2020-2021学年浙江省金华市金东区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省金华市金东区八年级（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1
2．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABOC的顶点C为（0，2），反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
3．（3分）点A和点B关于原点成中心对称，已知点A的坐标是（3，﹣4），则点B的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
4．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9
6．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3D．y＝3（x﹣2）2﹣3
7．（3分）一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（ ）
A．5和5.5B．5.5和6C．5和6D．6和6
8．（3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．36（1﹣x）2＝﹣25B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25D．36（1﹣x2）＝25
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A．3B．3.5C．2.5D．2.8
10．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）当x＝2时，的值是 ．
12．（4分）若点（4，m）与点（5，n）都在反比例函数y＝（x≠0）的图象上，则m n（填＞，＜或＝）．
13．（4分）已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是 ．
14．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则b的值是 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）×；
（2）（2+3）（3﹣2）．
18．（6分）解方程：
（1）x2+5x﹣6＝0；
（2）3x2﹣4x﹣7＝0．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由．
20．（8分）如图，在方格纸中，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为对角线的平行四边形．
（2）在图乙中画一个以AB为边的矩形．
21．（8分）某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况．
已知捐书4本或4本以上的人平均每人捐书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5本．问捐书4本和5本的各有多少人？
22．（10分）如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
23．（10分）在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，且A（﹣1，0），B（0，﹣），C（3，0）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若反比例函数y＝的图象与线段BC交于点E，F，且BF＝EF．
①求点F的横坐标；
②求k值．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中，原点O是正方形ABCD的对角线交点，点A（0，2），过x轴正半轴上的动点P（m，0）作x轴垂线交过点B，C，D三点的抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在四边形ACPQ为菱形，若存在，求出m值；若不在，说明理由．
（3）连结BQ，当△BPQ有两边之比为：1时，求m的值．
2020-2021学年浙江省金华市金东区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABOC的顶点C为（0，2），反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】依题意得到A（﹣2，2），代入y＝，根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵正方形ABOC的顶点C为（0，2），
∴A（﹣2，2），
∴2＝．
∴k＝﹣4，
故选：D．
3．（3分）点A和点B关于原点成中心对称，已知点A的坐标是（3，﹣4），则点B的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：点A（3，﹣4）关于原点中心对称的点B的坐标是（﹣3，4），
故选：B．
4．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形
【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：A．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，∴（x﹣2）2＝9．故选：D．
6．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3D．y＝3（x﹣2）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．
故选：A．
7．（3分）一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（ ）
A．5和5.5B．5.5和6C．5和6D．6和6
【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；
将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是5、6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（5+6）÷2＝5.5；
故选：B．
8．（3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．36（1﹣x）2＝﹣25B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25D．36（1﹣x2）＝25
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2＝25．
故选：C．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A．3B．3.5C．2.5D．2.8
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE＝CE，设CE＝x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝2.5，
即CE的长为2.5．
故选：C．
10．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
【分析】由一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，根据根与系数的关系求得x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，又由x12x2+x1x22＝x1x2•（x1+x2），即可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
∴x12x2+x1x22＝x1x2•（x1+x2）＝﹣1×3＝﹣3．
故选：A．
二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）当x＝2时，的值是 4 ．
【分析】把x的值代入代数式，根据算术平方根的概念计算即可．
【解答】解：当x＝2时，＝＝＝4，
故答案为：4．
12．（4分）若点（4，m）与点（5，n）都在反比例函数y＝（x≠0）的图象上，则m ＞ n（填＞，＜或＝）．
【分析】易得反比例函数的图象在一三象限，根据在每个象限内，y随x的增大而减少可得m和n的大小．
【解答】解：∵k＝8＞0，
∴反比例函数y＝（x≠0）的图象过一三象限，
∴在第一象限y随x的增大而减小
∵4＜5，
∴m＞n，
故答案为＞．
13．（4分）已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是 2.8 ．
【分析】根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差．
【解答】解：因为一组数据10，8，9，x，5的众数是8，所以x＝8．
于是这组数据为10，8，9，8，5．
该组数据的平均数为：（10+8+9+8+5）＝8，
方差S2＝[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（5﹣8）2]＝＝2.8．
故答案为：2.8．
14．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则b的值是 2 ．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意得：△＝b2﹣4（b﹣1）＝（b﹣2）2＝0，
则b的值为2．
故答案为：2
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为 ．
【分析】作辅助线，构建等腰△BDF，先根据三角形内角和得∠BDC＝∠F，再由等腰三角形三线合一的性质得CD＝CF，最后证明△DCO≌△FCA（AAS），可得结论．
【解答】解：如图1，延长BA和DC交于点F，
∵点A（3，0），点B（3，5），
∴AB⊥x轴，OA＝3，
∵四边形DCBE是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴∠BCF＝∠DCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CBF，
∴∠BDC＝∠BFC，
∴BD＝BF，
∴CD＝CF，
在△DCO和△FCA中，
，
∴△DCO≌△FCA（AAS），
∴OC＝AC，
∵AC＝OA＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）×；
（2）（2+3）（3﹣2）．
【分析】（1）用二次根式的乘法计算法则进行计算；
（2）利用平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝2；
（2）原式＝（3）2﹣（2）2
＝27﹣8
＝19．
18．（6分）解方程：
（1）x2+5x﹣6＝0；
（2）3x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+5x﹣6＝0，
分解因式得，（x﹣1）（x+6）＝0，
即x﹣1＝0或x+6＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣6；
（2）3x2﹣4x﹣7＝0．
分解因式得，（3x﹣7）（x+1）＝0，
即3x﹣7＝0或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形AECF是平行四边形，从而得到AE＝CF．
【解答】解：AE＝CF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥EC．
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE＝CF．
20．（8分）如图，在方格纸中，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为对角线的平行四边形．
（2）在图乙中画一个以AB为边的矩形．
【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用矩形的性质得出符合题意的图形．
【解答】解：（1）如图甲所示：四边形ACBD是平行四边形；
（2）如图乙所示：四边形ABCD是矩形．
21．（8分）某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况．
已知捐书4本或4本以上的人平均每人捐书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5本．问捐书4本和5本的各有多少人？
【分析】设捐书4本的有x人，捐书5本的有y人，根据“捐书4本或4本以上的人平均每人捐书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5本”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设捐书4本的有x人，捐书5本的有y人，
依题意得：，
解得：．
答：捐书4本的有10人，捐书5本的有6人．
22．（10分）如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长FG＝MH＝x，MN＝GM＝2x，再利用CD＝120cm，求出x即可得出这个工艺盒的体积V；
（2）利用已知表示出工艺盒的侧面面积，进而利用函数最值求出即可．
【解答】解：（1）根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长FG＝MH＝x，
则GM＝GN＝x，故MN＝GM＝2x，
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，
∴x+2x+x＝120，
解得：x＝30，
则 正方体的底面边长a＝30，
∴V＝a3＝＝5400（cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400cm3；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝x，h＝＝（60﹣x），
∴S＝4ah＝4x•（60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．
23．（10分）在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，且A（﹣1，0），B（0，﹣），C（3，0）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若反比例函数y＝的图象与线段BC交于点E，F，且BF＝EF．
①求点F的横坐标；
②求k值．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断出∠ABD＝90°，即可得出结论；
（2）①先求出直线BC的解析式为y＝x﹣，过点E作EF⊥x轴于N，过F作FM⊥x轴于M进而判断出ON＝2OM，设点F（m，m﹣），则E（2m，m﹣），将点E，F的坐标代入反比例函数y＝的图象上，即可求出m，k；
②由①知，k＝﹣．
【解答】（1）证明：∵A（﹣1，0），B（0，﹣），C（3，0），
∴OA＝1，OB＝，OC＝3，
∴AB2＝OA2+OB2＝4，BC2＝OB2+OC2＝12，AC2＝（OA+OC）2＝16，
∴AB2+BC2＝4+12＝16＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）①∵B（0，﹣），C（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
如图，过点E作EF⊥x轴于N，过F作FM⊥x轴于M，
∴NE∥MF∥OB，
∴，
∵BF＝EF，
∴MN＝OM，
∴ON＝2OM，
∵点E，F在线段BC上，
∴设点F（m，m﹣），则E（2m，m﹣），
∵点E，F在反比例函数y＝的图象上，
∴m（m﹣）＝2m（m﹣）＝k，
∴m＝1，k＝﹣，
∴点F的横坐标为1；
②由①知，k＝﹣．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中，原点O是正方形ABCD的对角线交点，点A（0，2），过x轴正半轴上的动点P（m，0）作x轴垂线交过点B，C，D三点的抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在四边形ACPQ为菱形，若存在，求出m值；若不在，说明理由．
（3）连结BQ，当△BPQ有两边之比为：1时，求m的值．
【分析】（1）由正方形可得B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+2），将点C（0，﹣2）代入解析式即可求解；
（2）求出AC＝4，P（m，0），则Q（m，m2﹣2），由菱形可知PQ＝AC，则4＝|m2﹣2|，解得m＝，此时四边形ACPQ为菱形；当m＝﹣2时四边形ACQP为菱形，不合题意；
（3）求出BP＝|m+2|，QP＝|m2﹣2|，由△BPQ有两边之比为：1，分三种情况；①当PQ＝BP时，|m+2|＝|m2﹣2|，解得m＝0或m＝4；②当BP＝PQ时，|m+2|＝|m2﹣2|，解得m＝2+或m＝2﹣；③当PQ＝PB时，|m+2|＝|m2﹣2|，解得m＝2+2或m＝2﹣2．
【解答】解：（1）∵原点O是正方形ABCD的对角线交点，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵A（0，2），
∴B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+2），将点C（0，﹣2）代入，
得a＝，
∴y＝x2﹣2；
（2）存在，理由如下：
∵A（0，2），C（0，﹣2），
∴AC＝4，
∵PQ⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，m2﹣2），
∵四边形ACPQ为菱形，
∴PQ＝AC，
∴4＝|m2﹣2|，
解得m＝，
当m＝2时，P（2，0），Q（2，4），
∴AQ＝CP＝4，
∴m＝2；
当m＝﹣2时，P（﹣2，0），Q（﹣2，4），
∴AQ＝CP＝4，
∴m＝﹣2时，四边形ACQP为菱形，不合题意；
综上所述：m＝2；
（3）由（2）可知：BP＝|m+2|，QP＝|m2﹣2|，
由△BPQ有两边之比为：1，分三种情况；
①当PQ＝BP时，|m+2|＝|m2﹣2|，
m+2＝m2﹣2时解得m＝﹣2（舍）或m＝4，
﹣m﹣2＝m2﹣2时，解得m＝0或m＝﹣2（舍）；
②当BP＝PQ时，|m+2|＝|m2﹣2|，
m+2＝（m2﹣2）时，解得m＝﹣2（舍）或m＝2+；
﹣m﹣2＝（m2﹣2）时，解得m＝﹣2（舍）或m＝2﹣；
③当PQ＝PB时，|m+2|＝|m2﹣2|，
（m+2）＝m2﹣2时，解得m＝﹣2（舍）或m＝2+2；
﹣（m+2）＝m2﹣2时，解得m＝﹣2（舍）或m＝2﹣2；
综上所述：m的值为0或4或2+或2﹣或2+2或2﹣2．
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