2017_2018学年成都市武侯区九上期末数学试卷

这是一份2017_2018学年成都市武侯区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. cs30∘ 的值等于
A. 22B. 32C. 1D. 3

2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是
A. B.
C. D.

3. 反比例函数 y=4x 的图象经过的象限是
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限

4. 一元二次方程 2x2+5=7x 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断

5. 下列抛物线中，与抛物线 y=−3x2+1 的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为 −1,2 的是
A. y=−3x+12+2B. y=−3x−12+2
C. y=−3x−12+2D. y=−3x−12+2

6. 已知某斜坡的坡角为 α，坡度 i=3:4，则 sinα 的值为
A. 34B. 35C. 43D. 45

7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，若 ∠BAC=30∘，则 ∠D 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−kx−6=0 的一个根为 x=3，则另一个根为
A. x=−2B. x=−3C. x=2D. x=3

9. 如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 CD 上，且 CFAB=23，连接 BF 并延长交 AD 的延长线于点 E，则 DEBC 的值为
A. 13B. 23C. 12D. 25

10. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与直线 y=−x 相交于 A，B 两点，则下列说法正确的是
A. ac<0，b+12−4ac<0B. ac<0，b+12−4ac>0
C. ac>0，b+12−4ac<0D. ac>0，b+12−4ac>0

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高 1.8 米的李明的影长为 1 米，同时测得旗杆的影长为 7 米，则学校的旗杆的高为 米．

12. 若 ab=cd=3b+d≠0，则 a+cb+d= ．

13. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数 y=−3x 的图象经过 A−512,y1，B−2,y2 两点，则 y1 y2（选填“>”，“<”或“=”）．

14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，则 BF 的长为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. （1）计算：12−13−1+−20180+∣2sin60∘−2∣．
（2）解方程：3x2+2x−5=0．

16. 已知，如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的中线，分别过 C，B 作 CE∥AB，BE∥CD，且 CE 与 BE 相交于点 E．求证：四边形 CDBE 是菱形．

17. 小明和小颖商量采取以下规则决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的 2 个红球和 1 个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小明获得入场券，否则小颖获得入场券．你认为这个规则对双方公平吗?请用画树状图或列表的方法说明理由．

18. 钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017 年 9 月 11 日，中国海警 2401 号船在 A 地测得钓鱼岛 B 在北偏东 30∘ 方向，现该海警船继续从 A 地出发以 30 海里/小时的速度向正北方向航行 2 小时后到达 C 地．
（1）若 ∠B=15∘，求钓鱼岛 B 在 C 地的北偏东多少度?
（2）在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离 CB 的长．（结果保留根号）

19. 如图，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y=−3x 的图象相交于点 A−1,m，Bn,−1 两点，直线 AB 与 y 轴交于 C 点，连接 OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在 x 轴上找一 P，连接 BP，使 △BOP 的面积等于 △BOC 面积的 2 倍，求满足条件的点 P 的坐标．

20. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，F 为 ⊙O 上两点，过 C 作 CE⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 E，延长 EC 交 BF 的延长线于点 G，连接 CF，EF．
（1）求证：∠BFE=∠CFG；
（2）若 FG=4，BF=6，CF=3．
①求 EF 的长；
②若 tan∠GFC=22，求 ⊙O 的半径．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 CD 分别是线段 AB 上的两个黄金分割点，且 AB=4，则 CD= ．

22. 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2−5x+a=0 的两个实数根，且 ∣x1−x2∣=5，则 a= ．

23. 如图，抛物线 y=−14x2+x+c 的顶点是正方形 ABCO 的边 AB 的中点，点 A，C 在坐标轴上，抛物线分别与 AO，BC 交于 D，E 两点，将抛物线向下平移 1 个单位长度得到如图所示的阴影部分．现随机向该正方形区域投掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率 P= ．

24. 如图，直线 y=−x+b 与双曲线 y=kxk<0，y=mxm>0 分别相交于点 A，B，C，D，已知点 A 的坐标为 −1,4，且 AB:CD=5:2，则 m= ．

25. 如图，⊙O 的直径 AB 的长 12，长度为 4 的弦 DF 在半圆上滑动，DE⊥AB 于点 E，OC⊥DF 于点 C，连接 CE，AF，则 sin∠AEC 的值是 ，当 CE 的长取得最大值时 AF 的长是 ．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某种蔬菜每千克售价 y1（元）与销售月份 x 之间的关系如图 1 所示，每千克成本 y2（元）与销售月份 x 之间的关系如图 2 所示，其中图 1 中的点在同一条线段上，图 2 中的点在同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为 6,1．
（1）求出 y1 与 x 之间满足的函数表达式，并直接写出 x 的取值范围；
（2）求出 y2 与 x 之间满足的函数表达式；
（3）设这种蔬菜每千克收益为 w 元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w 将取得最大值?并求出此最大值．（收益 = 售价 − 成本）

27. 如图 1，点 E 为正方形 ABCD 的边 CD 上一点，DF⊥AE 于点 F，交 AC 于点 M，交 BC 于点 G，在 CD 上取一点 Gʹ，使 CGʹ=CG，连接 MGʹ．
（1）求证：∠AED=∠CGʹM；
（2）如图 2，连接 BD 交 AE 于点 N，连接 MN，MGʹ 交 AE 于点 H．
①试判断 MN 与 CD 的位置关系，并说明理由；
②若 AB=12，DGʹ=GʹE，求 AH 的长．

28. 如图，抛物线 y=−12x2+32x+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），过点 A 的直线 y=32x+3 与抛物线交于点 C，且点 C 的纵坐标为 6．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 D 是抛物线上的一个动点，若 △ACD 的面积为 4，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过直线 AC 上方的点 D 的直线与抛物线交于点 E，与 x 轴正半轴交于点 F，若 AE=EF，求 tan∠EAF 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】cs30∘=32．
2. B
3. B【解析】∵4>0，
∴ 反比例函数 y=4x 的图象经过第一、三象限．
4. A【解析】2x2−7x+5=0，
因为 Δ=−72−4×2×5=9>0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
5. A
【解析】∵ 抛物线顶点坐标为 −1,2，
∴ 可设抛物线解析式为 y=ax+12+2，
∵ 与抛物线 y=−3x2+1 的形状、开口方向完全相同，
∴a=−3，
∴ 所求抛物线解析式为 y=−3x+12+2．
6. B【解析】如图中 Rt△ABC 中，
BC:AB=3:4，∠B=90∘．
设 BC=3k，AB=4k，则 AC=AB2+BC2=5k，
∴sinα=BCAC=3k5k=35．
7. C【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
又 ∵∠BAC=30∘，
∴∠B=60∘，
∴∠D=∠B=60∘．
8. A【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−kx−6=0 的一个根为 x=3，
∴32−3k−6=0，解得 k=1，
∴x2−x−6=0，解得 x=3 或 x=−2．
9. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴DFAB=DEAE，
∵CFAB=23，
∴DFAB=13，
∴DEAE=13，
∴DEAD=DEBC=12．
10. D
【解析】∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴，
∴c>0，
∴ac>0，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与直线 y=−x 相交于两点，
∴ax2+bx+x+c=0 有两个不相等的实数根，
∴b+12−4ac>0．
第二部分
11. 12.6
【解析】设这根旗杆的高度为 x m，
根据题意得 x7=1.81，解得 x=12.6m，
即这根旗杆的高度为 12.6 m．
12. 3
【解析】∵ab=cd=3，
∴a=3b，c=3d，
∴a+cb+d=3b+3db+d=3b+db+d=3．
13. <
【解析】反比例函数 y=−3x 的图象经过第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵A−512,y1，B−2,y2 均在第二象限，且 −512<−2，
∴y114. 5
【解析】由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
在 △ABF 和 △EDF 中，
∵∠BAF=∠DEF=90∘,∠AFB=∠EFD,AB=ED,
∴△ABF≌△EDFAAS，
∴BF=DF；
设 BF=x，则 DF=x，AF=8−x，
在 Rt△AFB 中，可得：BF2=AB2+AF2，
即 x2=42+8−x2，解得：x=5，故 BF 的长为 5．
第三部分
15. （1） 12−13−1+−20180+∣2sin60∘−2∣=23−3+1+2−3=3.
（2） 分解因式得：
3x−5x+1=0,
可得
3x−5=0或x+1=0,
解得：
x1=53,x2=−1.
16. ∵BE∥CD，CE∥AB，
∴ 四边形 CDBE 是平行四边形．
∵∠ACB=90∘，CD 是 AB 边上的中线，
∴CD=BD，
∴ 四边形 CDBE 是菱形．
17. 这个规则对双方不公平．理由如下：
画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中取出的球都是红球的占 4 种，
所以 P小明胜出=49，P小颖胜出=59，
由于 49≠59，
所以这个规则对双方不公平．
18. （1） ∵∠B=15∘，∠BAC=30∘，
∴∠BCN=∠B+∠A=45∘，
即钓鱼岛 B 在 C 地的北偏东 45 度方向上．
（2） 如图所示，过 B 作 BD⊥AC 于 D，
则 ∠CBD=45∘，
∴CD=BD，
设 CD=BD=x，则 AD=x+2×30=x+60，
在 Rt△ABD 中，tanA=BDAD，
即 33=xx+60，
解得 x=303+30，
即 CD=303+30，
∴Rt△BCD 中，BC=2CD=306+302，
答：海警船与钓鱼岛的距离 CB 的长为 306+302 海里．
19. （1） 把 A−1,m，Bn,−1 代入 y=−3x 得 m=3，n=3，
∴A−1,3，B3,−1，把 A−1,3，B3,−1 代入 y=kx+b 得 −k+b=3,3k+b=−1, 解得 k=−1,b=2,
∴ 一次函数解析式为 y=−x+2．
（2） 设 Pt,0，当 x=0 时，y=−x+2=2，则 C0,2，
∴S△OBC=12×2×3=3，
∵△BOP 的面积等于 △BOC 面积的 2 倍，
∴12⋅∣t∣⋅1=6，
∴t=12 或 t=−12，
∴P 点坐标为 12,0 或 −12,0．
20. （1） 连接 EB．
∵AB 是直径，AB⊥EC，
∴BE=BC，
∴∠BFE=∠BEC，
∵∠GFC+∠BFC=180∘，∠BEC+∠BFC=180∘，
∴∠CFG=∠BEC，
∴∠BFE=∠CFG．
（2） ① ∵∠FCG+∠ECF=180∘，∠EBF+∠ECF=180∘，
∴∠FCG=∠EBF，
∵∠GFC=∠BFE，
∴△GFC∽△EFB，
∴EFFG=FCFB，
∴EF4=36，
∴EF=8．
②作 BM⊥EF 于 M，作 ON⊥BE 于 N．
∵tan∠EFB=tan∠GFC=22=BMFM，
设 FM=m，则 BM=22m，
根据勾股定理可得 m=2，BM=42，FM=2，EM=6，BE=BM2+EM2=217，
∵ON⊥BE，
∴BN=17，
由 △BMF∽△BNO，得到 BFBO=BMBN，
∴6BO=4217，
∴OB=3344．
∴⊙O 的半径为 3344．
第四部分
21. 45−8
【解析】∵C，D 是 AB 上的两个黄金分割点，
∴AD=BC=5−12AB=4×5−12=25−2，
∴CD=AD+BC−AB=45−8．
22. 0
【解析】∵x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2−5x+a=0 的两个实数根，
∴x1+x2=−5，x1x2=a，
∴x1−x22=x1+x22−4x1x2=−52−4a=25−4a，
∵∣x1−x2∣=5，
∴x1+x22−4x1x2=25，
∴25−4a=25，解得 a=0．
23. 14
【解析】∵ 抛物线 y=−14x2+x+c 的顶点是正方形 ABCO 边 AB 的中点，且抛物线对称轴为直线 x=2，
∴ 正方形 ABCO 的边长为 4，
∵ 抛物线向下平移 1 个单位长度得到如图所示的阴影部分，
∴ 阴影部分面积为 4，则针尖落在阴影部分的概率 P=416=14．
24. 54
【解析】如图由题意：k=−4，设直线 AB 交 x 轴于 F，交 y 轴于 E．
∵ 反比例函数 y=−4x 和直线 AB 组成的图形关于直线 y=x 对称，A−1,4，
∴B4,−1，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+3，
∴E0,3，F3,0，
∴AB=52，EF=32，
∵AB:CD=5:2，
∴CD=22，
∴CE=DF=22，
∴C12,52，D52,12，
∴m=54．
25. 223，43
【解析】如图 1，连接 OD，
∴DO=12AB=6，
∵OC⊥DF，
∴∠OCD=90∘，CD=CF=12DF=2，
在 Rt△OCD 中，根据勾股定理得，OC=OD2−CD2=42，
∴sin∠ODC=OCOD=426=223，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90∘=∠OCD，
∴ 点 O，C，D，E 是以 OD 为直径的圆上，
∴∠AEC=∠ODC，
∴sin∠AEC=sin∠ODC=223，
如图 2，
∵CD 是以 OD 为直径的圆中的弦，CE 要最大，
即：CE 是以 OD 为直径的圆的直径，
∴CE=OD=6，∠COE=90∘，
∵∠OCD=∠OED=90∘，
∴ 四边形 OCDE 是矩形，
∴DF∥AB，
过点 F 作 FG⊥AB 于 G，
易知，四边形 OCFG 是矩形，
∴OG=CF=2，FG=OC=42，
∴AG=OA−OG=4，
连接 AF，
在 Rt△AFG 中，根据勾股定理得，AF=AG2+FG2=43．
第五部分
26. （1） 设 y1=kx+b，
∵ 直线经过 3,5，6,3，
3k+b=5,6k+b=3, 解得：k=−23,b=7,
∴y1=−23x+73≤x≤6．
（2） 设 y2=ax−62+1，
把 3,4 代入得：4=a3−62+1，
解得 a=13，
∴y2=13x−62+1．
（3） 由题意得：w=y1−y2=−23x+7−13x−62+1=−13x2+103x−6=−13x−52+73，
当 x=5 时，y最大值=73．
故 5 月出售这种蔬菜，每千克收益最大．
27. （1） 如图 1，∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠DCG=90∘，
∴∠DGC+∠CDG=90∘，
∵AE⊥DF，
∴∠DFE=90∘，
∴∠AED+∠CDG=90∘，
∴∠AED=∠DGC，
∵CG=CGʹ，∠MCG=∠MCGʹ，CM=CM，
∴△GCM≌△GʹCM，
∴∠DGC=∠CGʹM，
∴∠AED=∠CGʹM；
（2） ① MN∥CD，理由是：
∵∠AOD=∠NFD=90∘，∠ANO=∠DNF，
∴∠OAN=∠ODM，
∵AO=OD，∠AON=∠DOM=90∘，
∴△AON≌△DOM，
∴ON=OM，
∴△NOM 是等腰直角三角形，
∴∠ONM=45∘，
∵∠ODC=45∘，
∴∠ONM=∠ODC，
∴MN∥CD；
② ∵AD=DC，∠ADC=∠DCG=90∘，∠AED=∠DGC，
∴△ADE≌△DCG，
∴DE=CG，
∵CG=CGʹ，
∴CGʹ=CG=DE，
∴DGʹ=CE=EGʹ=13CD=13AB=4，
∴CG=2BG=8，
由勾股定理得：AE=122+82=413，
∵AB∥DE，
∴ABDE=ANNE=128=32，
∴AN=35×413=12135，EN=25×413=8135，
AO=122=62，
∴ON=AN2−AO2=121352−622=625，
∵△MON 是等腰直角三角形，
∴MN=2ON=125，
∵MN∥EGʹ，
∴△MNH∽△GʹEH，
∴MNEGʹ=NHEH=1254=35，
∴NH=38×8135=3135，EH=58×8135=13，
∴AH=AE−EH=413−13=313．
28. （1） 由题意 A−2,0，C2,6，
把 A−2,0 代入 y=−12x2+32x+c 得到 0=−2−3+c，
∴c=5，
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+32x+5．
（2） 如图，
设点 M 是 x 轴上一点，Mm,0，满足 △AMC 的面积 =4，
则有 12∣m+2∣×6=4，
∴m=−103或−23，
∴M−103,0，Mʹ−23,0，
过点 M 作直线 MD∥AC 交抛物线于 D，
此时 △ADC 的面积 =△ACM 的面积 =4，
则直线 DM 的解析式为 y=32x+5，
由 y=32x+5,y=−12x2+32x+5 解得 x=0,y=5,
∴D0,5，
过点 Mʹ 作直线 MʹD∥AC 交抛物线于 D，
此时 △ADC 的面积 =△ACM 的面积 =4，
则直线 DMʹ 的解析式为 y=32x+1，
由 y=32x+1,y=−12x2+32x+5 解得 x=22,y=32+1 或 x=−22,y=−32+1,
∴Dʹ22,32+1，Dʺ−22,−32+1，
综上所述，满足条件的点 D 坐标为 0,5 或 22,32+1 或 −22,−32+1．
（3） 设 Em,n，作 EH⊥OF 于 H．
∵AE=EF，
∴F2m+2,0，
∵EH∥OD，
∴EHOD=FHOF，
∴n5=m+22m+2, ⋯⋯①
又 ∵ 点 E 在抛物线上，
∴n=−12m2+32m+5, ⋯⋯②
由 ①② 解得 m=4,n=3 或 m=−2,n=0（舍弃），
∴E4,3，
∴tan∠EAF=EHAH=36=12．