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2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
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这是一份2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷（五四学制），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝1 B．x﹣＝2 C． D．5x+3y＝8
2．（3分）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．1＞﹣5 B． C． D．x2+5x＞29
3．（3分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，4，6 C．3，5，9 D．6，8，15
4．（3分）如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（ ）
A．∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB
5．（3分）已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2＝1.5，乙组数据的方差S乙2＝2.5，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲组数据与乙组数据的波动无法比较
6．（3分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（3分）若x＞y，则下列变形正确的是（ ）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣
8．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
9．（3分）如图，作∠AOB的平分线方法如下：（1）以点O为圆心，适当长为半径，画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．由作法得△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
10．（3分）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝ ．
12．（3分）用不等式表示“a与5的和是正数”： ．
13．（3分）已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 ．
14．（3分）已知x＝2，y＝2是方程ax﹣2y＝4的解，则a＝ ．
15．（3分）不等式组的解集是 ．
16．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数是 ．
17．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 边形．
18．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、8cm，那么它的周长为 cm．
19．（3分）方程组的解是 ．
20．（3分）如图，D是△ABC的边BC上的一点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC＝ ．
三、解答题（共计60分，其中21题8分，22题6分，23～24题每题8分，25～27题每题10分）
21．（8分）解方程组、不等式．
（1）；
（2）3（2x+7）＞23．
22．（6分）图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，请在图1、图2中分别按要求画图
（1）在图1中画△ABC的中线CD；
（2）在图2中画△ABC的高线BE．
23．（8分）某校在“绿色是生命的源泉，绿色是生命的希望”的主题创建活动中，组织全校学生开展了植树造林活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如表：
植树数量（棵）
6
7
8
9
10
人数
11
28
27
18
16
（1）上述随机抽查的100名学生的植树情况数据中，中位数是 ，众数是 ．
（2）若该校有2000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数．
24．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点F，FB＝FC．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形．
25．（10分）为了丰富同学们的课余生活，体育老师到体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球（每个篮球的价格相同，每个排球的价格相同），若购买1个篮球和2个排球，则需要310元；若购买2个篮球和1个排球，则需要380元．
（1）购买一个篮球、一个排球各需多少元？
（2）根据学校的实际情况，若一次性购买篮球和排球共20个，且购买篮球和排球的总费用不超过2300元，体育老师最多可以购买多少个篮球？
26．（10分）如图1，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC＝60°．
（1）求∠BGC的度数；
（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH＝∠BGC，且AH＝8，BC＝10，求△ABC的周长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为A（m，n﹣1），B点的坐标为（﹣n，0），其中m，n是二元一次方程组的解，过点A作x轴的平行线交y轴于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO的方向运动，连接PC，设点P的运动时间为t秒，三角形OPC的面积为S（S≠0），请用含t的式子表示S（不用写出相应的t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA的方向运动，过点O作直线PC的垂线，点G为垂足；过点Q作直线PC的垂线，点H为垂足．当OG＝2QH时，求t的值．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝1 B．x﹣＝2 C． D．5x+3y＝8
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．1＞﹣5 B． C． D．x2+5x＞29
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析．
【解答】解：A、该不等式中不含有未知数，故不是一元一次不等式，不符合题意；
B、该不等式属于分式不等式，不符合题意；
C、是一元一次不等式，符合题意；
D、该不等式是一元二次不等式，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，4，6 C．3，5，9 D．6，8，15
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、4+2＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、6+8＝14＜15，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（ ）
A．∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
故选：C．
5．（3分）已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2＝1.5，乙组数据的方差S乙2＝2.5，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲组数据与乙组数据的波动无法比较
【分析】根据方差的意义即可求出答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴乙组数据比甲组数据的波动大，
故选：B．
6．（3分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．
故选：C．
7．（3分）若x＞y，则下列变形正确的是（ ）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A正确；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B错误；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、两边都除以﹣3，不等号的方向改变，故D错误；
故选：A．
8．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：长方形，正方形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：D．
9．（3分）如图，作∠AOB的平分线方法如下：（1）以点O为圆心，适当长为半径，画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．由作法得△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用作法和三角形全等的判定方法求解．
【解答】解：由作法得OM＝ON，CM＝CN，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OMC≌△ONC．
故选：A．
10．（3分）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．
【解答】解：①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；
②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；
③全等三角形的对应边相等，是真命题；
④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝ 2x﹣3 ．
【分析】将x看着已知数，y看着未知数，求出y即可．
【解答】解：2x﹣y＝3，
解得：y＝2x﹣3．
故答案为：2x﹣3
12．（3分）用不等式表示“a与5的和是正数”： a+5＞0 ．
【分析】直接利用正数的定义以及结合不等关系得出不等式．
【解答】解：a与5的和是正数用不等式表示为：a+5＞0，
故答案为：a+5＞0．
13．（3分）已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 5＜a＜9 ．
【分析】利用“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”，可求出a的取值范围．
【解答】解：∵7﹣2＝5，2+7＝9，
∴第三边a的取值范围为5＜a＜9．
故答案为：5＜a＜9．
14．（3分）已知x＝2，y＝2是方程ax﹣2y＝4的解，则a＝ 4 ．
【分析】将方程的解x＝2，y＝2代入方程即可求a的值．
【解答】解：∵x＝2，y＝2是方程ax﹣2y＝4的解，
∴2a﹣4＝4，
∴a＝4，
故答案为4．
15．（3分）不等式组的解集是 3＜x＜4 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解①得x＞3；
故不等式组的解集为3＜x＜4．
故答案为：3＜x＜4．
16．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数是 10 ．
【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可．
【解答】解：数据7，8，10，12，13的平均数是：
×（7+8+10+12+13）＝10．
故答案为：10．
17．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 九 边形．
【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝1260，
解得n＝9．
18．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、8cm，那么它的周长为 22或20 cm．
【分析】本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．
【解答】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长＝8+8+6＝22（cm）；
当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是＝6+6+8＝20（cm）．
因此等腰三角形的周长为22cm或20cm．
故答案为：22或20．
19．（3分）方程组的解是 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x+3z＝9，即x+z＝3④，
③﹣④得：4z＝4，
解得：z＝1，
把z＝1代入④得：x+1＝3，
解得：x＝2，
把z＝1代入②得：2y+3＝1，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
故答案为．
20．（3分）如图，D是△ABC的边BC上的一点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC＝ 6 ．
【分析】如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE
【解答】解：作AB中点F，连接DF．
∵∠ADB＝∠BAD，
∴BD＝AB，
又∵CD＝AB，
∴CD＝BD，即D为BC中点，
∵F是AB中点，
∴DF∥AC且DF＝AC，
又∵AB＝BD，E、F分别为BD、AB中线，
∴DE＝AF＝AB＝BD，
∵∠ADB＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠EDA，
在△ADF与△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴AE＝DF，
∴AC＝2DF＝2AE＝6，
故答案为：6．
三、解答题（共计60分，其中21题8分，22题6分，23～24题每题8分，25～27题每题10分）
21．（8分）解方程组、不等式．
（1）；
（2）3（2x+7）＞23．
【分析】（1）代入消元法求解即可；
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（1），
将①代入②，得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得：y＝2×2﹣3＝1，
∴方程组的解为；
（2）去括号，得：6x+21＞23，
移项，得：6x＞23﹣21，
合并，得：6x＞2，
系数化为1，得：x＞．
22．（6分）图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，请在图1、图2中分别按要求画图
（1）在图1中画△ABC的中线CD；
（2）在图2中画△ABC的高线BE．
【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形即可．
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，线段BE即为所求．
23．（8分）某校在“绿色是生命的源泉，绿色是生命的希望”的主题创建活动中，组织全校学生开展了植树造林活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如表：
植树数量（棵）
6
7
8
9
10
人数
11
28
27
18
16
（1）上述随机抽查的100名学生的植树情况数据中，中位数是 8 ，众数是 7 ．
（2）若该校有2000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数．
【分析】（1）利用中位数及众数的定义求得中位数和众数即可；
（2）先根据平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数得出样本平均数．再根据总体平均数约等于样本平均数，用样本的平均数乘总人数即可．
【解答】解：（1）因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，
所以中位数是（8+8）÷2＝8；
7出现了28次，出现的次数最多，则众数是7．
故答案为：8，7；
（2）平均数＝（6×11+7×28+8×27+9×18+10×16）÷100
＝800÷100
＝8（棵），
植树总数＝8×2000＝16000（棵）．
故该校学生的植树总数是16000棵．
24．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点F，FB＝FC．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形．
【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BDF＝∠CEF＝90°，根据AAS可以推出△BDF≌△CEF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，BD＝CE，DF＝EF，求出AB＝AC，再根据全等三角形的判定定理推出△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ACD≌△ABE．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BD＝CE；
（2）△BFD≌△CFE，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ACD≌△ABE，
理由是：由（1）知：△BFD≌△CFE，
所以DF＝EF，∠B＝∠C，BD＝CE，
根据HL可以推出△ADF≌△AEF，
所以AD＝AE，
∵BD＝CE，
∴AB＝AC，
根据SAS可以推出△ABF≌△ACF，根据HL可以推出△ACD≌△ABE．
25．（10分）为了丰富同学们的课余生活，体育老师到体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球（每个篮球的价格相同，每个排球的价格相同），若购买1个篮球和2个排球，则需要310元；若购买2个篮球和1个排球，则需要380元．
（1）购买一个篮球、一个排球各需多少元？
（2）根据学校的实际情况，若一次性购买篮球和排球共20个，且购买篮球和排球的总费用不超过2300元，体育老师最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个排球需y元，由题意：若购买1个篮球和2个排球，则需要310元；若购买2个篮球和1个排球，则需要380元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设体育老师购买m个篮球，则购买排球（20﹣m）个足球，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过2300元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个排球需y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个篮球需150元，一个排球需80元．
（2）设体育老师购买m个篮球，则购买排球（20﹣m）个足球，
依题意得：150m+80（20﹣m）≤2300，
解得：m≤10，
答：体育老师最多购买10个篮球．
26．（10分）如图1，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC＝60°．
（1）求∠BGC的度数；
（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH＝∠BGC，且AH＝8，BC＝10，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB即可．
（2）如图2中，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q．证明GM＝GQ，可得结论．
（3）如图3中，在BC上取一点K，使得BK＝BA，连接GK．证明BA＝BK，CK＝CH，推出△ABC的周长＝AB+BC+CA＝AB+（BK+KC）+（AH+CH）＝2BC+AH，可得结论．
【解答】（1）解：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：如图2中，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q．
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
∴GM＝GN，GN＝GQ，
∴GM＝GQ，
∵GM⊥AB于M，GQ⊥AC于Q，
∴AG平分∠BAC．
（3）解：如图3中，在BC上取一点K，使得BK＝BA，连接GK．
∵AG平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAG＝∠CAG＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠KBG，
在△ABG和△KBG中，
，
∴△ABG≌△KBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BKG＝30°，
∴∠GKC＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AGH＝∠BGC＝120°，∠CAG＝30°，
∴∠GHC＝∠CAG+∠AGH＝30°+120°＝150°，
∴∠GKC＝∠GHC，
在△CGH和△CGK中，
，
∴△CGH≌△CGK（AAS），
∴CH＝CK，
∴△ABC的周长＝AB+BC+CA＝AB+（BK+KC）+（AH+CH）＝2BC+AH＝2×10+8＝28．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为A（m，n﹣1），B点的坐标为（﹣n，0），其中m，n是二元一次方程组的解，过点A作x轴的平行线交y轴于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO的方向运动，连接PC，设点P的运动时间为t秒，三角形OPC的面积为S（S≠0），请用含t的式子表示S（不用写出相应的t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA的方向运动，过点O作直线PC的垂线，点G为垂足；过点Q作直线PC的垂线，点H为垂足．当OG＝2QH时，求t的值．
【分析】（1）解方程组求出m，n即可解决问题．
（2）分两种情形：①当点P在线段OB上时，②当点P在OB的延长线上时，利用三角形面积公式分别求解即可．
（3）分两种情形：当点P在线段OB上时，连接PQ，过点M作PM⊥AC交AC的延长线于M．证明OP＝2CQ，构建方程，可得结论．当点P在BO的延长线上时，同法可得OP＝2CQ，构建方程可得结论．
【解答】解：（1）解方程组得，
∴A（6，7），B（﹣8，0）．
（2）①当点P在线段OB上时，BP＝4t，OP＝8﹣4t，
∴S＝•OP•OC＝•（8﹣4t）×7＝28﹣14t．
②当点P在OB的延长线上时，S＝•OP•OC＝•（4t﹣8）×7＝14t﹣28．
综上所述，S＝．
（3）当点P在线段OB上时，连接PQ，过点M作PM⊥AC交AC的延长线于M．
∵S△OPC＝•OP•OC＝•PC•OG，S△PCQ＝•CQ•PM＝•PC•QH，
又∵OG＝2QH，
∴S△OPC＝2S△PCQ，
∴OP＝2CQ，
∴8﹣4t＝2t，
∴t＝，
当点P在BO的延长线上时，同法可得OP＝2CQ，4t﹣8＝2t，
∴t＝4，
综上所述，满足条件的t的值为或4．
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日期：2021/8/12 11:48:21；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝1 B．x﹣＝2 C． D．5x+3y＝8
2．（3分）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．1＞﹣5 B． C． D．x2+5x＞29
3．（3分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，4，6 C．3，5，9 D．6，8，15
4．（3分）如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（ ）
A．∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB
5．（3分）已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2＝1.5，乙组数据的方差S乙2＝2.5，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲组数据与乙组数据的波动无法比较
6．（3分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（3分）若x＞y，则下列变形正确的是（ ）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣
8．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
9．（3分）如图，作∠AOB的平分线方法如下：（1）以点O为圆心，适当长为半径，画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．由作法得△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
10．（3分）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝ ．
12．（3分）用不等式表示“a与5的和是正数”： ．
13．（3分）已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 ．
14．（3分）已知x＝2，y＝2是方程ax﹣2y＝4的解，则a＝ ．
15．（3分）不等式组的解集是 ．
16．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数是 ．
17．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 边形．
18．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、8cm，那么它的周长为 cm．
19．（3分）方程组的解是 ．
20．（3分）如图，D是△ABC的边BC上的一点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC＝ ．
三、解答题（共计60分，其中21题8分，22题6分，23～24题每题8分，25～27题每题10分）
21．（8分）解方程组、不等式．
（1）；
（2）3（2x+7）＞23．
22．（6分）图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，请在图1、图2中分别按要求画图
（1）在图1中画△ABC的中线CD；
（2）在图2中画△ABC的高线BE．
23．（8分）某校在“绿色是生命的源泉，绿色是生命的希望”的主题创建活动中，组织全校学生开展了植树造林活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如表：
植树数量（棵）
6
7
8
9
10
人数
11
28
27
18
16
（1）上述随机抽查的100名学生的植树情况数据中，中位数是 ，众数是 ．
（2）若该校有2000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数．
24．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点F，FB＝FC．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形．
25．（10分）为了丰富同学们的课余生活，体育老师到体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球（每个篮球的价格相同，每个排球的价格相同），若购买1个篮球和2个排球，则需要310元；若购买2个篮球和1个排球，则需要380元．
（1）购买一个篮球、一个排球各需多少元？
（2）根据学校的实际情况，若一次性购买篮球和排球共20个，且购买篮球和排球的总费用不超过2300元，体育老师最多可以购买多少个篮球？
26．（10分）如图1，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC＝60°．
（1）求∠BGC的度数；
（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH＝∠BGC，且AH＝8，BC＝10，求△ABC的周长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为A（m，n﹣1），B点的坐标为（﹣n，0），其中m，n是二元一次方程组的解，过点A作x轴的平行线交y轴于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO的方向运动，连接PC，设点P的运动时间为t秒，三角形OPC的面积为S（S≠0），请用含t的式子表示S（不用写出相应的t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA的方向运动，过点O作直线PC的垂线，点G为垂足；过点Q作直线PC的垂线，点H为垂足．当OG＝2QH时，求t的值．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝1 B．x﹣＝2 C． D．5x+3y＝8
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．1＞﹣5 B． C． D．x2+5x＞29
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析．
【解答】解：A、该不等式中不含有未知数，故不是一元一次不等式，不符合题意；
B、该不等式属于分式不等式，不符合题意；
C、是一元一次不等式，符合题意；
D、该不等式是一元二次不等式，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，4，6 C．3，5，9 D．6，8，15
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、4+2＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、6+8＝14＜15，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（ ）
A．∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
故选：C．
5．（3分）已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2＝1.5，乙组数据的方差S乙2＝2.5，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲组数据与乙组数据的波动无法比较
【分析】根据方差的意义即可求出答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴乙组数据比甲组数据的波动大，
故选：B．
6．（3分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．
故选：C．
7．（3分）若x＞y，则下列变形正确的是（ ）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．﹣
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A正确；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B错误；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、两边都除以﹣3，不等号的方向改变，故D错误；
故选：A．
8．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：长方形，正方形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：D．
9．（3分）如图，作∠AOB的平分线方法如下：（1）以点O为圆心，适当长为半径，画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．由作法得△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用作法和三角形全等的判定方法求解．
【解答】解：由作法得OM＝ON，CM＝CN，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OMC≌△ONC．
故选：A．
10．（3分）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．
【解答】解：①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；
②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；
③全等三角形的对应边相等，是真命题；
④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝ 2x﹣3 ．
【分析】将x看着已知数，y看着未知数，求出y即可．
【解答】解：2x﹣y＝3，
解得：y＝2x﹣3．
故答案为：2x﹣3
12．（3分）用不等式表示“a与5的和是正数”： a+5＞0 ．
【分析】直接利用正数的定义以及结合不等关系得出不等式．
【解答】解：a与5的和是正数用不等式表示为：a+5＞0，
故答案为：a+5＞0．
13．（3分）已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 5＜a＜9 ．
【分析】利用“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”，可求出a的取值范围．
【解答】解：∵7﹣2＝5，2+7＝9，
∴第三边a的取值范围为5＜a＜9．
故答案为：5＜a＜9．
14．（3分）已知x＝2，y＝2是方程ax﹣2y＝4的解，则a＝ 4 ．
【分析】将方程的解x＝2，y＝2代入方程即可求a的值．
【解答】解：∵x＝2，y＝2是方程ax﹣2y＝4的解，
∴2a﹣4＝4，
∴a＝4，
故答案为4．
15．（3分）不等式组的解集是 3＜x＜4 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解①得x＞3；
故不等式组的解集为3＜x＜4．
故答案为：3＜x＜4．
16．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数是 10 ．
【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可．
【解答】解：数据7，8，10，12，13的平均数是：
×（7+8+10+12+13）＝10．
故答案为：10．
17．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 九 边形．
【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝1260，
解得n＝9．
18．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为6cm、8cm，那么它的周长为 22或20 cm．
【分析】本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．
【解答】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长＝8+8+6＝22（cm）；
当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是＝6+6+8＝20（cm）．
因此等腰三角形的周长为22cm或20cm．
故答案为：22或20．
19．（3分）方程组的解是 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x+3z＝9，即x+z＝3④，
③﹣④得：4z＝4，
解得：z＝1，
把z＝1代入④得：x+1＝3，
解得：x＝2，
把z＝1代入②得：2y+3＝1，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
故答案为．
20．（3分）如图，D是△ABC的边BC上的一点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC＝ 6 ．
【分析】如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE
【解答】解：作AB中点F，连接DF．
∵∠ADB＝∠BAD，
∴BD＝AB，
又∵CD＝AB，
∴CD＝BD，即D为BC中点，
∵F是AB中点，
∴DF∥AC且DF＝AC，
又∵AB＝BD，E、F分别为BD、AB中线，
∴DE＝AF＝AB＝BD，
∵∠ADB＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠EDA，
在△ADF与△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴AE＝DF，
∴AC＝2DF＝2AE＝6，
故答案为：6．
三、解答题（共计60分，其中21题8分，22题6分，23～24题每题8分，25～27题每题10分）
21．（8分）解方程组、不等式．
（1）；
（2）3（2x+7）＞23．
【分析】（1）代入消元法求解即可；
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（1），
将①代入②，得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得：y＝2×2﹣3＝1，
∴方程组的解为；
（2）去括号，得：6x+21＞23，
移项，得：6x＞23﹣21，
合并，得：6x＞2，
系数化为1，得：x＞．
22．（6分）图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，请在图1、图2中分别按要求画图
（1）在图1中画△ABC的中线CD；
（2）在图2中画△ABC的高线BE．
【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形即可．
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，线段BE即为所求．
23．（8分）某校在“绿色是生命的源泉，绿色是生命的希望”的主题创建活动中，组织全校学生开展了植树造林活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如表：
植树数量（棵）
6
7
8
9
10
人数
11
28
27
18
16
（1）上述随机抽查的100名学生的植树情况数据中，中位数是 8 ，众数是 7 ．
（2）若该校有2000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数．
【分析】（1）利用中位数及众数的定义求得中位数和众数即可；
（2）先根据平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数得出样本平均数．再根据总体平均数约等于样本平均数，用样本的平均数乘总人数即可．
【解答】解：（1）因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，
所以中位数是（8+8）÷2＝8；
7出现了28次，出现的次数最多，则众数是7．
故答案为：8，7；
（2）平均数＝（6×11+7×28+8×27+9×18+10×16）÷100
＝800÷100
＝8（棵），
植树总数＝8×2000＝16000（棵）．
故该校学生的植树总数是16000棵．
24．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点F，FB＝FC．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形．
【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BDF＝∠CEF＝90°，根据AAS可以推出△BDF≌△CEF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，BD＝CE，DF＝EF，求出AB＝AC，再根据全等三角形的判定定理推出△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ACD≌△ABE．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BD＝CE；
（2）△BFD≌△CFE，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ACD≌△ABE，
理由是：由（1）知：△BFD≌△CFE，
所以DF＝EF，∠B＝∠C，BD＝CE，
根据HL可以推出△ADF≌△AEF，
所以AD＝AE，
∵BD＝CE，
∴AB＝AC，
根据SAS可以推出△ABF≌△ACF，根据HL可以推出△ACD≌△ABE．
25．（10分）为了丰富同学们的课余生活，体育老师到体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球（每个篮球的价格相同，每个排球的价格相同），若购买1个篮球和2个排球，则需要310元；若购买2个篮球和1个排球，则需要380元．
（1）购买一个篮球、一个排球各需多少元？
（2）根据学校的实际情况，若一次性购买篮球和排球共20个，且购买篮球和排球的总费用不超过2300元，体育老师最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个排球需y元，由题意：若购买1个篮球和2个排球，则需要310元；若购买2个篮球和1个排球，则需要380元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设体育老师购买m个篮球，则购买排球（20﹣m）个足球，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过2300元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个排球需y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个篮球需150元，一个排球需80元．
（2）设体育老师购买m个篮球，则购买排球（20﹣m）个足球，
依题意得：150m+80（20﹣m）≤2300，
解得：m≤10，
答：体育老师最多购买10个篮球．
26．（10分）如图1，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC＝60°．
（1）求∠BGC的度数；
（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH＝∠BGC，且AH＝8，BC＝10，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB即可．
（2）如图2中，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q．证明GM＝GQ，可得结论．
（3）如图3中，在BC上取一点K，使得BK＝BA，连接GK．证明BA＝BK，CK＝CH，推出△ABC的周长＝AB+BC+CA＝AB+（BK+KC）+（AH+CH）＝2BC+AH，可得结论．
【解答】（1）解：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：如图2中，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q．
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
∴GM＝GN，GN＝GQ，
∴GM＝GQ，
∵GM⊥AB于M，GQ⊥AC于Q，
∴AG平分∠BAC．
（3）解：如图3中，在BC上取一点K，使得BK＝BA，连接GK．
∵AG平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAG＝∠CAG＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠KBG，
在△ABG和△KBG中，
，
∴△ABG≌△KBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BKG＝30°，
∴∠GKC＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AGH＝∠BGC＝120°，∠CAG＝30°，
∴∠GHC＝∠CAG+∠AGH＝30°+120°＝150°，
∴∠GKC＝∠GHC，
在△CGH和△CGK中，
，
∴△CGH≌△CGK（AAS），
∴CH＝CK，
∴△ABC的周长＝AB+BC+CA＝AB+（BK+KC）+（AH+CH）＝2BC+AH＝2×10+8＝28．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为A（m，n﹣1），B点的坐标为（﹣n，0），其中m，n是二元一次方程组的解，过点A作x轴的平行线交y轴于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO的方向运动，连接PC，设点P的运动时间为t秒，三角形OPC的面积为S（S≠0），请用含t的式子表示S（不用写出相应的t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA的方向运动，过点O作直线PC的垂线，点G为垂足；过点Q作直线PC的垂线，点H为垂足．当OG＝2QH时，求t的值．
【分析】（1）解方程组求出m，n即可解决问题．
（2）分两种情形：①当点P在线段OB上时，②当点P在OB的延长线上时，利用三角形面积公式分别求解即可．
（3）分两种情形：当点P在线段OB上时，连接PQ，过点M作PM⊥AC交AC的延长线于M．证明OP＝2CQ，构建方程，可得结论．当点P在BO的延长线上时，同法可得OP＝2CQ，构建方程可得结论．
【解答】解：（1）解方程组得，
∴A（6，7），B（﹣8，0）．
（2）①当点P在线段OB上时，BP＝4t，OP＝8﹣4t，
∴S＝•OP•OC＝•（8﹣4t）×7＝28﹣14t．
②当点P在OB的延长线上时，S＝•OP•OC＝•（4t﹣8）×7＝14t﹣28．
综上所述，S＝．
（3）当点P在线段OB上时，连接PQ，过点M作PM⊥AC交AC的延长线于M．
∵S△OPC＝•OP•OC＝•PC•OG，S△PCQ＝•CQ•PM＝•PC•QH，
又∵OG＝2QH，
∴S△OPC＝2S△PCQ，
∴OP＝2CQ，
∴8﹣4t＝2t，
∴t＝，
当点P在BO的延长线上时，同法可得OP＝2CQ，4t﹣8＝2t，
∴t＝4，
综上所述，满足条件的t的值为或4．
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日期：2021/8/12 11:48:21；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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