʹ⋅CEʹ=12ADʹ2=m−n22．


49. 【答案】 26
【解析】如图，在线段 AD 上截取 AF=AB，DC=DG，连接 EF，EG．
∵E 是 BC 的中点，
∴BE=CE=12BC，
∵AB=AF，∠BAE=∠FAE，EA=EA，
∴△ABE≌△AFESAS，
同法可证，△DEG≌△DECSAS，
∴BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=EG，∠CED=∠GED，
∵BE=CE，
∴EF=EG，
∵∠AED=120∘，∠AEB+∠CED=180∘−120∘=60∘，
∴∠AEF+∠GED=60∘，
∴∠FEG=60∘，
∴△FEG 是等边三角形．
∴FG=GE=EF=12BC，
∵AD=AF+FG+GD，
∴AD=AB+CD+12BC=2+18+6=26，
故答案为 26．


50. 【答案】
(1) 如图 1 中，延长 CB 到 G，使得 BG=DE，连接 AG．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABG=90∘，
∵DE=BG，
∴△ADE≌△ABGSAS，
∴∠BAG=∠DAE，AG=AE，
∵ 将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90∘，得到线段 FH，
∴FA=FH，∠AFH=90∘，
∴∠FAH=∠AHF=45∘，
∴∠BAF+∠DAE=∠BAF+∠BAG=45∘．
∴∠FAG=∠FAE，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFESAS，
∴EF=FG，
∵FG=BG+BF=DE+BF，
∴EF=BF+DE，
∴△ECF 的周长 =EF+CF+CE=BF+CF+DE+CE=BC+CD=2x．
(2) 如图 1 中，过点 H 作 HM⊥BC 交 BC 的延长线于 M．
∵∠ABF=∠AEH=∠M=90∘，
∴∠AFB+∠HFM=90∘，∠FHM+∠FHM=90∘，
∴∠AFB=∠FHM，
∵AF=FH，
∴△ABF≌△FMHAAS，
∴HM=BF，AB=FM=BC，
∴BF=CM=HM，
∴∠HCM=∠HCE=45∘，
∴∠HCF=135∘，
由（1）可知，∠AFB=∠AFE，
∵∠AFB+∠MFH=90∘，∠AFE+∠EFH=90∘，
∴∠MFH=∠EFH，设 ∠MFH=∠EFH=α，则 ∠CHF=45∘−α，
∵∠AHF=45∘，
∴∠EHC=45∘+45∘−α=90∘−α，
∵∠EFC=2α，
∴∠EHC=90∘−12∠EFC．
(3) ∠EHC=12∠EFC．
【解析】
(3) 结论：∠EHC=12∠EFC．
理由：如图 2 中，延长 BC 到 M，
设 ∠HFM=α，
∵FA=FH，∠AFH=90∘，
∴∠AHF=45∘，
∵∠HCM=45∘，（已证），
∴∠HCM=∠AHF=45∘，
∵∠HFM=∠HCM+∠CHF，
∴∠CHF=α−45∘，
∴∠EHC=45∘−α−45∘=90∘−α，
∵∠EFC=2∠AFB=290∘−α=180∘−2α，
∴∠EHC=12∠EFC．


51. 【答案】D
【解析】A、添加 ∠A=∠D 可利用 AAS 判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加 AB=DC 可利用 SAS 定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加 ∠ACB=∠DBC 可利用 ASA 定理判定 △ABC≌△DCB ,故此选项不合题意；
D、添加 AC=BD 不能判定 △ABC≌△DCB，故此选项符合题意．

52. 【答案】
(1) 因为 AB=AC，
所以 ∠ECB=∠DBC，
因为点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，
所以 BD=12AB，CE=12AC，
所以 BD=CE，在 △DBC 与 △ECB 中，
BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB.
所以 △DBC≌△ECBSAS．
(2) 由（1）知：△DBC≌△ECB，
所以 ∠DCB=∠EBC，
所以 OB=OC．

53. 【答案】
(1) ∵△ABC，△BDE 均为等边三角形，
∴AB=AC=BC，BD=BE=DE，∠ABC=∠EBD=60∘．
∴180∘−∠EBD=180∘−∠ABC，即 ∠ABE=∠CBD．
在 △ABE 与 △CBD 中，
AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBDSAS．
∴AE=CD．
(2) ∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAG=∠BCH．
∵∠ABC=∠EBD=60∘，
∴∠CBH=180∘−60∘×2=60∘．
∴∠ABC=∠CBH=60∘．
在 △ABG 与 △CBH 中，
∠BAG=∠BCH,AB=CB,∠ABG=∠CBH,
∴△ABG≌△CBHASA．
∴AG=CH．
(3) ∵△ABG≌△CBH，
∴BG=BH．
∵∠CBH=60∘，
∴△GHB 是等边三角形．
∴∠BGH=∠ABC=60∘．
∴GH∥AD．

54. 【答案】D
【解析】A.面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；
B.两条平行直线被第三条直线所截同位角相等，故此选项错误；
C.抛一枚硬币正面朝上的概率是 12，则表示每抛硬币 2 次就有 1 次出现正面朝上，只有实验次数非常多的情况下，频率接近概率，故此选项错误；
D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，正确．

55. 【答案】 ∵BF∥AC，
∴∠F=∠AED，
∵D 为 AB 的中点，
∴AD=BD，
在 △ADE 和 △BDF 中，
∠AED=∠F,∠ADE=∠BDF,AD=BD,
∴△ADE≌△BDFAAS，
∴AE=BF=9，
∵AB=AC，
∴AC=2AD=12，
∴CE=AC−AE=12−9=3．

56. 【答案】
(1) DF+BE=EF
(2) 如图 2，延长 AP 至 T，使得 PT = AP，连接 AEʹ，AFʹ，ET，
由题可得，点 E 关于直线 AB 的对称点为 Eʹ，点 F 关于直线 AD 的对称点为 Fʹ，
∴B 为 EEʹ 的中点，D 为 FFʹ 的中点，
又 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90∘，
∴AB 为 EEʹ 的中垂线，AD 为 FFʹ 的中垂线，
∴AE=AEʹ，AF=AFʹ，
∵ 点 P 是 EF 的中点，
∴PE=PF，
又 ∵∠EPT=∠FPA，AP=TP，
∴△PET≌△PFASAS，
∴ET=AF，∠PET=∠PFA，
∴ET=AFʹ，且 ∠AET=∠AEP+∠PET=∠AEP+∠AFP=180∘−∠EAF，
∵AEʹ=AE，AB=AB，∠ABEʹ=∠ABE=90∘，
∴Rt△ABE≌Rt△ABEʹHL，
∴∠BAEʹ=∠BAE，
同理可得 ∠FAD=∠FʹAD，
∴∠EʹAFʹ=∠BAEʹ+∠DAFʹ+∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠BAD=∠BAD−∠EAF+∠BAD=180∘−∠EAF.
∴∠AET=∠EʹAFʹ，
又 ∵AEʹ=AE，AFʹ=ET，
∴△EʹAFʹ≌△AETSAS，
∴EʹFʹ=AT=2AP．
(3) 四边形 MEFN 的周长存在最小值 2m+n．
如图 3，作点 E 关于 AB 的对称点 Eʹ，作点 F 关于 AD 的对称点 Fʹ，连接 EʹFʹ，交 AB 于 M，交 AD 于 N，连接 ME，NF，
∵ 点 E 关于直线 AB 的对称点为 Eʹ，点 F 关于直线 AD 的对称点为 Fʹ，
∴B 为 EEʹ 的中点，D 为 FFʹ 的中点，
又 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90∘，
∴AB 为 EEʹ 的中垂线，AD 为 FFʹ 的中垂线，
∴ME=MEʹ，NF=NFʹ，
∴四边形MEFN的周长=EM+MN+FN+EF=MEʹ+MN+NFʹ+EF=EʹFʹ+EF.
由（2）可得 EʹFʹ=2AP，由（1）可得 EF=BE+DF，
且 AP=m，BE+DF=n，
∴EʹFʹ+EF=2m+n，
∴ 当 Eʹ，M，N，Fʹ 在同一直线上时，四边形 MEFN 的周长有最小值，最小值为 2m+n．
【解析】
(1) 线段 BE，EF，DF 的数量关系是 DF+BE=EF．
理由：如图 1 所示，延长 CB 至 K，使得 BK=DF，连接 AK，则 △ABK≌△ADF，
∴AK=AF，∠BAK=∠DAF，
∴∠EAK=∠EAB+∠BAK=∠EAB+∠DAF=90∘−∠EAF=45∘，
∴∠EAK=∠EAF，
∴△EAK≌△EAFSAS，
∴EF=EK=BK+BE=DF+BE．


57. 【答案】A
【解析】方法一：
A：添加 AB=DC，无法判定 △ABE≌△DCE，故A符合题意；
B：添加 ∠A=∠D，可通过“ASA”证明 △ABE≌△DCE；
C：添加 ∠B=∠C，可通过“AAS”证明 △ABE≌△DCE；
D：添加 AC=DB，
∵AE=DE，
∴AC−AE=BD−DE，
∴BE=CE，可通过“SAS”证明 △ABE≌△DCE；
故添加B，C，D选项中的条件，都可以证明 △ABE≌△DCE．
方法二：
根据题意，已知 AE=DE，∠AEB=∠DEC，
∴ 只需添加对顶角的邻边，即 EB=EC（由 AC=DB 可以得到），
或任意一组对应角，即 ∠A=∠D，∠B=∠C；
∴ 选项A符合题意．

58. 【答案】
(1) ∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC 是 ∠EAB 的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB．
(2) AC 垂直平分 BE，
证明：由（1）知，CE=CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA=∠CBA=90∘，
在 Rt△CEA 和 Rt△CBA 中，
CE=CB,AC=AC,
∴Rt△CEA≌Rt△CBAHL，
∴AE=AB，CE=CB，
∴ 点 A，点 C 在线段 BE 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分 BE．

59. 【答案】
(1) ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又 ∵ 点 P，Q 运动速度相同，
∴AP=BQ，
在 △ABQ 与 △CAP 中，
∵ AB=CA,∠ABQ=∠CAP,AP=BQ,
∴△ABQ≌△CAPSAS；
(2) 点 P，Q 在运动的过程中，∠QMC 不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60∘．
(3) 点 P，Q 在运动到终点后继续在射线 AB，BC 上运动时，∠QMC 不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180∘−∠PAC=180∘−60∘=120∘．

60. 【答案】C
【解析】 ∵AE⊥CE 于点 E，BD⊥CE 于点 D，
∴∠AEC=∠D=∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ACE=90∘，∠ACE+∠BCD=90∘，
∴∠A=∠BCD，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBDAAS，
∴AE=CD=5 cm，CE=BD=2 cm，
∴DE=CD−CE=5−2=3 cm．
故选：C．

61. 【答案】 BC=EF
【解析】 ∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即 AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠EFD，
∵ 在 △ABC 和 △DEF 中，
AC=DF,∠BCA=∠EFD,BC=EF,
∴△ABC≌△DEFSAS．

62. 【答案】
(1) ∵E 是边 AC 的中点，
∴AE=CE．
又 ∵CF∥AB，
∴∠A=∠ACF，∠ADF=∠F，
在 △ADE 与 △CFE 中，
∠A=∠ACF，∠ADF=∠F，AE=CE，
∴△ADE≌△CFEAAS．
(2) ∵CE=5，E 是边 AC 的中点，
∴AE=CE=5，
∴AC=10，
∴AB=AC=10，
∴AD=AB−BD=10−2=8，
∵△ADE≌△CFE，
∴CF=AD=8．

63. 【答案】
(1) BD=CE，BD⊥CE；
理由：
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 与 △ACE 中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45∘，
∵∠ACB=45∘，
∴∠BCE=90∘，
∴BD⊥CE．
(2) 当 AD⊥BC 时，AD 最小，则四边形 ADCE 的周长最小，
即当四边形 ADCE 为正方形时，四边形 ADCE 的周长最小是 6，
∴AD=32，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC=2AD=3．

64. 【答案】 440
【解析】作 DM⊥BC 于 M，AN⊥BC 于 N，如图所示：
则 ∠CMD=∠BMD=∠ANE=90∘，
∵∠ABC=45∘，
∴△BDM，△BAN 是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BN=AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN=∠AEN+∠DCM=90∘，
∴∠EAN=∠DCM，
在 △AEN 和 △CDM 中，
∠ANE=∠CMD,∠EAN=∠DCM,AE=CD,
∴△AEN≌△CDMAAS，
∴AN=CM，EN=DM，
∴BN=CM，
∴BM=CN，
∴BM=DM=CN=EN，
∵BE:CE=5:6，
∴ 设 BE=5a，
则 CE=6a，BC=BE+CE=11a，BM=DM=CN=EN=12CE=3a，CM=BC−BM=8a，
∴CD2=DM2+CM2=3a2+8a2=73a2，
∵S△BDE=12BE×DM=12×5a×3a=75，
∴a2=10，
∵AE⊥CD，AE=CD，
∴S四边形ADEC=12CD×AE=12CD2=12×73a2=12×73×10=365，
∴S△ABC=S△BDE+S四边形ADEC=75+365=440．


65. 【答案】
(1) =
(2) ①结论：DE=CD+AE．
理由：如图 2 中，在 AC 的延长线上取一点 T，使得 ∠TBD=12∠ABC，连接 BT．
∵∠TBD=12∠ABC，∠DBE=50∘=12∠ABC，
∴∠CBT+∠CBD=∠CBD+∠ABE=12∠ABC，
∴∠ABE=∠CBT，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠BAE=∠BAC，
∴∠WAB=∠ACB，
∴∠BAE=∠BCT，
∴△BAE≌△BCTASA，
∴TC=AE，BE=BT，
∵BD=BD，∠DBE=∠DBT，
∴△DBE≌△DBTSAS，
∴DE=DT，
∴DE=DC+CT=AE+CD．
②由①可知：S△ABE=S△BCT，S△BDE=S△BDT，
∵S四边形ABDE−S△BCD=6，
∴S△BDC+2S△BCT−S△BDC=6，
∴S△BCT=3，
∵2DE=5AE，AD=209AE，设 DE=5k，AE=2k，则 AD=409k，
CD=DT−CT=DE−AE=3k，
∴AC=AD+CD=409k+3k=679k，
∴AC:CT=67:18，
∴S△ABC=6718×S△CBT=676．
【解析】
(1) 如图 1 中，在 AC 上取一点 T，使得 ∠TBD=12∠ABC，连接 BT．
∵∠TBD=12∠ABC，∠DBE=50∘=12∠ABC，
∴∠CBT+∠ABD=∠ABD+∠ABE=12∠ABC，
∴∠ABE=∠CBT，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠C，
∵∠BAE=∠BAC，
∴∠EAB=∠C，
∴△BAE≌△BCTASA，
∴TC=AE，BE=BT，
∵BD=BD，∠DBE=∠DBT，
∴△DBE≌△DBTSAS，
∴DE=DT，
∴AE+DE=CT+DT=CD．


66. 【答案】 SSS；B；BAC；全等三角形的对应角相等；BAE；EAC；DEB；EAC；DEB

67. 【答案】
(1) △AEF 是等腰直角三角形，理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90∘，AD=BC=a+b，
在 △ABE 和 △ECF 中，AB=CE,∠B=∠C,BE=CF,
∴△ABE≌△ECFSAS，
∴AE=EF，∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB=90∘，
∴∠CEF+∠AEB=90∘，
∴∠AEF=90∘，
∴△AEF 是等腰直角三角形．
(2) ∵∠B=90∘，BE=CF=a，AB=CE=b，
∴AE2=AB2+BE2=a2+b2，
∴△AEF 的面积 =12AE×EF=12AE2=12a2+b2．
(3) ∵△ABE 的面积 =24=12ab，
∴ab=48，
∵BC=14，
∴a+b=14，
∴a+b2=142，
∴a2+2ab+b2=196，
∴a2+b2=100，
∴a2−2ab+b2=100−96=4，
即 a−b2=4，
∵CD>CF，
∴b>a，
∴b−a=2，
∴△ADF 的面积 =12AD×DF=12BC×b−a=12×14×2=14．

68. 【答案】
(1) ∵∠PEF=∠AED，
∴180∘−∠PEF=180∘−∠AED，
∴∠AEB=∠AEF，
∵AP 平分 ∠BAD，
∴∠BAP=∠FAP，
在 △AEB 和 △AEF 中，∠BAP=∠FAP,AE=AE,∠AEB=∠AEF,
∴△AEB≌△AEFASA，
∴AB=AF；
(2) ① ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60∘，
∵AB=AF，
∴AF=AC，
设 ∠BAP=∠FAP=x，则 ∠FAC=60∘−2x，
在 △ACF 中，∠AFC=12180∘−60∘−2x=x+60∘，
又 ∵∠AFC=∠FAP+∠APC=x+∠APC，
∴∠APC=60∘；
② AP=PF+PC，理由如下：
延长 CP 至点 M，使 PM=PF，连接 BM，BP，如图所示：
在 △APB 和 △APF 中，AB=AF,∠BAP=∠FAP,AP=AP,
∴△APB≌△APFSAS，
∴∠APC=∠APB=60∘，PB=PF，
∴∠BPM=60∘，PM=PB，
∴△BPM 是等边三角形，
∴BP=BM，∠ABP=∠CBM=60∘+∠PBC，
在 △ABP 和 △CBM 中，AB=CB,∠ABP=∠CBM,BP=BM,
∴△ABP≌△CBMSAS，
∴AP=CM=PM+PC=PF+PC．

69. 【答案】C
【解析】 ∵∠A=∠D，∠B=∠DFE，
∴ 当 BE=CF 时，即 BC=EF，△ABC≌△DFEAAS；
当 AB=DF 时，△ABC≌△DFEASA；
当 AC=DE 时，即 BC=EF，△ABC≌△DFEAAS．

70. 【答案】
(1) ∵∠BAD=∠CAE=90∘，
∴∠BAC+∠CAD=90∘，∠CAD+∠DAE=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
在 △BAC 和 △DAE 中，
AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,
∴△BAC≌△DAESAS．
(2) ∵∠CAE=90∘，AC=AE，
∴∠E=45∘，
由（1）知 △BAC≌△DAE，
∴∠CAB=∠DAE，∠BCA=∠E=45∘，
∠FAB+∠DAE=∠FAB+∠CAB=∠FAC，
∵∠AFC=90∘，∠BCA=45∘，
∴∠FAC=45∘，
∴∠FAB+∠DAE=45∘．
(3) CE=2BF+2DE；理由如下：
延长 BF 到 G，使得 FG=FB，连接 AG，如图所示：
∵AF⊥BG，
∴AB=AG，
∴∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45∘，
在 △CGA 和 △CDA 中，
∠GCA=∠DCA,∠CGA=∠CDA,AG=AD,
∴△CGA≌△CDAAAS，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE，
∴CE=2BF+2DE．

71. 【答案】 3 或 92
【解析】设点 P 运动的时间为 t 秒，则 BP=3t，CP=8−3t，
∵∠B=∠C，
∴ ①当 BE=CP=6，BP=CQ 时，△BPE 与 △CQP 全等，
此时，6=8−3t，
解得 t=23，
∴BP=CQ=2，
此时，点 Q 的运动速度为 2÷23=3 厘米/秒；
②当 BE=CQ=6，BP=CP 时，△BPE 与 △CQP 全等，
此时，3t=8−3t，解得 t=43，
∴ 点 Q 的运动速度为 6÷43=92 厘米/秒．

72. 【答案】 1 ； 45
【解析】如图，作 PG∥BC 交 AC 于 G，连接 DF．
∵△ABC 是等边三角形，AP=PB，PG∥BC，
∴AG=GC，
∵AC=AB，
∴AG=AP，
∵∠A=60∘，
∴△APG 是等边三角形，
∴PG=PA=PB，∠APG=60∘，
∴∠BPG=∠DPE=120∘，
∴∠DPG=∠EPB，
∵∠PGD=∠B=60∘，
∴△PDG≌△PEBASA，
∴PD=PE，
PDPE=1，
∵PD⊥PF，HP⊥EP，
∴∠DPF=∠EPH=90∘，
∴∠DPH=∠EPF=30∘，
∵PD=PF=PE，
∴∠PFE=∠PEF=75∘，
∴∠PEB=∠PDG=105∘，
∴∠AHP=180∘−105∘−30∘=45∘，
∵PD=PF，∠DPF=90∘，
∴∠DFP=∠PHD=∠PDF=45∘，
∴P，F，H，D 四点共圆，
∴∠PHF=∠PDF=45∘．（也证明 △POF∽△DOH，推出 △POD∽△FOH，可得结论）
法二：作 PJ⊥AC 于 J，PT⊥BC 于 T，PW⊥FH 于 W，将 △PGH 绕点 P 顺时针旋转 120∘ 得到 △PBT．
易知 PJ=PQ，再证明 △PFH≌△PFT，推出 PQ=PW，推出 PJ=PW，再证明 △PHJ≌△PHW 即可得到结论．
法三：在 AD 上取点 K，使 PK=PD=PE，此时 ∠HPK=∠HPF=60∘，可证明 △HPK≌△HPF，
∴∠AHP=∠PHF=45∘．


73. 【答案】
(1) ∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=63∘，
∴∠EAB=54∘，
∵∠BAC=45∘，∠EAF+∠BAC=180∘，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180∘，
∴54∘+2×45∘+∠FAC=180∘，
∴∠FAC=36∘．
(2) EF=2AD；理由如下：
延长 AD 至 H，使 DH=AD，连接 BH，如图 1 所示：
∵AD 为 △ABC 的中线，
∴BD=CD，
在 △BDH 和 △CDA 中，BD=CD,∠BDH=∠CDA,DH=AD,
∴△BDH≌△CDASAS，
∴HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘，
∵∠EAF+∠BAC=180∘，
∴∠EAF=∠ABH，
在 △ABH 和 △EAF 中，AE=AB,∠EAF=∠ABH,AF=BH,
∴△ABH≌△EAFSAS，
∴EF=AH=2AD．
(3) ∠ACB−12∠CAF=55∘；理由如下：
由（2）得，AD=12EF，又点 G 为 EF 中点，
∴EG=AD，
由（2）△ABH≌△EAF，
∴∠AEG=∠BAD，
在 △EAG 和 △ABD 中，AE=AB,∠AEG=∠BAD,EG=AD,
∴△EAG≌△ABDSAS，
∴∠EAG=∠ABC=70∘，
∵∠EAF+∠BAC=180∘，
∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF=180∘，
即：70∘+2∠BAC+∠CAF=180∘，
∴∠BAC+12∠CAF=55∘，
∴∠BAC=55∘−12∠CAF，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−70∘−∠ACB=110∘−∠ACB，
∴55∘−12∠CAF=110∘−∠ACB，
∴∠ACB−12∠CAF=55∘．

74. 【答案】C

75. 【答案】B
【解析】A，利用 SAS 判断出 △PCA≌△PCB，
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90∘，
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，不符合题意；
B，过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，符合题意；
C，利用 HL 判断出 △PCA≌△PCB，
∴CA=CB，
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，不符合题意；
D，利用 SSS 判断出 △PCA≌△PCB，
∴∠PCA=∠PCB=90∘，
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，不符合题意．

76. 【答案】 2
【解析】 ∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90∘，
∴∠EBC+∠BCE=90∘．
∵∠BCE+∠ACD=90∘，
∴∠EBC=∠DCA．
在 △CEB 和 △ADC 中，
∠E=∠ADC,∠EBC=∠DCA,BC=AC,
∴△CEB≌△ADCAAS，
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC−CD=3−1=2．

77. 【答案】 ∵CE∥BF，
∴∠ACE=∠DBF，
∵AE=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即 AC=DB，
在 △AEC 和 △DFB 中
EC=FB,∠ACE=∠DBF,AC=DB,
∴△AEC≌△DFBSAS ,
∴∠A=∠D，
∴AE∥DF．

78. 【答案】
(1) ∵ 点 E 是 AC 的中点，AC⊥BD，
∴AD=CD，△ADC 是等腰三角形，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AC⊥BD，BF⊥CD，
∴∠BEG=∠CFG=90∘，
∵∠BGE=∠FGC，
∴∠EBG=∠FCG，
∴∠EBG=∠DAE，
∵∠BEG=∠AED，
∴∠BGE=∠ADE．
(2) ① ∵ 点 E 是 AC 的中点，AC⊥BD，
∴△ABC 是等腰三角形，
∵∠ABC=90∘，
∴∠BAE=∠ABE=45∘，
∴AE=BE，
在 △AED 和 △BEG 中，
∠EAD=∠EBG,AE=BE,∠AED=∠BEG,
∴△AED≌△BEGASA，
∴DE=EG；
② ∵∠ABC=90∘，点 E 是 AC 的中点，
∴AE=CE=BE=12AC=12×8=4，
∵S△BCG=12CG⋅BE=12×CG×4=2CG，
∴2CG=4，
∴CG=2，
∴DE=EG=CE−CG=4−2=2，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AC⋅BE+12AC⋅DE=12×8×4+12×8×2=24．

79. 【答案】 122°
【解析】 ∵∠E=118∘，
∴∠EDA+∠EAD=180∘−∠E=180∘−118∘=62∘，
∴△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60∘，
在 △ABC 和 △DEA 中，
AB=DE,AC=AD,BC=AE,
∴△ABC≌△DEASSS，
∴∠B=∠E=118∘，∠BAC=∠EDA，∠ACB=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD+∠BAC+∠EAD=60∘+∠ADE+∠EAD=60∘+62∘=122∘.

80. 【答案】 117
【解析】 ∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90∘，
∵AB=BC，OA=OC，OB=OB，
∴△AOB≌△COB，
∴∠AOB=∠COB=45∘，∠ABO=∠CBO=18∘，
∴∠OAB=180∘−∠AOB−∠ABO=117∘．

81. 【答案】 ∵AB∥EF，
∴∠B=∠F，
在 △ABO 和 △EFO 中，
∠B=∠F,∠AOB=∠EOF,AO=EO,
∴△ABO≌△EFOAAS，
∴OB=OF，
∵BD=CF，
∴OD=OC，
在 △AOC 和 △EOD 中，
AO=EO,∠AOC=∠EOD,OC=OD,
∴△AOC≌△EODSAS，
∴∠AOC=∠OED，
∴AC∥ED．

82. 【答案】
(1) 设 PC 与 AD 交点为 F，如图 1 所示：
∵PC⊥AB，AD⊥BP，
∴∠PCA=∠PDA=90∘，
∵∠CFA=∠PFD，
∴∠BAE=∠CPB=15∘；
(2) 在这个变化过程中线段 EF 的长度不发生变化；理由如下：
由（1）可得：∠BAE=∠CPB，即 ∠FAE=∠CPB，
在 △EFA 和 △BCP 中，
∠EFA=∠BCP=90∘,∠FAE=∠CPB,AE=BP,
∴△EFA≌△BCPAAS，
∴EF=BC，
∵ 点 C 是线段 AB 的中点，AB=8，
∴BC=12AB=4，
∴EF=4；
(3) 连接 PA，如图 2 所示：
∵ 点 C 是线段 AB 的中点，PC⊥AB，
∴AP=BP=AE，∠APC=∠CPB，
∴△APB，△PAE 都为等腰三角形，
设 ∠APC=∠CPB=x，∠BPG=y，则 ∠APG=∠AEP=2x+y，
∵∠GAB=∠CPB=x，∠PEA=∠EAG+∠G，
∴2x+y=x+∠G，
∴∠G=x+y，
在 Rt△ADB 中，∠DBA=90∘−∠BAD=90∘−x，
∴∠G+∠BPG=90∘−x，
即：x+y+y=90∘−x，
∴x+y=45∘，
∴∠G=45∘．

83. 【答案】D
【解析】 ∵∠B=∠E=90∘，
∴∠A+∠1=90∘，∠D+∠2=90∘，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2=90∘，故D错误；
∴∠A=∠2，故B正确；
∴∠A+∠D=90∘，故A正确；
在 △ABC 和 △CED 中，
∠A=∠2,∠B=∠E,AC=CD,
∴△ABC≌△CEDAAS，故C正确．

84. 【答案】
(1) ∵BE⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，
∴∠AFB=∠AFE=90∘，
又 ∵BF=EF，AF=AF，
∴△ABF≌△AEFSAS．
(2) ∵∠AFB=∠ACB=90∘，
∴∠CBE=180∘−∠AFB−∠BDF=90∘−∠BDF，
∠CAD=180∘−∠ACB−∠ADC=90∘−∠ADC，
又 ∵∠ADC=∠BDF，
∴∠CBE=∠CAD，
又 ∵∠BCE=∠ACD=90∘，BC=AC，
∴△BCE≌△ACDASA，
∴CE=CD．

85. 【答案】 65
【解析】如图，作 DE⊥AC 于 E，DF⊥AB 于 F，在 AB 上截取 AH，使得 AH=AE，连接 DH．
∵AD 平分 ∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∵S△ABDS△ACD=12⋅AB⋅DF12⋅AC⋅DE=BDCD=32，
∴ABAC=3:2，
设 AB=6k，则 AC=4k，
∵AH=AC，AD=AD，∠DAH=∠DAC，
∴△DAH≌△DACSAS，
∴DH=DC，AC=AH=4k，∠ACD=∠AHD，
∴BH=2k，
∵∠AHD=∠B+∠HDB，∠ACD=2∠B，
∴∠B=∠HDB，
∴BH=DH=CD=2k，BD=3k，
∴AB=6k，BC=5k，
∴AC+DCBC=ABBC=65．


86. 【答案】
(1) 如图 1，过点 C 作 CF⊥AD，垂足为 F，
∵AC 平分 ∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠CBE+∠ADC=180∘，∠CDF+∠ADC=180∘，
∴∠CBE=∠CDF，
在 △BCE 和 △DCF 中，
∠CBE=∠CDF,∠CEB=∠CFD=90∘,CE=CF.
∴△BCE≌△DCFAAS，
∴BC=DC．
(2) AD−AB=2BE，
理由如下：如图 2，过点 C 作 CF⊥AD，垂足为 F，
∵AC 平分 ∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，AE=AF，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，∠ABC+∠CBE=180∘，
∴∠CDF=∠CBE，
在 △BCE 和 △DCF 中，
∠CBE=∠CDF,∠CEB=∠CFD=90∘,CE=CF.
∴△BCE≌△DCFAAS，
∴DF=BE，
∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE，
∴AD−AB=2BE．
(3) 如图 3，在 BD 上截取 BH=BG，连接 OH，
∵BH=BG，∠OBH=∠OBG，OB=OB，
在 △OBH 和 △OBG 中，
BH=BG,∠OBH=∠OBG,OB=OB.
∴△OBH≌△OBGSAS，
∴∠OHB=∠OGB，
∵AO 是 ∠MAN 的平分线，BO 是 ∠ABD 的平分线，
∴ 点 O 到 AD，AB，BD 的距离相等，
∴∠ODH=∠ODF，
∵∠OHB=∠ODH+∠DOH，∠OGB=∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH=∠DAB=60∘，
∴∠GOH=120∘，
∴∠BOG=∠BOH=60∘，
∴∠DOF=∠BOG=60∘，
∴∠DOH=∠DOF，
在 △ODH 和 △ODF 中，
∠DOH=∠DOF,OD=OD,∠ODH=∠ODF.
∴△ODH≌△ODFASA，
∴DH=DF，
∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3．

87. 【答案】C
【解析】 ∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC=∠EDC=90∘，
在 △ABC 和 △EDC 中，∠ABC=∠EDC=90∘,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDCASA，
∴AB=ED=5．

88. 【答案】 AC=DF
【解析】条件是 AC=DF，
理由是：∵BD=CE，
∴BD−CD=CE−CD，
∴BC=DE，
在 △ABC 和 △FED 中，
AC=DF,∠1=∠2,BC=DE,
∴△ABC≌△FEDSAS．

89. 【答案】 ∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECD，
在 △ABC 和 △ECD 中，
AB=EC,∠B=∠ECD,BC=CD.
∴△ABC≌△ECDSAS，
∴∠A=∠E（全等三角形的对应角相等）．

90. 【答案】
(1) 在 AB 上截取 AF=DC，连接 FD，如图 2 所示：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60∘，
又 ∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF 是等边三角形，
∴∠BFD=60∘，
∴∠AFD=120∘，
又 ∵AB∥CE，
∴∠DCE=120∘=∠AFD，
而 ∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B，∠ADE=∠B=60∘，
∴∠FAD=∠CDE，
在 △AFD 和 △DCE 中，
∠FAD=∠CDE,AF=CD,∠AFD=∠DCE,
∴△AFD≌△DCEASA，
∴AD=DE．
(2) 在 BA 的延长线上截取 AF=DC，连接 FD，如图 3 所示：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60∘，
又 ∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF 是等边三角形，
∴∠F=60∘，
又 ∵AB∥CE，
∴∠DCE=60∘=∠F，
而 ∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，
又 ∵∠ADE=∠B=60∘，
∴∠FAD=∠CDE，
在 △AFD 和 △DCE 中，
∠FAD=∠CDE,AF=CD,∠F=∠DCE,
∴△AFD≌△DCEASA，
∴AD=DE．
(3) AD=DE 仍成立．
在 AB 的延长线上截取 AF=DC，连接 FD，如图 4 所示：
【解析】
(3) 理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60∘，
∴∠FAD+∠ADB=60∘，
又 ∵AF=DC，
∴BF=BD，
∵∠DBF=∠ABC=60∘，
∴△BDF 是等边三角形，
∴∠AFD=60∘，
又 ∵AB∥CE，
∴∠DCE=∠ABC=60∘，
∴∠AFD=∠DCE，
∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60∘，
∴∠FAD=∠CDE，
在 △AFD 和 △DCE 中，
∠FAD=∠CDE,AF=CD,∠AFD=∠DCE,
∴△AFD≌△DCEASA，
∴AD=DE．

91. 【答案】
(1) 如图 1 中，
由题意：BP=CQ=1×2=2cm．
∵BC=8 cm，BE=6 cm，
∴PC=8−2=6cm，
∴BE=CP，
∵∠B=∠C，
∴△EBP≌△PCQSAS．
(2) ∵ 速度不同，
∴BP≠CQ，
∵△EBP 与 △PCQ 全等，
∴BE=CQ=6 cm，PB=PC=4 cm，
∴t=42=2．
VQ=3 cm/秒.
∴ 当 Q 与 P 的速度不同，且 P，Q 分别在 BC，CD（CD>EB）上运动时（如图 1）△EBP 与 △PCQ 全等，此时 Q 的速度为 3 cm/秒 和 t 的值为 2 秒．
(3) 如图 2 中，设 CD=y cm．
∵△BCP 与 △PDQ 全等，∠C=∠D，
∴ 有两种情形：① BC=PD，PC=QD．
由此可得：y+8−2t=8,2t−8=2.5t−y,
解得 t=163,y=323.
② BC=DQ，PC=PD，
由此可得：y+8−2t=2t−8,2.5t−y=8,
解得 t=163,y=163.
∴ 当 CD=323 cm 时，t=163 秒时，△BCP≌△PDQ．
当 CD=163 cm 时，t=163 秒时，△BCP≌△QDP．

92. 【答案】 AB=DE
【解析】添加条件是：AB=DE，
在 △ABC 与 △DEC 中，AC=DC,AB=DE,BC=EC.
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：AB=DE．本题答案不唯一．

93. 【答案】 ∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵ 点 D，E 是 AB，AC 的中点，
∴AD=AE，
在 △ABE 与 △ACD 中，
AD=AE,∠A=∠A,AC=AB,
△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．

94. 【答案】
(1) 90
证明：如图 1，
∵MN∥PQ，
∴∠NAB+∠ABF=180∘，
∵∠NAB 和 ∠QBA 的平分线相交于点 C，
∴∠BAC=12∠NAB，∠ABC=12∠ABF，
∴∠BAC+∠ABC=12∠NAB+∠ABF=12×180∘=90∘，
延长 AC 交 PQ 于 D，
∵MN∥PQ，
∴∠NAD=∠ADB，
∵∠NAD=∠BAC，
∴∠BAC=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AC=CD，
∵∠ACE=∠DCF，∠EAC=∠FDC，
∴△AEC≌△DFC，
∴AE=DF，
∴BF=BD+DF=AB+AE．
(2) 如图 2，有 AB=BF+AE．
【解析】
(2) 理由是：
延长 AC 交 PQ 于 D，
由（1）得：AB=BD，
∴AC=CD，
∵∠EAC=∠ADF，∠ACE=∠DCF，
∴△ACE≌△DCF，
∴AE=DF，
∵BD=BF+DF，
∴AB=BF+AE．

95. 【答案】①③④
【解析】如图作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F．
∵∠PEO=∠PFO=90∘，
∴∠EPF+∠AOB=180∘，
∵∠MPN+∠AOB=180∘，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP 平分 ∠AOB，PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，
∴PE=PF，
在 Rt△POE 和 Rt△POF 中，
OP=OP,PE=PF,
∴Rt△POE≌Rt△POFHL，
∴OE=OF，
在 △PEM 和 △PFN 中，
∠EPM=∠FPN,PE=PF,∠PEM=∠PFN,
∴△PEM≌△PFNASA，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF= 定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE= 定值，故③正确，
∵M，N 的位置变化，
∴MN 的长度是变化的，故②错误．


96. 【答案】
(1) ∵CE⊥AB，
∴∠BEF=90∘，
∴∠CDF=∠BEF，
∵∠DFC=∠EFB，
∴∠DCF=∠EBF，
∵DB=DC，∠BDC=90∘，DM 是 BC 边上的中线，
∴∠DCB=∠DBC=∠CDM=∠BDM=45∘，DM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45∘，
在 △ADB 和 △NDC 中，
∠ABD=∠NCD,DB=DC,∠ADB=∠NDC,
∴△ABD≌△NCDASA；
(2) 数量关系是：CF=AB+AF，
理由如下：由（1）得 △ABD≌△NCD，
∴AD=ND，AB=NC，
在 △FDA 和 △FDN 中，
DA=DN,∠ADF=∠NDF,DF=DF,
∴△FDA≌△FDNSAS，
∴AF=FN，
∴CF=NC+FN=AB+AF；
(3) 如图 2，连接 AN，BN，
∵CE⊥AB，E 为 AB 中点，
∴ 直线 CE 为 AB 的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵AF=FN，AD=DN，
∴ 直线 BD 为 AN 的垂直平分线，
∴AB=NB，
∴AB=AN=BN，
∴△ABN 是等边三角形，
∴∠BAN=60∘，
∵AD∥BC，DM⊥BC，
∴AD⊥DN，
∵AD=DN，
∴△ADN 是等腰直角三角形，
∴∠DAN=45∘，
∴∠BAD=60∘+45∘=105∘．

97. 【答案】D
【解析】 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以通过 SAS 证明 △ABC≌△DEF，故A正确；
AB=DE，BC=EF，AC=DF，可以通过 SSS 证明 △ABC≌△DEF，故B正确；
∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，可以通过 ASA 证明 △ABC≌△DEF，故C正确；
AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，SSA 不可以证明 △ABC≌△DEF，故D错误．

98. 【答案】①②④
【解析】 ∵△ABC 和 △DCE 是等边三角形，
∴AB=AC=BC，DC=CE=DE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60∘，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60∘，∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，
∴∠ACG=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴∠BCD=120∘，∠ACE=120∘，
∵ 在 △BCD 和 △ACE 中 BC=AC,∠BCD=∠ACE=120∘,CD=CE,
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，∠CDB=∠CEA，
∵ 在 △BCF 和 △ACG 中 ∠FBC=∠GAC,∠FCB=∠GCA,BC=AC,
∴△BCF≌△ACG，
∴AG=BF，
故①正确；
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=GC，
∵∠FCG=60∘，
∴△FCG 是等边三角形，
∴∠GFC=60∘，
∵∠FCB=60∘，
∴∠GFC=∠FCB，
∴FG∥BE，
故②正确；
∵ 在 △DFC 和 △GCE 中 ∠FDC=∠GEC,∠DCF=∠ECG,CF=CG,
∴△DFC≌△GCE，
∴DF=EG，DC=CE，
故③不正确；
∵∠DOE=∠OBE+∠OEB，∠OBE=∠OAC，
∴∠DOE=∠OAC+∠OEB，
∴∠DOE=∠ACB，
∵∠ACB=60∘，
∴∠DOE=60∘，
故④正确；
∵ 在 △OAF 和 △CBF 中 ∠OAF=∠CBF,∠OFA=∠OFB,
∴△OAF∽△CBF，
∴AFBF=OFCF，
∵ 在 △AFB 和 △OFC 中 AFBF=OFCF,∠AFB=∠OFC,
∴△AFB∽△OFC，
∴∠FAB=∠FOC，
∵∠FAB=60∘，
∴∠FOC=60∘，
∵∠DOE=60∘，∠AOB=∠DOE，
∴∠AOB=60∘，
∵∠AOB+∠BOE+∠DOE=180∘，
∴∠BOE=60∘，
这与 ∠FOC=60∘ 矛盾，所以⑤错误．
综上所述，正确结论为①②④．

99. 【答案】
(1) ∵△ABE 与 △BCH 是等腰直角三角形，
∴AB=BE，BC=BH，
∠ABE=∠CBH=90∘，
∴∠ABH=∠EBC，
在 △ABH 与 △EBC 中，
AB=BE,∠ABH=∠EBC,BH=BC,
∴△ABH≌△EBC，
∴AH=CE．
(2) ∵△ABH≌△EBC，
∴∠BAH=∠CEB，
∴A，G，B，E 四点共圆，
∴∠AGE=∠ABE=90∘
∴AH⊥CE．
(3) 延长 BN 到 F 使 FN=BN，EN=HN，
在 △BEN 与 △HFN 中，
EN=HN,∠ENB=∠HNF,BN=FN,
∴△BEN≌△HFN，
∴HE=BE，∠1=∠F，
∵∠ABC=180∘−∠EBH=180∘−∠1−∠HBN，
∠FHB=180∘−∠F−∠FBH，
∴∠ABC=∠BHF，
∵AB=BE，
∴AB=HF，
在 △ABC 与 △BHF 中，
AB=HF,∠ABC=∠BHF,BC=BH,
∴△ABC≌△BHF，
∴∠BAC=∠F，
∵∠1+∠2=90∘，
∴∠BAM+∠2=90∘，
∴∠ABC=∠BHF，
∴AB=BE，
∴AB=HF，
在 △ABC 与 △BHF 中，
AB=HF,∠ABC=∠BHF,BC=BH,
∴△ABC≌△BHF，
∴∠BAC=∠F，
∵∠1+∠2=90∘，
∴∠BAM+∠2=90∘，
∴∠ABM=90∘，
∴NM⊥AC．

100. 【答案】B

101. 【答案】
(1) ∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90∘，
∴DC=DE，
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
DC=DE,AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AEDHL，
∴AC=AE．
(2) ∵AB=AE+BE=AC+CD，
AC=AE，
∴BE=CD，
又 ∵CD=DE，
∴BE=DE，
∵∠BED=90∘，
∴∠B=∠EDB=45∘，
即 ∠B 的度数为 45∘．

102. 【答案】
(1) 如图延长 ED 到 G，使 DG=ED，连接 CG，FG
，
∵ 在 △DCG 与 △DBE 中，
CD=BD,∠CDG=∠BDE,DG=DE,
∴△DCG≌△DBESAS，
∴DG=DE，CG=BE，
又 ∵DE⊥DF，
∴FD 垂直平分线段 EG，
∴FG=FE，
在 △CFG 中，CG+CF>FG，即 BE+CF>EF．
(2) 如图，延长 AB 到 M，使 BM=CF，
∵∠ABD+∠ACD=180∘，又 ∠ABD+∠MBD=180∘，
∴∠MBD=∠ACD，而 BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB−∠EDF=120∘−60∘=60∘=∠EDF,
∴△DEM≌△DEF，
∴EF=EM=EB+BM=EB+CF．

103. 【答案】
(1) ∵∠BAD=∠CAE=90∘，
∴∠BAC+∠CAD=90∘，
∠CAD=∠DAE=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
在 △BAC 与 △DAE 中，
AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,
∴△BAC≌△DAE SAS．
(2) ∵∠CAE=90∘，AC=AE，
∴∠E=45∘，
由（1）知 △BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45∘，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90∘，
∴∠CAF=45∘，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45∘+90∘=135∘．
(3) 延长 BF 到 G，使得 FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90∘，
在 △AFB 和 △AFG 中，
BF=GF,∠AFB=∠AFG,AF=AF,
∴△AFB≌△AFG SAS，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∴△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，
CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45∘，
∴ 在 △CGA 和 △CDA 中，
∠GCA=∠DCA,∠CGA=∠CDA,AG=AD,
∴△CGA≌△CDA AAS，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．

104. 【答案】
(1) 如图 1 所示，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘，BC=12AB，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30∘，
∴DA=DB，
∵DE⊥AB 于点 E，
∴AE=BE=12AB，
∴BC=BE，
∴△EBC 是等边三角形．
(2) 如图 2 所示，延长 ED 使得 DW=DM，连接 MW．
AD=DG+DM．
(3) 延长 BD 至 H，使得 DH=DN，
由（1）得 DA=DB，∠A=30∘，
∵DE⊥AB 于点 E，
∴∠2=∠3=60∘，
∴∠4=∠5=60∘，
∴△NDH 是等边三角形，
∴NH=ND，∠H=∠6=60∘，
∴∠H=∠2，
∵∠BNG=60∘，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7，即 ∠DNG=∠HNB，
在 △DNG 和 △HNB 中，
∠DNG=∠HNB,DN=HN,∠H=∠2,
∴△DNG≌△HNBASA，
∴DG=HB，
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD，
∴AD=DG−ND．
【解析】
(2) ∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，
∴∠ADE=∠BDE=60∘，AD=BD，
又 ∵DM=DW，
∴△WDM 是等边三角形，
∴MW=DM，
在 △WGM 和 △DBM 中，
∵∠W=∠MDB,MW=DM,∠WMG=∠DMB,
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．

105. 【答案】 3

106. 【答案】
(1) ∵ 在 △ACB 与 △DCB 中，CA=CD,∠ACD=∠BCE,CE=CB.
∴ △ACE≌△DCBSAS，
∴ AE=DB，
∴ ∠FBA=∠AEC．
又 ∵ ∠ACD=α=90∘，
∴ △AEC 中，∠AEC+∠EAC=90∘，
∴ ∠FBA+∠EAC=90∘，
∴ △FAB 中，∠AFB=180∘−∠FBA+∠EAC=90∘．
(2) ∵ ∠ACD=∠BCE=α>90∘，
∴ ∠ACD−∠ECD=∠BCE−∠ECD，
∴ ∠ACE=∠DCB．
在 △ACE 与 △DCB 中，
∵CA=CD,∠ACE=∠DCB,CB=CE.
∴ △ACE≌△DCBSAS，
∴ ∠AEC=∠DBC．
∵ ∠AEC+∠CEF=180∘，
∴ ∠DBC+∠CEF=180∘．
∵ 在四边形 ECBF 中，∠FEC+∠ECB+∠CBF+∠EFB=360∘，
∴∠EFB=360∘−∠FEC+∠ECB+∠CBF=360∘−180∘+α=180∘−α.
即 ∠AFB=180∘−α．

107. 【答案】 36

108. 【答案】
(1) 连接 ABʹ，
因为 B，Bʹ 关于 AD 对称，
所以 BBʹ 被 AD 垂直平分，
所以 ABʹ=AB，
又因为 AC=AB，
所以 AC=ABʹ，
又因为 BF⊥BG，AB=ABʹ，
所以 ∠BAF=∠BʹAF，
又因为 ∠GAF=55∘，
所以 ∠BʹAF+∠GABʹ=55∘，
又因为 ∠CAB=110∘，
所以 ∠CAG+∠FAB=55∘，
所以 ∠BʹAF+∠GABʹ=∠CAG+∠FAB，
又因为 ∠BAF=∠BʹAF，
所以 ∠GABʹ=∠CAG，
在 △CGA 和 △BʹGA 中，
AC=ABʹ,∠GABʹ=∠CAG,AG=AG,
所以 △CGA≌△BʹGASAS，
所以 CG=BʹG（全等三角形的对应边相等）．
(2) 在 FB 上截取 FGʹ=GF，连接 AGʹ，
因为 BF⊥AD，
所以 AG=AGʹ，
所以 ∠GAF=∠GʹAF，
所以 ∠GAGʹ=2∠GAF=2×55∘=110∘，
又因为 ∠CAB=110∘，
即 ∠GAGʹ=∠CAB，
所以 ∠GAGʹ−∠CAGʹ=∠CAB−∠CAGʹ，
即 ∠GAC=∠GʹAB，
又因为 AC=AB，
所以 △GAC≌△GʹABSAS，
所以 CG=GʹB，
因为 FGʹ=GF，
所以 GGʹ=2GF，
因为 GB=GGʹ+GʹB，
所以 GB=2GF+CG，
即 CG=GB−2GF．
(3) 延长 BF 至点 Gʹ，使 GʹF=GF，连接 AGʹ，
因为 BF⊥AD，
所以 AGʹ=AG，
所以 ∠GʹAF=∠GAF，
所以 ∠GʹAG=2∠GAF=110∘，
又因为 ∠BAC=110∘，
所以 ∠BAC=∠GʹAG，
所以 ∠BAC+∠BAE=∠GʹAG+∠BAE，
即 ∠GʹAB=∠GAC，
又因为 AC=AB，
所以 △GAC≌△GʹABSAS，
所以 CG=BGʹ，
因为 CG=145GF，
所以设 GF=5k，CG=14k，
所以 GʹF=5k，BGʹ=14k，
所以 BG=4k，
又因为 S△ABG=7.5，AF=3，
所以 12⋅BG⋅AF=7.5，
所以 12×4k×3=7.5，k=54，
所以 BF=9k=454．

109. 【答案】③
【解析】 ∵DF 垂直平分 BC，
∴BH=CH，BF=CF，
∵CH>CF，
∴BH>CF，故①错误；
∵∠GAB=∠ABC+∠ACB，AD 平分 ∠GAB，
∴∠GAD=12∠GAB=12∠ABC+∠ACB，
∵∠ACB>∠HCB，
∴∠GAD>12∠B+∠HCB，故②错误；
过 D 作 DN⊥AC，垂足为 N，连接 DB，DC，
则 DN=DE，DB=DC，
又 ∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DEB=∠DNC=90∘，
在 Rt△DBE 和 Rt△DCN 中，
DB=DC,DE=DN,
∴Rt△DBE≌Rt△DCNHL，
∴BE=CN，
在 Rt△DEA 和 Rt△DNA 中，
AD=AD,DE=DN,
∴Rt△DEA≌Rt△DNAHL，
∴AN=AE，
∴BE=AC+AN=AC+AE，即 BE−AC=AE，故③正确；
∵DE⊥AB，
∴∠HDE+∠DHE=∠HBF+∠BHF=90∘，
∵∠ABC=∠HDE，故④错误．


110. 【答案】
(1) 如图 1，分别取 AB，AC 中点 M，N，连接 MD，NE，再连接 FM，FN，
∵F 为 BC 边的中点，∠ADB=90∘，∠AEC=90∘，
∴DM=12AB，EN=12AC，
∴FN 是 △ABC 的中位线．
∴FN=12AB，
∴DM=FN=12AB，EN=MF=12AC，
∴FN∥AM 且 FN=AM，
∴ 四边形 AMFN 为平行四边形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90∘，
∴∠EMD=∠FND，
在 △DMF 与 △ENF 中，
DM=FN,∠DMF=∠FNE,MF=EN,
∴△DMF≌△ENFSAS．
∴DF=EF．
(2) 如图 2，连接 AF，
∵ 等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt△ACE，
∴AD=BD，AE=CE，
∵∠BAC=90∘，F 为 BC 边的中点，
∴AF=BF，
∴DF 垂直平分 AB，
同理 EF 垂直平分 AC，
∴∠AMF=∠ANF=90∘，
∴ 四边形 AMFN 是矩形，
∴∠DFE=90∘，
∴DF⊥EF．
(3) DF=EF，DF⊥EF．
如图 3，分别取 AB，AC 中点 M，N，连接 MD，NE，再连接 FM，FN，
∵F 为 BC 边的中点，∠ADB=90∘，∠AEC=90∘，
∴DM=12AB，EN=12AC，
∴FN 是 △ABC 的中位线．
∴FN=12AB，
∴DM=FN=12AB，EN=MF=12AC，
∴FN∥AM 且 FN=AM，
∴ 四边形 AMFN 为平行四边形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90∘，
∴∠EMD=∠FND，
在 △DMF 与 △ENF 中，
DM=FN,∠DMF=∠FNE,MF=EN,
∴△DMF≌△ENFSAS．
∴DF=EF，∠MDF=∠NFE，
∵AM∥NF，
∴∠AMF+∠MFN=180∘，
∵∠DMF+∠MDF+∠DFE=180∘，
∴∠DFE=∠DMA，
∵∠DMA=90∘，
∴∠DFE=90∘，
∴DF⊥EF．

111. 【答案】B

112. 【答案】
(1) 90
(2) ① α+β=180∘．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即 ∠BAD=∠CAE．
在 △ABD 与 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180∘，
∴α+β=180∘．
②当点 D 在射线 BC 上时，如图所示，
α+β=180∘．
当点 D 在射线 BC 的反向延长线上时，如图所示，
α=β．
【解析】
(1) ∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠ACE=∠ABD=∠ACB=45∘，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=90∘．

113. 【答案】3

114. 【答案】①②③⑤

115. 【答案】
(1) BF=CG，理由如下：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
在 △BCF 与 △CBG 中，
∠F=∠G,∠ACB=∠ABC,BC=CB,
∴ △BCF≌△CBGAAS．
∴ BF=CG．
(2) DE+DF=CG．
连接 DA，如图所示：
S△ABD=12AB⋅DE，
S△ACD=12AC⋅DF，
S△ABC=12AB⋅CG．
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12AB⋅CG.
∵ AB=AC，
∴ DE+DF=CG．
(3) 仍然成立．