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2020-2021学年广东省汕头市金平区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省汕头市金平区八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．4，6，7D．5，12，13
4．（3分）小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据，经过计算得到两组数据的方差，小王一组的方差为1.5，小李一组的方差为2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．小王统计的一组数据比较稳定
B．小李统计的一组数据比较稳定
C．两组数据一样稳定
D．不能比较稳定性
5．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（6，0）D．（﹣6，0）
6．（3分）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）
A．4人B．5人C．6人D．7人
9．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A．2B．C．D．
10．（3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，S与t的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）若点P（3，2）在函数y＝3x﹣b的图象上，则b＝ ．
13．（4分）若一组数据4，5，6，8，8，9，则这组数据的众数是 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
15．（4分）直线y＝﹣2x﹣6与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
16．（4分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，已知直线b的解析式为y＝x，在点A（，0）作x轴的垂线交直线b于点B1，以A1B1为边作第1个正在方形A1B1C1A2，A2在x轴上，A2C1的延长线交直线b于点B2，以A2B2为边作第2个正在方形A2B2C2A3，……；按此作法继续下去，则第2021个正方形A2021B2021C2021A2022的边长A2021B2021为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作BC的垂直平分线，垂足为点D，与AB交于E点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝10，BC＝8，连接EC，则EC＝ ，ED＝ ．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求∠CBF的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣1．
22．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；
（2）求乙出发后几小时追上甲车？
23．（8分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，所得数据的中位数是 部；
（2）读完了1部的学生有 名，将条形统计图补充完整；
（3）计算该校抽取的这部分学生平均每人看“四大古典名著”多少部？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
2020-2021学年广东省汕头市金平区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑.
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，
B、＝3与不是同类二次根式，
C、＝2与是同类二次根式，
D、＝3与不是同类二次根式，
故选：C．
2．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用两点法可画出函数的图象，则可得出答案．
【解答】解：
∵y＝﹣x﹣1，
∴函数图象过点（﹣1，0）和（0，﹣1），
其函数图象如图所示：
∴函数不经过第一象限，
故选：A．
3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．4，6，7D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：A、32+22≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、32+42＝25≠62，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、42+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据，经过计算得到两组数据的方差，小王一组的方差为1.5，小李一组的方差为2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．小王统计的一组数据比较稳定
B．小李统计的一组数据比较稳定
C．两组数据一样稳定
D．不能比较稳定性
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵小王一组的方差为1.5，小李一组的方差为2.5，
∴小王一组的方差＜小李一组的方差，
∴小王统计的一组数据比较稳定，
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（6，0）D．（﹣6，0）
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y＝0，解得即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，
∵此时与x轴相交，则y＝0，
∴3x+6＝0，即x＝﹣2，
∴交点坐标为（﹣2，0），
故选：B．
6．（3分）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，再根据勾股定理，列出算式，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
阴影正方形的边长是：＝．
故选：C．
7．（3分）张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，并且看报纸10分钟，这是时间在加长，而离家的距离不变，再按原速返回用时15分钟，离家的距离越来越短，由此即可确定表示张大伯离家时间与距离之间的关系的函数图象．
【解答】解：依题意，0～20min散步，离家路程从0增加到900m，
20～30min看报，离家路程不变，
30～45min返回家，离家从900m路程减少为0m．
故选：D．
8．（3分）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）
A．4人B．5人C．6人D．7人
【分析】设成绩为8环的人数是x，根据加权平均数的定义列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设成绩为8环的人数是x，
根据题意，得：＝8.1，
解得x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，且符合题意，
故选：B．
9．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】由折叠的性质可得OC＝BC，则可得AC＝2CB，所以∠BAC＝30°，OE＝AO，则可求OA＝3，OE＝，BE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE＝2．
【解答】解：∵点O是矩形ABCD的中心，
∴AO＝CO，
由折叠可得，OC＝BC，
∴AC＝2CB，
∴∠BAC＝30°，
∴OE＝AE，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2+OE2，
∴AE2＝OA2+AE2，
∴OA＝AE，
∴OE＝AO，
∵BC＝3，
∴OA＝3，
∴OE＝，
∵BE＝OE，
∴BE＝，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，
故选：A．
10．（3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，S与t的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，根据等边三角形的性质可得出点P在AB上运动时△ACP的面积为S，也可得出点P在BC上运动时的表达式，继而结合选项可得出答案．
【解答】解：设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，
①点P在AB上运动时，△ACP的面积为S＝hvt，是关于t的一次函数关系式；
②当点P在BC上运动时，△ACP的面积为S＝h（AB+BC﹣vt）＝﹣hvt+h（AB+BC），是关于t的一次函数关系式；
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（4分）若点P（3，2）在函数y＝3x﹣b的图象上，则b＝ 7 ．
【分析】由点P的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出2＝3×3﹣b，解之即可得出b值．
【解答】解：∵点P（3，2）在函数y＝3x﹣b的图象上，
∴2＝3×3﹣b，
解得：b＝7．
故答案为：7．
13．（4分）若一组数据4，5，6，8，8，9，则这组数据的众数是 8 ．
【分析】根据众数的意义求解即可．
【解答】解：这组数据中出现次数最多的是8，共出现2次．因此众数是8，
故答案为：8．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 （﹣1，0） ．
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0），
15．（4分）直线y＝﹣2x﹣6与两坐标轴围成的三角形的面积为 9 ．
【分析】分别令x＝0，y＝0求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣6，
令y＝0，则x＝﹣3，
故直线y＝2x+6与两坐标轴的交点分别为（0，﹣6）、（﹣3，0），
故两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣3|×|﹣6|＝9．
故答案为：9．
16．（4分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【分析】在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，阴影部分面积＝半圆AC+半圆BC+直角三角形ABC面积﹣半圆AB，求出即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
根据勾股定理得：AB＝＝10，
则S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝π+π+×6×8﹣π＝24．
故答案为：24
17．（4分）如图，已知直线b的解析式为y＝x，在点A（，0）作x轴的垂线交直线b于点B1，以A1B1为边作第1个正在方形A1B1C1A2，A2在x轴上，A2C1的延长线交直线b于点B2，以A2B2为边作第2个正在方形A2B2C2A3，……；按此作法继续下去，则第2021个正方形A2021B2021C2021A2022的边长A2021B2021为 22020• ．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2的坐标，以此类推总结规律便可求出Bn的坐标，即可求得AnBn＝2n﹣1．
【解答】解：直线y＝x，点A1坐标为（，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，则B1点的坐标为（，），
∵以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，
∴A1B1＝A1A2＝，
∴OA2＝+＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），
∴B2的坐标为（2，2），
∵以A2 B2为边作正方形A2B2C2A3，
∴A2B2＝A2A2＝2，
∴A3的坐标为（4，0），
∴B3的坐标为（4，4），则A3B3＝4，
此类推便点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），则AnBn＝2n﹣1，
所以，第2021个正方形A2021B2021C2021A2022的边长A2021B2021为22020，
故答案22020．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（2）2﹣（3﹣2+1）
＝1﹣12﹣4+2
＝﹣15+2．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作BC的垂直平分线，垂足为点D，与AB交于E点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝10，BC＝8，连接EC，则EC＝ 5 ，ED＝ 3 ．
【分析】（1）分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点M，N，画直线MN，与BC交于点D，与AB交于点E即可；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质，即可得CE的长等于AB的一半；利用三角形中位线定理即可得到DE的长等于AC的一半．
【解答】解：（1）如图，DE即为所求．
（2）图中连接EC．
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠B+∠A＝∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴BE＝AE，即E是AB的中点，
∴CE＝AB＝5；
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝＝3．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求∠CBF的度数．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，∠DAE＝∠BCA，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）在Rt△ADE中根据∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°得到∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，然后根据△AED≌△CFB，求得∠CBF＝∠ADE＝55°．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD＝CB，
又AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC．
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS）；
（2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°，
∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，
∵△AED≌△CFB（AAS），
∴∠CBF＝∠ADE＝55°．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣1．
【分析】将被除式分子、分母因式分解、把除法转化为乘法，再约分计算乘法，最后计算减法即可化简原式，继而把x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝
＝
＝﹣1．
22．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；
（2）求乙出发后几小时追上甲车？
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）根据甲乙两车对应的函数解析式，令它们相等即可解答本题．
【解答】解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b
将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：
解得：，
∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；
（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，
联立，
解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），
∴乙车出发后1.5小时追上甲车．
23．（8分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 40 名学生，所得数据的中位数是 2 部；
（2）读完了1部的学生有 14 名，将条形统计图补充完整；
（3）计算该校抽取的这部分学生平均每人看“四大古典名著”多少部？
【分析】（1）根据读完3部的人数和所占的百分比求出总人数，再根据中位数的定义即可得出答案；
（2）先求出读完1部的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取的学生数是：8÷20%＝40（名），
把这些数从大到小排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是：＝2（部）．
故答案为：40，2；
（2）读完了1部的学生有：40﹣3﹣9﹣8﹣6＝14（部），补全统计图如下：
故答案为：14；
（3）＝2（部），
答：该校抽取的这部分学生平均每人看“四大古典名著”2部．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．
【分析】（1）利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边AB与AD、AE与AG，两线点的夹角相等，判定全等．
（2）利用第一问的全等条件，得到∠AEB与∠AGF相等，进而得到BE与DG的夹角是直角，垂直关系．
（3）利用正方形的性质，求得对角线长12，得到OA的长，证明AODE是正方形，借助△KDE≌△KGA求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAB+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AB＝AD，AE＝AG，
∴△EAB≌△GAD（SAS）．
（2）解：BE⊥DG，理由如下：
∵△EAB≌△GAD，
∴∠AGD＝∠AEB，
∵∠AKG＝∠HKE，
在Rt△AGK中，∠AGK+∠AKG＝90°
∴∠KEH+∠HKE＝90°，
∴∠EHK＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥DG．
（3）解：连接DE，如图，
，
在Rt△ABC中，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝＝12，
∴AO＝DO＝AC＝6，
∵AG＝AE＝AO＝DO＝6．AO⊥DO，
∴四边形AEDO是正方形，
∵∠DEK＝∠GAK＝90°，
∵DE＝AG＝6，∠DKE＝∠AKG，
∴△DKE≌△GAK（AAS），
∴EK＝AK＝3，
在Rt△DKE中，
DK＝＝＝3．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得BC＝AO＝，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2BC＝2，然后由勾股定理求出AB＝3，即可求解；
（2）求出C（3，0），A（0，），得点E的坐标为（，），再求出D（1，0），然后由待定系数法求出直线DE的解析式即可；
（3）①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，构成菱形AN1CM1，则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，则ON2＝OA+AN2＝3，得N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，则ON3＝OC＝3，得N3（﹣3，0）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO＝，
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
∴AB＝＝＝3，
∴点B的坐标为（3，）；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，AB∥OC，
∴∠ACO＝∠BAC＝30°，
∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
由折叠的性质得：∠OAD＝∠EAD＝30°，∠AED＝∠AOD＝90°，
∴∠EAD＝∠ACO，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴AE＝CE，
∵OA＝，
∴A（0，），
∴点E的坐标为（，），
即（，），
∵∠OAD＝30°，∠AOD＝90°，
∴OD＝OA＝1，
∴D（1，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线ED的解析式为：y＝x﹣；
（3）存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0），理由如下：
①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，如图1所示：
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，
则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，y＝x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，构成菱形AN1CM1，
则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，如图2所示：
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，
则ON2＝OA+AN2＝3，
∴N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，
则ON3＝OC＝3，
∴N3（﹣3，0）；
综上所述，存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0）．
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日期：2021/8/12 11:49:07；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298小王
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1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．4，6，7D．5，12，13
4．（3分）小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据，经过计算得到两组数据的方差，小王一组的方差为1.5，小李一组的方差为2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．小王统计的一组数据比较稳定
B．小李统计的一组数据比较稳定
C．两组数据一样稳定
D．不能比较稳定性
5．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（6，0）D．（﹣6，0）
6．（3分）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）
A．4人B．5人C．6人D．7人
9．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A．2B．C．D．
10．（3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，S与t的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）若点P（3，2）在函数y＝3x﹣b的图象上，则b＝ ．
13．（4分）若一组数据4，5，6，8，8，9，则这组数据的众数是 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
15．（4分）直线y＝﹣2x﹣6与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
16．（4分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，已知直线b的解析式为y＝x，在点A（，0）作x轴的垂线交直线b于点B1，以A1B1为边作第1个正在方形A1B1C1A2，A2在x轴上，A2C1的延长线交直线b于点B2，以A2B2为边作第2个正在方形A2B2C2A3，……；按此作法继续下去，则第2021个正方形A2021B2021C2021A2022的边长A2021B2021为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作BC的垂直平分线，垂足为点D，与AB交于E点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝10，BC＝8，连接EC，则EC＝ ，ED＝ ．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求∠CBF的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣1．
22．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；
（2）求乙出发后几小时追上甲车？
23．（8分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，所得数据的中位数是 部；
（2）读完了1部的学生有 名，将条形统计图补充完整；
（3）计算该校抽取的这部分学生平均每人看“四大古典名著”多少部？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
2020-2021学年广东省汕头市金平区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑.
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，
B、＝3与不是同类二次根式，
C、＝2与是同类二次根式，
D、＝3与不是同类二次根式，
故选：C．
2．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用两点法可画出函数的图象，则可得出答案．
【解答】解：
∵y＝﹣x﹣1，
∴函数图象过点（﹣1，0）和（0，﹣1），
其函数图象如图所示：
∴函数不经过第一象限，
故选：A．
3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．4，6，7D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：A、32+22≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、32+42＝25≠62，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、42+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据，经过计算得到两组数据的方差，小王一组的方差为1.5，小李一组的方差为2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．小王统计的一组数据比较稳定
B．小李统计的一组数据比较稳定
C．两组数据一样稳定
D．不能比较稳定性
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵小王一组的方差为1.5，小李一组的方差为2.5，
∴小王一组的方差＜小李一组的方差，
∴小王统计的一组数据比较稳定，
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（6，0）D．（﹣6，0）
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y＝0，解得即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，
∵此时与x轴相交，则y＝0，
∴3x+6＝0，即x＝﹣2，
∴交点坐标为（﹣2，0），
故选：B．
6．（3分）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，再根据勾股定理，列出算式，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
阴影正方形的边长是：＝．
故选：C．
7．（3分）张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，并且看报纸10分钟，这是时间在加长，而离家的距离不变，再按原速返回用时15分钟，离家的距离越来越短，由此即可确定表示张大伯离家时间与距离之间的关系的函数图象．
【解答】解：依题意，0～20min散步，离家路程从0增加到900m，
20～30min看报，离家路程不变，
30～45min返回家，离家从900m路程减少为0m．
故选：D．
8．（3分）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）
A．4人B．5人C．6人D．7人
【分析】设成绩为8环的人数是x，根据加权平均数的定义列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设成绩为8环的人数是x，
根据题意，得：＝8.1，
解得x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，且符合题意，
故选：B．
9．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】由折叠的性质可得OC＝BC，则可得AC＝2CB，所以∠BAC＝30°，OE＝AO，则可求OA＝3，OE＝，BE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE＝2．
【解答】解：∵点O是矩形ABCD的中心，
∴AO＝CO，
由折叠可得，OC＝BC，
∴AC＝2CB，
∴∠BAC＝30°，
∴OE＝AE，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2+OE2，
∴AE2＝OA2+AE2，
∴OA＝AE，
∴OE＝AO，
∵BC＝3，
∴OA＝3，
∴OE＝，
∵BE＝OE，
∴BE＝，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，
故选：A．
10．（3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，S与t的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，根据等边三角形的性质可得出点P在AB上运动时△ACP的面积为S，也可得出点P在BC上运动时的表达式，继而结合选项可得出答案．
【解答】解：设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，
①点P在AB上运动时，△ACP的面积为S＝hvt，是关于t的一次函数关系式；
②当点P在BC上运动时，△ACP的面积为S＝h（AB+BC﹣vt）＝﹣hvt+h（AB+BC），是关于t的一次函数关系式；
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（4分）若点P（3，2）在函数y＝3x﹣b的图象上，则b＝ 7 ．
【分析】由点P的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出2＝3×3﹣b，解之即可得出b值．
【解答】解：∵点P（3，2）在函数y＝3x﹣b的图象上，
∴2＝3×3﹣b，
解得：b＝7．
故答案为：7．
13．（4分）若一组数据4，5，6，8，8，9，则这组数据的众数是 8 ．
【分析】根据众数的意义求解即可．
【解答】解：这组数据中出现次数最多的是8，共出现2次．因此众数是8，
故答案为：8．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 （﹣1，0） ．
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0），
15．（4分）直线y＝﹣2x﹣6与两坐标轴围成的三角形的面积为 9 ．
【分析】分别令x＝0，y＝0求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣6，
令y＝0，则x＝﹣3，
故直线y＝2x+6与两坐标轴的交点分别为（0，﹣6）、（﹣3，0），
故两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣3|×|﹣6|＝9．
故答案为：9．
16．（4分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【分析】在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，阴影部分面积＝半圆AC+半圆BC+直角三角形ABC面积﹣半圆AB，求出即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
根据勾股定理得：AB＝＝10，
则S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝π+π+×6×8﹣π＝24．
故答案为：24
17．（4分）如图，已知直线b的解析式为y＝x，在点A（，0）作x轴的垂线交直线b于点B1，以A1B1为边作第1个正在方形A1B1C1A2，A2在x轴上，A2C1的延长线交直线b于点B2，以A2B2为边作第2个正在方形A2B2C2A3，……；按此作法继续下去，则第2021个正方形A2021B2021C2021A2022的边长A2021B2021为 22020• ．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2的坐标，以此类推总结规律便可求出Bn的坐标，即可求得AnBn＝2n﹣1．
【解答】解：直线y＝x，点A1坐标为（，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，则B1点的坐标为（，），
∵以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，
∴A1B1＝A1A2＝，
∴OA2＝+＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），
∴B2的坐标为（2，2），
∵以A2 B2为边作正方形A2B2C2A3，
∴A2B2＝A2A2＝2，
∴A3的坐标为（4，0），
∴B3的坐标为（4，4），则A3B3＝4，
此类推便点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），则AnBn＝2n﹣1，
所以，第2021个正方形A2021B2021C2021A2022的边长A2021B2021为22020，
故答案22020．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（2）2﹣（3﹣2+1）
＝1﹣12﹣4+2
＝﹣15+2．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作BC的垂直平分线，垂足为点D，与AB交于E点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝10，BC＝8，连接EC，则EC＝ 5 ，ED＝ 3 ．
【分析】（1）分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点M，N，画直线MN，与BC交于点D，与AB交于点E即可；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质，即可得CE的长等于AB的一半；利用三角形中位线定理即可得到DE的长等于AC的一半．
【解答】解：（1）如图，DE即为所求．
（2）图中连接EC．
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠B+∠A＝∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴BE＝AE，即E是AB的中点，
∴CE＝AB＝5；
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝＝3．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求∠CBF的度数．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，∠DAE＝∠BCA，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）在Rt△ADE中根据∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°得到∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，然后根据△AED≌△CFB，求得∠CBF＝∠ADE＝55°．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD＝CB，
又AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC．
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS）；
（2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°，
∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，
∵△AED≌△CFB（AAS），
∴∠CBF＝∠ADE＝55°．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣1．
【分析】将被除式分子、分母因式分解、把除法转化为乘法，再约分计算乘法，最后计算减法即可化简原式，继而把x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝
＝
＝﹣1．
22．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；
（2）求乙出发后几小时追上甲车？
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）根据甲乙两车对应的函数解析式，令它们相等即可解答本题．
【解答】解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b
将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：
解得：，
∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；
（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，
联立，
解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），
∴乙车出发后1.5小时追上甲车．
23．（8分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 40 名学生，所得数据的中位数是 2 部；
（2）读完了1部的学生有 14 名，将条形统计图补充完整；
（3）计算该校抽取的这部分学生平均每人看“四大古典名著”多少部？
【分析】（1）根据读完3部的人数和所占的百分比求出总人数，再根据中位数的定义即可得出答案；
（2）先求出读完1部的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取的学生数是：8÷20%＝40（名），
把这些数从大到小排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是：＝2（部）．
故答案为：40，2；
（2）读完了1部的学生有：40﹣3﹣9﹣8﹣6＝14（部），补全统计图如下：
故答案为：14；
（3）＝2（部），
答：该校抽取的这部分学生平均每人看“四大古典名著”2部．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．
【分析】（1）利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边AB与AD、AE与AG，两线点的夹角相等，判定全等．
（2）利用第一问的全等条件，得到∠AEB与∠AGF相等，进而得到BE与DG的夹角是直角，垂直关系．
（3）利用正方形的性质，求得对角线长12，得到OA的长，证明AODE是正方形，借助△KDE≌△KGA求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAB+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AB＝AD，AE＝AG，
∴△EAB≌△GAD（SAS）．
（2）解：BE⊥DG，理由如下：
∵△EAB≌△GAD，
∴∠AGD＝∠AEB，
∵∠AKG＝∠HKE，
在Rt△AGK中，∠AGK+∠AKG＝90°
∴∠KEH+∠HKE＝90°，
∴∠EHK＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥DG．
（3）解：连接DE，如图，
，
在Rt△ABC中，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝＝12，
∴AO＝DO＝AC＝6，
∵AG＝AE＝AO＝DO＝6．AO⊥DO，
∴四边形AEDO是正方形，
∵∠DEK＝∠GAK＝90°，
∵DE＝AG＝6，∠DKE＝∠AKG，
∴△DKE≌△GAK（AAS），
∴EK＝AK＝3，
在Rt△DKE中，
DK＝＝＝3．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得BC＝AO＝，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2BC＝2，然后由勾股定理求出AB＝3，即可求解；
（2）求出C（3，0），A（0，），得点E的坐标为（，），再求出D（1，0），然后由待定系数法求出直线DE的解析式即可；
（3）①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，构成菱形AN1CM1，则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，则ON2＝OA+AN2＝3，得N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，则ON3＝OC＝3，得N3（﹣3，0）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO＝，
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
∴AB＝＝＝3，
∴点B的坐标为（3，）；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，AB∥OC，
∴∠ACO＝∠BAC＝30°，
∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
由折叠的性质得：∠OAD＝∠EAD＝30°，∠AED＝∠AOD＝90°，
∴∠EAD＝∠ACO，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴AE＝CE，
∵OA＝，
∴A（0，），
∴点E的坐标为（，），
即（，），
∵∠OAD＝30°，∠AOD＝90°，
∴OD＝OA＝1，
∴D（1，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线ED的解析式为：y＝x﹣；
（3）存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0），理由如下：
①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，如图1所示：
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，
则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，y＝x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，构成菱形AN1CM1，
则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，如图2所示：
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，
则ON2＝OA+AN2＝3，
∴N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，
则ON3＝OC＝3，
∴N3（﹣3，0）；
综上所述，存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0）．
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