2019年湖北省武汉市青山区武钢三中分配生数学试卷

这是一份2019年湖北省武汉市青山区武钢三中分配生数学试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年湖北省武汉市青山区武钢三中分配生数学试卷
一、填空题（每题5分，共50分）
1．（5分）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是　 　．
2．（5分）如果分式的值为0，则x的值应为　 　．
3．（5分）如图，已知在圆O中，AC是圆O的直径，B、D在圆O上，AC⊥BD，AC＝6，∠BOD＝120°，则图中阴影部分的面积为　 　．

4．（5分）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是　 　．

5．（5分）如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是　 　．

6．（5分）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ADO的面积记作S1，△BCO的面积记作S2，△ABO的面积记作S3，△CDO的面积记作S4，则S1、S2、S3、S4的关系是 　 　．

7．（5分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为　 　．

8．（5分）某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%，为保持总产量与去年相等，那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为　 　．
9．（5分）若m＝，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是　 　．
10．（5分）已知x，y，z为实数，且x+y+z＝5，xy+yz+zx＝3，则z的取值范围为　 　．
二、解答题
11．（12分）已知﹣1＜a＜0，A＝1+a2，B＝1﹣a2，，试比较A、B、C的大小，并说明理由．
12．（12分）已知a＞0，当变量x在范围﹣1≤x≤﹣，≤x≤1上任意取值时，均有式子M＝3ax5+2ax4﹣3x3≥0恒成立，求实数a的取值范围．
13．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．

15．如图所示，过圆w外一点K做圆w的两条切线，其切点分别为L和N，在KN的延长线上取一点M，△KLM的外接圆和圆w相交于点P（异于点L），QN⊥LM于Q，LM与圆w相交于点R，求证：∠MPQ＝2∠MPR＝2∠KML．


2019年湖北省武汉市青山区武钢三中分配生数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题5分，共50分）
1．（5分）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是　30　．
【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【解答】解：将l＝20π，n＝120代入扇形弧长公式l＝中，
得20π＝，
解得r＝30．
故答案为：30．
2．（5分）如果分式的值为0，则x的值应为　﹣3　．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到3x2﹣27＝0且x﹣3≠0，从而求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得3x2﹣27＝0且x﹣3≠0，
由3x2﹣27＝0，得3（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣3或x＝3，
由x﹣3≠0，得x≠3．
综上，得x＝﹣3，分式的值为0．
故答案为：﹣3．
3．（5分）如图，已知在圆O中，AC是圆O的直径，B、D在圆O上，AC⊥BD，AC＝6，∠BOD＝120°，则图中阴影部分的面积为　3π+　．

【分析】设AC与BD交于点F，由∠BOD＝120°，可求得∠BAD＝60°，由勾股定理得出BF以及OB的长，从而计算出阴影部分的面积即扇形的面积，再加上2倍的△AOB的面积即为阴影部分的面积．
【解答】解：设AC与BD交于点F，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠BAO＝30°，
∵AC＝6，
∴AO＝BO＝3，
∴S扇形＝＝3π．
在Rt△BOF中，
OB＝3，∠BOF＝60°，
即有BF＝，
所以S△AOB＝×3＝；
又∵△AOB≌△AOD；
∴S阴影＝S扇形+2S△AOB＝3π+．
故答案为3π+．

4．（5分）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是　4n　．

【分析】由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．
【解答】解：根据给出的3个图形可以知道：
第1个图形中三角形的个数是4，
第2个图形中三角形的个数是8，
第3个图形中三角形的个数是12，
从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．
故答案为4n．
5．（5分）如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是　　．

【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD＞OC，判定当O、D、C三点共线时OC最长，然后求解即可．
【解答】解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵正三角形ABC的边长为2，
∴OD＝×2＝1，CD＝×2＝，
在△ODC中，OD+CD＞OC，
∴当O、D、C三点共线时OC最长，最大值为×2+×2＝+1．
故答案为：+1．

6．（5分）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ADO的面积记作S1，△BCO的面积记作S2，△ABO的面积记作S3，△CDO的面积记作S4，则S1、S2、S3、S4的关系是 　S1•S2＝S3•S4　．

【分析】过O点作EF⊥BC于F，交AD于E，分别表示出S1、S2、S3、S4，进而得出结论．
【解答】解：过点O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴OE⊥AD，
∴S1＝AD•OE，
S2＝BC•OF，S3＝AD•EF﹣S1＝AD（OE+OF）﹣S1＝AD（OE+OF）﹣AD•OE＝AD•OF，
S4＝BC•EF﹣S2＝BC（OE+OF）﹣S2＝BC（OE+OF）﹣BC•OF＝BC•OE，
∴S1•S2＝AD•OE•BC•OF，
S3•S4＝AD•OF•BC•OE，
∴S1•S2＝S3•S4，
故答案为：S1•S2＝S3•S4．

7．（5分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为　（﹣，）　．

【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC＝AO＝1，AB＝OC＝3，
根据折叠可知：CD＝BC＝OA＝1，∠CDE＝∠B＝∠AOE＝90°，AD＝AB＝3，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝1，AE＝CE，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
∴OE＝，AE＝CE＝OC﹣OE＝3﹣＝，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD＝EO：DF＝AO：AF，
即：3＝：DF＝1：AF，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣1＝，
∴D的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．

8．（5分）某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%，为保持总产量与去年相等，那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为　90%　．
【分析】这是一道关于和差倍分问题的应用题，设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%，解这道的关键是根据“为保持总产量与去年相等”，而去年的总量未知，可以设为参数a，就可以表示出去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a和10%a，而几年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a（1﹣10%）和10%a（1+x%）．就可以根据等量关系列出方程．
【解答】解：设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%，去年的总产量为a，由题意，得
90%a（1﹣10%）+10%a（1+x%）＝a，
解得：x＝90．
故答案为：90%．
9．（5分）若m＝，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是　0　．
【分析】首先化简二次根式得出m＝+1，再根据因式分解法将原式分解即可得出答案．
【解答】解：∵m＝＝＝+1，
∴m5﹣2m4﹣2011m3＝m3（m2﹣2m﹣2011）＝m3[（m﹣1）2﹣2012]＝0，
故答案为：0．
10．（5分）已知x，y，z为实数，且x+y+z＝5，xy+yz+zx＝3，则z的取值范围为　﹣1≤z≤　．
【分析】由x+y+z＝5得y＝5﹣x﹣z代入，xy+yz+zx＝3得x（5﹣x﹣z）+（5﹣x﹣z）z+zx＝3整理得出关于x的一元二次方程x2+（z﹣5）x+（z2﹣5z+3）＝0，利用关于x的一元二次方程的判别式得到关于z的不等式，解这个一元二次不等式可求得z的取值范围．
【解答】解：由x+y+z＝5得y＝5﹣x﹣z代入xy+yz+zx＝3得
x（5﹣x﹣z）+（5﹣x﹣z）z+zx＝3
整理得
x2+（z﹣5）x+（z2﹣5z+3）＝0
因为x是实数，那么关于x的一元二次方程的判别式是（z﹣5）2﹣4（z2﹣5z+3）≥0
解这个一元二次不等式，
得﹣1≤z≤．
二、解答题
11．（12分）已知﹣1＜a＜0，A＝1+a2，B＝1﹣a2，，试比较A、B、C的大小，并说明理由．
【分析】先用A﹣B可判断出A＞B，再C﹣A可判断出C＞A，继而可得出A、B、C的大小．
【解答】解：它们的大小关系为B＜A＜C，
由﹣1＜a＜0得，1+a＞0，
A﹣B＝（1+a2）﹣（1﹣a2）＝2a2＞0得，A＞B，
，得C＞A，
即得B＜A＜C．
12．（12分）已知a＞0，当变量x在范围﹣1≤x≤﹣，≤x≤1上任意取值时，均有式子M＝3ax5+2ax4﹣3x3≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】M＝3ax5+2ax4﹣3x3＝x3（3ax2+2ax﹣3），分两种情况判断x3的取值，再根据二次函数的性质分别求出实数a的取值范围，取两个范围的公共部分即可．
【解答】解：M＝3ax5+2ax4﹣3x3＝x3（3ax2+2ax﹣3），
①﹣1≤x≤﹣时，x3＜0，
∵M＝3ax5+2ax4﹣3x3≥0恒成立，
∴3ax2+2ax﹣3≤0恒成立，
∵a＞0，
∴y＝3ax2+2ax﹣3为开口向上的二次函数，△＝4a2+36a＞0，对称轴为：x＝﹣＞﹣，
∴﹣1≤x≤﹣时，y随x的增大而减小，
∴若﹣1≤x≤﹣时，3ax2+2ax﹣3≤0恒成立，则x＝﹣1时，3ax2+2ax﹣3≤0即可，
∴3a﹣2a﹣3≤0，解得a≤3，
∵a＞0，
∴0＜a≤3；
②≤x≤1时，x3＞0，
∵M＝3ax5+2ax4﹣3x3≥0恒成立，
∴3ax2+2ax﹣3≥0恒成立，
∵a＞0，
∴y＝3ax2+2ax﹣3为开口向上的二次函数，△＝4a2+36a＞0，对称轴为：x＝﹣＞﹣，
∴≤x≤1时，y随x的增大而增大，
∴若3ax2+2ax﹣3≥0恒成立，则x＝时，3ax2+2ax﹣3≥0即可，
∴a+a﹣3≥0，解得a≥；
综上所述，实数a的取值范围为≤a≤3．
13．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【分析】（1）根据旋转的性质解答；
（2）运用全等三角形和相似三角形的性质，求出＝（）2＝（）2＝，进而解决问题；
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；然后进行讨论，求得线段EP1长度的最大值与最小值．
【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
所以∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
所以∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．
（2）因为△ABC≌△A1BC1，
所以BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
＝，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，
所以∠ABA1＝∠CBC1，
所以△ABA1∽△CBC1．
所以，＝（）2＝（）2＝，
因为＝4，
所以＝；
（3）如图
，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；
①当P在AC上运动至BP⊥AC时，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝3，即可求解；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，即可求解；
（3）E到直线AB的距离＝EF＝EHcos∠FEH＝EHcos∠BAC，即可求解；
（4）分当点P在∠BDF平分线上、外角平分线上两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝3，
即点A、B的坐标分别为（3，0）、（0，）；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+，
顶点D的坐标为（1，3）；
（3）过点E作EH∥y轴交AB于点H，过点E作EF⊥AB，

则∠FEH＝∠BAC，
E到直线AB的距离＝EF＝EHcos∠FEH＝EHcos∠BAC＝（﹣x2+x++x﹣）×＝﹣x2+x，
当x＝时，EF有最大值为；
（4）①当点P在∠BDF平分线上时，则角平分线与y轴P1、x轴的交点P2为所求，

过点P1作⊥DM交于点M，作P1N⊥BD交于点N，作BL⊥DM交于点M，则：P1M＝P1N＝1，
将点B、D坐标代入一次函数表达式并解得，函数表达式为：y＝x+，
则点H坐标（﹣3，0），tan∠DBL＝＝，则tan∠P1BN＝，
BP1＝＝，
故点P1（0，1）；
则直线DP1的表达式为：y＝2x+1，令y＝0，则x＝﹣，
即点P2（﹣，0）；
②当点P在当点P在∠BDF的外交平分线上时，
此时点P所在的直线与直线P1P2所在的直线垂直，
同理可得点P的坐标为（0，）或（7，0）；
故：点P的坐标为（0，1）或（﹣，0）或（0，）或（7，0）．
15．如图所示，过圆w外一点K做圆w的两条切线，其切点分别为L和N，在KN的延长线上取一点M，△KLM的外接圆和圆w相交于点P（异于点L），QN⊥LM于Q，LM与圆w相交于点R，求证：∠MPQ＝2∠MPR＝2∠KML．

【分析】延长KL至A，延长PR交KM于T，连接PL、RN、LN、QT，设△KLM外接圆为⊙O，由已知先证明∠MPT＝∠RMT，得△PTM∽△MTR，MT2＝PT•RT，结合切割线定理可得MT＝NT，而NQ⊥LM，可得QT＝MT＝NT，从而＝，∠TQM＝∠TMQ，再证明△QTR∽△PTQ，得∠QPT＝∠TQR，故∠QPT＝∠TQM＝∠TMQ＝∠MPT，即得∠MPQ＝2∠MPR＝2∠KML．
【解答】证明：延长KL至A，延长PR交KM于T，连接PL、RN、LN、QT，设△KLM外接圆为⊙O，如图：

∵四边形KLPM是⊙O的内接四边形，
∴∠LPM＝180°﹣∠K，
同理∠LPR＝180°﹣∠LNR，
∴∠MPT＝∠LPM﹣∠LPR＝（180°﹣∠K）﹣（180°﹣∠LNR）＝∠LNR﹣∠K，
∵KA是⊙W的切线，
∴∠LNR＝∠ALM，
∴∠MPT＝∠ALM﹣∠K＝∠LMK，即∠MPT＝∠RMT，
∵∠PTM＝∠MTR，
∴△PTM∽△MTR，
∴＝，即MT2＝PT•RT，
∵TN是⊙W的切线，
∴NT2＝PT•RT，
∴MT＝NT，
∵NQ⊥LM，
∴QT是Rt△NQM斜边MN的中线，
∴QT＝MT＝NT，
∴＝，∠TQM＝∠TMQ，
∵∠QTR＝∠PTQ，
∴△QTR∽△PTQ，
∴∠QPT＝∠TQR，
∴∠QPT＝∠TQM＝∠TMQ＝∠MPT，
∴∠MPQ＝2∠MPR＝2∠KML．
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日期：2021/8/10 22:51:48；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298