数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

    知识与能力：

1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；

2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；

3、已知一根求另一根及系数。

过程与方法：

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

情感、态度与价值观：

通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

教学重、难点

    重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。

    难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。

一、创设情景，引入新课

    师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？

生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。

    当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；

    当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；

    当“Δ＜0”时，方程没有实数根。

师：回答的真好。其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？

生：想。

师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。

一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）

二、探索新知，解决问题

1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.

表格1

师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。

   生：……

   师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？

   生：x1 +x2 = – p，x1x2 = q

   师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？

   生：不一定。

   师：为什么不一定呢？

   生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。

   师：同学们观察的非常的仔细。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？

2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。

表格2

师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？

生：学生认真思考，并回答。

（学生总结的可能不是很全面，或者有的学生可能不能做出总结，要做适当的引导和补充）

师：若一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？

生：能。x1 +x2，x1x2。

   师：我们的猜想是否正确呢？

   生：思考回答。

   师：请同学们认真阅读课本34页，看看课本上是怎么证明它的正确性的。

   设一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0)的两个根为x1、x2，

∴，.

         （学生1上黑板演示）

         （学生2上黑板演示）

韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1 +x2，x1x2。

三、应用新知

例1：已知关于x的一元二次方程x2–6=(k+1)x的一个根是2，求方程的另一个根和k的值。

方法1：解：设一元二次方程x2 – 6=(k+1)x的另一个根为x1，原方程转化成一般式为：x2 – (k+1)x – 6=0，∴a=1,b= – (k+1),c= – 6

由韦达定理，可知：  x1 +2=k+1

  2 x1 = – 6

          解得    x1 = – 3

  k = – 2

方法2：x=2代入原方程中得，4– 2(k+1) – 6=0  解得k = – 2

将k = –2代入原方程，得  x2 + x –6=0  (x+3)( x–2)=0

   ∴x+3=0或x–2=0  即x1= – 3，x2=2

答：方程的另一个根是–3，k的值是–2.

例2：已知x1 +x2是方程x2 – x =3的两个根，求x1 +x2，x1x2，x12 +x22及x1–x2的值。

 解：原方程转换成一般形式为：x2 –x – 3=0.

    由韦达定理，可得

      x1 +x2=1, x1x2= – 3

     x12 +x22=(x1 +x2)2–2x1x2=1–2×(–3)=7

     (x1–x2)2=(x1 +x2)2–4x1x2=1–4×(–3)=13

     x1–x2=±

  答：

四、巩固新知，提高认知

    课本36页，练习1,2,3,4.

五、课堂小结

    1、韦达定理：

如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1 +x2，x1x2。（要特别强调a和Δ的取值范围）。

     2、韦达定理的应用：

     （1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。

     （2）求关于两根的代数式的值。

六、课堂作业

     课本36页，习题18.4 第一题和第三题。