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2021年新高一数学专题复习《旋转》
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这是一份2021年新高一数学专题复习《旋转》，共50页。
2021年新高一数学专题复习《旋转》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021•娄星区模拟）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
3．（2021•东城区一模）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021•越秀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
5．（2021•中山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
6．（2021•长安区二模）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021•西青区二模）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，点C′在AD的延长线上，AB′交CD于点E．若AE＝CE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．（2021•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
9．（2021•龙湾区二模）如图，六边形AEBCFD是中心对称图形．点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．若BM＝DN＝1，点E，M关于AB对称，则四边形AGCH的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021•花都区一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8） B．（8，﹣10） C．（﹣10，8） D．（﹣8，10）
二．填空题（共10小题）
11．（2021•奉贤区三模）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是 ．
12．（2021•安徽二模）如图，Rt△BAC，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：
（1）这个旋转角＝ °；
（2）此时，＝ ．
13．（2021•栖霞区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，点P为直线AD上一点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，则点A、Q距离的最小值为 ．
14．（2021•南山区校级二模）如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是 ．
15．（2021•瑶海区模拟）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 ．
16．（2021•白云区二模）如图，把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△CDE，且AC＝2，那么AE＝ ．
17．（2021•昆山市模拟）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
18．（2021•靖江市一模）如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为 ．
19．（2021•拱墅区模拟）矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E是BC边上一点，联结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°，点A的对应点记为点F，如果点F在对角线BD上，那么＝ ．
20．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ ．在点D运动过程中，CE的最小值 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•铁东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，3）．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，面出旋转后的△A2B2C2．
22．（2021•长春模拟）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
23．（2021•宁波模拟）图①，图②，图③都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影．请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影：
（1）使得6个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
（2）使得6个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形．
（3）使得6个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图．
（请将三个小题依次作答在图①，图②，图③中，均只需画出符合条件的一种情形）
24．（2021•上杭县模拟）将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别为D、E．
（1）若α＝60°，如图1，连接EC，试判断△ACE的形状，并给以证明；
（2）若点D恰好落在BC边上，如图2，且点A，B，E在同一条直线上，∠C＝30°，求旋转角α的度数．
25．（2021•千山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．
26．（2021•凉山州模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为 ．
27．（2021•安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．
（1）平移△ABC，使得顶点A与点O重合，得到△DEF，画出△DEF，并说明你是怎样平移的？
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出△GHI．
28．（2021•武汉模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作△ABC的中线BD；
（2）在图2中，作△ABC的角平分线BE；
（3）在图3中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．
29．（2021•江岸区校级模拟）横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（1，4），B（1，1），C（4，1），D（4，4），E（2，1）都是格点．
（1）取格点F，使得BF⊥AE，BF＝AE；
（2）将线段BF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FM；
（3）用无刻度的直尺在AD上取点N，使得FN＝CF+AN，保留作图痕迹，并直接写出点F，M，N的坐标．
30．（2021•蔡甸区二模）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；
（4）作点C1关于BC的对称点D．
2021年新高一数学专题复习《旋转》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
2．（2021•娄星区模拟）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查轴对称图形问题，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
3．（2021•东城区一模）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．
【解答】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．
选项A，其中△ABC绕点A逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，
选项D，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°可以得到△AB′C′．
故选：D．
【点评】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2021•越秀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，
∴点B的坐标是（2，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2021•中山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由旋转的性质可求AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠ACC'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACC'＝45°，
∵将Rt△ABC绕点A旋转，
∴AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝45°，
∴∠B'C'C＝135°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
6．（2021•长安区二模）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键．
7．（2021•西青区二模）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，点C′在AD的延长线上，AB′交CD于点E．若AE＝CE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【考点】矩形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】先判定△ADE∽△ABC，得出＝，设DE＝x，用x的代数式表示AD、BC、AB，即可求出DE，从而由勾股定理可得答案．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，
∴∠BCA＝∠DAE，
∵矩形ABCD，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
设DE＝x，则DC＝DE+CE＝x+4＝AB，AD＝＝＝BC，
∴＝，
解得x＝2或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝2，DC＝6，AD＝2，
Rt△ADC中，AC＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查矩形性质及应用，涉及三角形相似的判定及性质、勾股定理、旋转变换等知识，解题的关键是判定△ADE∽△ABC．
8．（2021•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
【考点】勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由锐角三角函数可求∠ABC＝30°，由旋转的性质可求AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4，可证△CBE是等边三角形，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，
∴AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC＝2，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝90°，
∴DB＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2021•龙湾区二模）如图，六边形AEBCFD是中心对称图形．点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．若BM＝DN＝1，点E，M关于AB对称，则四边形AGCH的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】连接EM，交AB于点P，过点M作MQ⊥BC于Q，根据正方形ABCD可得AB＝BC＝2，∠ABM＝∠MBC＝45°，由中心对称图形的性质以及勾股定理可求出MQ＝BQ＝EP＝MP＝，CM＝，可得AP＝CQ，由SAS证△AEP≌△CMQ，可得∠PAE＝∠MCQ，AE＝CM＝，再证△EMG∽△MCQ，根据相似三角形的性质求出EG、GM，由平行线的性质可得∠MCQ＝∠GME，可得出∠AGM＝90°，则四边形AGCH是矩形，求出AG、CG的长即可得四边形AGCH的面积．
【解答】解：连接EM，交AB于点P，过点M作MQ⊥BC于Q，
∵正方形ABCD的面积为8，点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．
∴AB＝BC＝2，∠ABM＝∠MBC＝45°，∠ABC＝90°，
∵点E，M关于AB对称．
∴PE＝PM，BP⊥EM，
∵BM＝DN＝1，MQ⊥BC，PM∥BC，
∴MQ＝BQ＝EP＝MP＝，
∴AP＝CQ＝，CM＝＝，
在△AEP和△CMQ中，
，
∴△AEP≌△CMQ（SAS），
∴∠PAE＝∠MCQ，AE＝CM＝，∠AEP＝∠CMQ，
∵PM∥BC，
∴∠EMG＝∠MCQ，
∵∠MCQ+∠CMQ＝90°，
∴∠EMG+∠AEP＝90°，
∴∠EGM＝90°，
∵∠EMG＝∠MCQ，∠AEP＝∠CMQ，
∴△EMG∽△MCQ，
∴，即，
∴EG＝、GM＝，
∴AG＝AE﹣EG＝，CG＝GM+CM＝，
同理可得：CH＝，AH＝，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵∠EGM＝90°，
∴四边形AGCH是矩形，
∴四边形AGCH的面积为：AG•CG＝×＝，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，中心对称的性质，矩形的判定，相似三角形的性质和判定的性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
10．（2021•花都区一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8） B．（8，﹣10） C．（﹣10，8） D．（﹣8，10）
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】规律型；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，根据已知条件求出点A的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵∠AEB＝∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠ABE＝∠BCO，
∴△AEB∽△BOC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝8，BE＝6，
∴OE＝10，
∴A（﹣10，﹣8），
则第1次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
则第2次旋转结束时，点A的坐标为（10，8），
则第3次旋转结束时，点A的坐标为（8，﹣10），
则第4次旋转结束时，点A的坐标为（﹣10，﹣8），
••••••
观察可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝505...1，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，解决本题 的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•奉贤区三模）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是 （﹣1，2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】根据网格图形找出点A、B顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点F的坐标即可．
【解答】解：如图，点F的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
12．（2021•安徽二模）如图，Rt△BAC，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：
（1）这个旋转角＝ 120 °；
（2）此时，＝ ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AC'，由等腰三角形的性质可求解；
（2）延长CA交B'C'于E，由旋转的性质可得AB＝AB'＝a，∠ACB＝∠AC'B'＝30°＝∠BAC'，∠CBA＝∠C'B'A＝60°，在Rt△B'CE中，由勾股定理可求B'C的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵将Rt△BAC绕点A旋转，
∴AC＝AC'，
∴∠ACB＝∠AC'C＝30°，
∴∠CAC'＝120°，
∴这个旋转角为120°，
故答案为120；
（2）如图，延长CA交B'C'于E，
设AB＝a，
∵∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，
∴AC＝a，
∵∠CAC'＝120°，
∴∠BAC'＝30°＝∠CC'A，
∴AB＝BC'＝a，
∵将Rt△BAC绕点A旋转，
∴AB＝AB'＝a，∠ACB＝∠AC'B'＝30°＝∠BAC'，∠CBA＝∠C'B'A＝60°，
∴AB∥B'C'，
∴∠CAB＝∠CEC'＝90°，
∴∠B'AE＝30°，
∴B'E＝a，AE＝a，
∴B'C＝＝＝a，
∴＝，
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．（2021•栖霞区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，点P为直线AD上一点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，则点A、Q距离的最小值为 ．
【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】作点A关于BC的对称点E，由轴对称的性质和旋转的性质可得∠PBQ＝60°，BP＝BQ，AB＝BE，∠ABE＝60°，由“SAS”可证△ABP≌△EBQ，可得∠BAP＝∠BEQ＝60°，即点Q在与AE成60°的直线EF上运动，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点E，连接AE，QP，过点A作AF⊥QE于F，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠ABC＝30°，
∵点A，点E关于BC对称，
∴AB＝BE，∠ABD＝∠EBD＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE＝3，∠BAE＝∠BEA＝60°，
∵将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，
∴∠PBQ＝60°，BP＝BQ，
∴∠ABE＝∠PBQ，
∴∠ABP＝∠QBE，
在△ABP和△EBQ中，
，
∴△ABP≌△EBQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BEQ＝60°，
∴∠AEF＝60°，
∴点Q在与AE成60°的直线EF上运动，
由垂线段最短可得，点A、Q距离的最小值为AF的长，
∵sin∠AEF＝＝，
∴＝，
∴AF＝，
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等知识，确定点Q的运动轨迹是本题的关键．
14．（2021•南山区校级二模）如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是 6 ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF．证明△OBD∽△FBC，从而发现C点运动轨迹是以F为圆心，CF＝2为半径的圆．最后根据三角形三边关系，可得AC最大值．
【解答】解：以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF，
∴BF＝OB，∠OBF＝45°，
∵将线段DB绕D点逆时针旋转90°，
∴DB＝DC，∠CDB＝90°，
∴CB＝BD，∠OBF＝∠CBD＝45°，
则＝，且∠OBD＝∠FBC，
∴△OBD∽△FBC．
∴＝，
∴CF＝2，
∴C点运动的轨迹是以F为圆心，CF＝2为半径的圆．
∵AC≤AF+FC，AF＝4，FC＝2
∴AC最大值为4+2＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查的是旋转的性质，相似三角形的应用，确定点C的运动轨迹是解题的关键．
15．（2021•瑶海区模拟）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 2 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 1＜x＜1+ ．
【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，可证四边形ABMD是平行四边形，即可求解，如图2，连接MC，可得点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，即可求解．
【解答】解：如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C，
∴AC＝AB＝B1C＝BB1，
∴四边形ACB1B是菱形，
∴AC∥BB1，
∵AC的中点为D，A1B1的中点为M，
∴AD＝BM，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴MD＝AB＝2，
如图2，连接MC，
∵△A1CB1是等边三角形，点M是A1B1的中点，
∴A1C＝2，∠A1＝60°，A1M＝1，
∴CM＝A1M＝，
∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，
∴当点C在线段DM上时，DM有最大值为1+，
当点D在线段CM上时，DM有最小值为1，
∴x的取值范围是1＜x＜1+，
故答案为2，1＜x＜1+．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．（2021•白云区二模）如图，把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△CDE，且AC＝2，那么AE＝ ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得△CAE是等腰直角三角形即可．
【解答】解：∵把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝90°，AC＝CE，
∵AC＝2，
∴AE＝，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转90°出现等腰直角三角形是解题的关键．
17．（2021•昆山市模拟）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 （﹣，﹣） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】作图题；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．求出OH，B1H即可．
【解答】解：如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．
∵∠BOB1＝150°，
∴∠HOB1＝180°﹣150°＝30°，
∴B1H＝OB′＝，
∴OH＝B′H＝，
∴B1（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2021•靖江市一模）如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为 45°＜α＜60° ．
【考点】菱形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接PC，根据菱形的性质得到BM垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝PC，∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，推出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理得到∠ACQ＝APQ＝α，根据平行线的性质得到∠CDB＝∠ABD＝90°﹣α；求得∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，得到∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，于是得到结论．
【解答】解：连接PC，
∵四边形ABCD是菱形；
∴BM垂直平分AC，
∴AP＝PC，∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，
又∵PQ＝PA，
∴PQ＝PC＝PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ＝APQ＝α，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB＝∠ABD＝90°﹣α；
∵∠CDB＝90°﹣α，且PQ＝QD，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°﹣2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案为：45°＜α＜60°．
【点评】本题主要考查旋转的性质，菱形的性质及圆周角定理、垂直平分线等知识的综合应用，得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键．
19．（2021•拱墅区模拟）矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E是BC边上一点，联结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°，点A的对应点记为点F，如果点F在对角线BD上，那么＝ 2 ．
【考点】矩形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥BC于点G，由旋转可知：EA＝EF，∠AEF＝90°，证明△ABE≌△EGF，可得BE＝FG，AB＝EG＝4，设CG＝x，则BE＝BC﹣CG﹣EG＝10﹣x﹣4＝6﹣x，可得FG＝BE＝6﹣x，根据FG∥DC，可得△BFG∽△BDC，对应边成比例可得x的值，进而可得结论．
【解答】解：根据题意画出图形，过点F作FG⊥BC于点G，
由旋转可知：EA＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，AB＝CD＝4，BC＝AD＝10，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴BE＝FG，AB＝EG＝4，
设CG＝x，则BE＝BC﹣CG﹣EG＝10﹣x﹣4＝6﹣x，
∴FG＝BE＝6﹣x，
∵FG∥DC，
∴△BFG∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CG＝，
∴BG＝BC﹣CG＝10﹣＝，
FG＝6﹣x＝6﹣＝，
∵FG∥DC，
∴＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
20．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ 4 ．在点D运动过程中，CE的最小值 2 ．
【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】动点型；三角形；图形的全等；空间观念；应用意识．
【分析】以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，在Rt△ACB中，BC＝＝4，由△FAD≌△CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时FD＝CH＝AC＝2，故CE的最小值是2．
【解答】解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图：
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
∵正△AFC，等边三角形ADE，
∴AD＝AE，AF＝AC，
在△FAD和△CAE中，
，
∴△FAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝FD，
∴CE最小即是FD最小，
∴当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°，
∴四边形FDCH是矩形，
∴FD＝CH＝AC＝2，
∴CE的最小值是2．
故答案为：4，2．
【点评】本题属动态距离最值问题，将问题转化为一动一静，考虑动点运动轨迹是常用方法，综合性较强，难度较大．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•铁东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，3）．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，面出旋转后的△A2B2C2．
【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22．（2021•长春模拟）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用A点和C点的位置确定平移的方向与距离，然后画出B、C的对应点P、Q即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点M、N即可；
（3）利用网格特点，画出A、B、C关于直线DE的对称点F、G、H即可．
【解答】解：（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．（2021•宁波模拟）图①，图②，图③都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影．请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影：
（1）使得6个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
（2）使得6个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形．
（3）使得6个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图．
（请将三个小题依次作答在图①，图②，图③中，均只需画出符合条件的一种情形）
【考点】几何体的展开图；作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）（2）利用轴对称和中心对称的定义画图；
（3）利用“一四一”画出正方体的表面展开图．
【解答】解：（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
24．（2021•上杭县模拟）将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别为D、E．
（1）若α＝60°，如图1，连接EC，试判断△ACE的形状，并给以证明；
（2）若点D恰好落在BC边上，如图2，且点A，B，E在同一条直线上，∠C＝30°，求旋转角α的度数．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由旋转的性质可得AE＝AC，∠EAC＝α＝60°，可得△ACE是等边三角形；
（2）由旋转的性质可得AD＝AB，∠C＝∠E＝30°，∠B＝∠ADE，∠DAB＝α，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠B+∠ADB+∠DAB＝180°，可求∠B的度数，即可求解．
【解答】解：（1）△ACE是等边三角形，
理由如下：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，
∴AE＝AC，∠EAC＝α＝60°，
∴△ACE是等边三角形；
（2）∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，
∴AD＝AB，∠C＝∠E＝30°，∠B＝∠ADE，∠DAB＝α，
∴∠DAB＝∠E+∠ADE＝∠B+30°，∠ADB＝∠B，
∵∠B+∠ADB+∠DAB＝180°，
∴3∠B+30°＝180°，
∴∠B＝50°，
∴∠DAB＝80°＝α，
∴旋转角α的度数为80°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理列出方程是本题的关键．
25．（2021•千山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．
【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD＝α，由旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝α，由“SAS”可证△ACE≌△ACF，可得CE＝CF．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∵将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝α，
∴∠BAD＝∠CAF＝∠CAE，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
26．（2021•凉山州模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为 （1，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出图形即可；
（2）根据图形平移的性质画出图形即可；
（3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，坐标与图形变化﹣平移，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
27．（2021•安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．
（1）平移△ABC，使得顶点A与点O重合，得到△DEF，画出△DEF，并说明你是怎样平移的？
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出△GHI．
【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用平移变换分别作出A，B，C的对应点D．E．F即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点G，H，I即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作．
（2）如图，△GHI即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
28．（2021•武汉模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作△ABC的中线BD；
（2）在图2中，作△ABC的角平分线BE；
（3）在图3中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）取格点G，H，连接GH交AC于D，线段BD即为所求作．
（2）取格点T，连接BT交AC于E，利用等腰直角三角形的性质，作∠CBE＝45°即可．
（3）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求作．
（2）如图，线段BE即为所求作．
（2）如图，△AB′C′即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的角平分线，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．（2021•江岸区校级模拟）横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（1，4），B（1，1），C（4，1），D（4，4），E（2，1）都是格点．
（1）取格点F，使得BF⊥AE，BF＝AE；
（2）将线段BF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FM；
（3）用无刻度的直尺在AD上取点N，使得FN＝CF+AN，保留作图痕迹，并直接写出点F，M，N的坐标．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）在CD上取格点F，使CF＝BE＝1，则可证明△BCF≌△ABE，从而得到BF＝AE，然后可证明BF⊥AE；
（2）利用网格特点作出B点的对称点M；
（3）连接BM交AD于N，先证明△BFM为等腰直角三角形得到∠FBN＝45°，然后可证明FN＝CF+AN．
【解答】解：（1）如图，点F为所作；
（2）如图，FM为所作；
（3）如图，N点为所作，
在Rt△FDN中，根据勾股定理得，DN2+DF2＝FN2，
∴（3﹣AN）2+22＝（1+AN）2，
∴AN＝1.5，
∴F（4，2），M（3，5），N（2.5，4）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质．
30．（2021•蔡甸区二模）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；
（4）作点C1关于BC的对称点D．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称的性质；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）利用数形结合的思想解决问题即可．
（4）取格点T，作直线TC1，取格点P，连接OP交TC1于点D，点D即为所求作．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2），
∴AB＝5，AC＝，BC＝2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）△A1BC1如图所示．
（3）点G（0，3）．
（4）如图，点D即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
11．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
14．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
15．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
16．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
17．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
18．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
19．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
20．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
21．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
22．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
23．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
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2021年新高一数学专题复习《旋转》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021•娄星区模拟）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
3．（2021•东城区一模）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021•越秀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
5．（2021•中山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
6．（2021•长安区二模）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021•西青区二模）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，点C′在AD的延长线上，AB′交CD于点E．若AE＝CE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．（2021•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
9．（2021•龙湾区二模）如图，六边形AEBCFD是中心对称图形．点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．若BM＝DN＝1，点E，M关于AB对称，则四边形AGCH的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021•花都区一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8） B．（8，﹣10） C．（﹣10，8） D．（﹣8，10）
二．填空题（共10小题）
11．（2021•奉贤区三模）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是 ．
12．（2021•安徽二模）如图，Rt△BAC，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：
（1）这个旋转角＝ °；
（2）此时，＝ ．
13．（2021•栖霞区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，点P为直线AD上一点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，则点A、Q距离的最小值为 ．
14．（2021•南山区校级二模）如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是 ．
15．（2021•瑶海区模拟）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 ．
16．（2021•白云区二模）如图，把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△CDE，且AC＝2，那么AE＝ ．
17．（2021•昆山市模拟）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
18．（2021•靖江市一模）如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为 ．
19．（2021•拱墅区模拟）矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E是BC边上一点，联结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°，点A的对应点记为点F，如果点F在对角线BD上，那么＝ ．
20．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ ．在点D运动过程中，CE的最小值 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•铁东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，3）．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，面出旋转后的△A2B2C2．
22．（2021•长春模拟）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
23．（2021•宁波模拟）图①，图②，图③都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影．请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影：
（1）使得6个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
（2）使得6个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形．
（3）使得6个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图．
（请将三个小题依次作答在图①，图②，图③中，均只需画出符合条件的一种情形）
24．（2021•上杭县模拟）将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别为D、E．
（1）若α＝60°，如图1，连接EC，试判断△ACE的形状，并给以证明；
（2）若点D恰好落在BC边上，如图2，且点A，B，E在同一条直线上，∠C＝30°，求旋转角α的度数．
25．（2021•千山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．
26．（2021•凉山州模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为 ．
27．（2021•安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．
（1）平移△ABC，使得顶点A与点O重合，得到△DEF，画出△DEF，并说明你是怎样平移的？
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出△GHI．
28．（2021•武汉模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作△ABC的中线BD；
（2）在图2中，作△ABC的角平分线BE；
（3）在图3中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．
29．（2021•江岸区校级模拟）横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（1，4），B（1，1），C（4，1），D（4，4），E（2，1）都是格点．
（1）取格点F，使得BF⊥AE，BF＝AE；
（2）将线段BF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FM；
（3）用无刻度的直尺在AD上取点N，使得FN＝CF+AN，保留作图痕迹，并直接写出点F，M，N的坐标．
30．（2021•蔡甸区二模）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；
（4）作点C1关于BC的对称点D．
2021年新高一数学专题复习《旋转》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
2．（2021•娄星区模拟）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查轴对称图形问题，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
3．（2021•东城区一模）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．
【解答】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．
选项A，其中△ABC绕点A逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，
选项D，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°可以得到△AB′C′．
故选：D．
【点评】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2021•越秀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，
∴点B的坐标是（2，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2021•中山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由旋转的性质可求AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠ACC'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACC'＝45°，
∵将Rt△ABC绕点A旋转，
∴AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝45°，
∴∠B'C'C＝135°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
6．（2021•长安区二模）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键．
7．（2021•西青区二模）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，点C′在AD的延长线上，AB′交CD于点E．若AE＝CE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【考点】矩形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】先判定△ADE∽△ABC，得出＝，设DE＝x，用x的代数式表示AD、BC、AB，即可求出DE，从而由勾股定理可得答案．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，
∴∠BCA＝∠DAE，
∵矩形ABCD，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
设DE＝x，则DC＝DE+CE＝x+4＝AB，AD＝＝＝BC，
∴＝，
解得x＝2或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝2，DC＝6，AD＝2，
Rt△ADC中，AC＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查矩形性质及应用，涉及三角形相似的判定及性质、勾股定理、旋转变换等知识，解题的关键是判定△ADE∽△ABC．
8．（2021•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
【考点】勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由锐角三角函数可求∠ABC＝30°，由旋转的性质可求AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4，可证△CBE是等边三角形，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，
∴AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC＝2，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝90°，
∴DB＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2021•龙湾区二模）如图，六边形AEBCFD是中心对称图形．点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．若BM＝DN＝1，点E，M关于AB对称，则四边形AGCH的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】连接EM，交AB于点P，过点M作MQ⊥BC于Q，根据正方形ABCD可得AB＝BC＝2，∠ABM＝∠MBC＝45°，由中心对称图形的性质以及勾股定理可求出MQ＝BQ＝EP＝MP＝，CM＝，可得AP＝CQ，由SAS证△AEP≌△CMQ，可得∠PAE＝∠MCQ，AE＝CM＝，再证△EMG∽△MCQ，根据相似三角形的性质求出EG、GM，由平行线的性质可得∠MCQ＝∠GME，可得出∠AGM＝90°，则四边形AGCH是矩形，求出AG、CG的长即可得四边形AGCH的面积．
【解答】解：连接EM，交AB于点P，过点M作MQ⊥BC于Q，
∵正方形ABCD的面积为8，点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．
∴AB＝BC＝2，∠ABM＝∠MBC＝45°，∠ABC＝90°，
∵点E，M关于AB对称．
∴PE＝PM，BP⊥EM，
∵BM＝DN＝1，MQ⊥BC，PM∥BC，
∴MQ＝BQ＝EP＝MP＝，
∴AP＝CQ＝，CM＝＝，
在△AEP和△CMQ中，
，
∴△AEP≌△CMQ（SAS），
∴∠PAE＝∠MCQ，AE＝CM＝，∠AEP＝∠CMQ，
∵PM∥BC，
∴∠EMG＝∠MCQ，
∵∠MCQ+∠CMQ＝90°，
∴∠EMG+∠AEP＝90°，
∴∠EGM＝90°，
∵∠EMG＝∠MCQ，∠AEP＝∠CMQ，
∴△EMG∽△MCQ，
∴，即，
∴EG＝、GM＝，
∴AG＝AE﹣EG＝，CG＝GM+CM＝，
同理可得：CH＝，AH＝，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵∠EGM＝90°，
∴四边形AGCH是矩形，
∴四边形AGCH的面积为：AG•CG＝×＝，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，中心对称的性质，矩形的判定，相似三角形的性质和判定的性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
10．（2021•花都区一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8） B．（8，﹣10） C．（﹣10，8） D．（﹣8，10）
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】规律型；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，根据已知条件求出点A的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵∠AEB＝∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠ABE＝∠BCO，
∴△AEB∽△BOC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝8，BE＝6，
∴OE＝10，
∴A（﹣10，﹣8），
则第1次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
则第2次旋转结束时，点A的坐标为（10，8），
则第3次旋转结束时，点A的坐标为（8，﹣10），
则第4次旋转结束时，点A的坐标为（﹣10，﹣8），
••••••
观察可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝505...1，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，解决本题 的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•奉贤区三模）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是 （﹣1，2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】根据网格图形找出点A、B顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点F的坐标即可．
【解答】解：如图，点F的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
12．（2021•安徽二模）如图，Rt△BAC，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：
（1）这个旋转角＝ 120 °；
（2）此时，＝ ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AC'，由等腰三角形的性质可求解；
（2）延长CA交B'C'于E，由旋转的性质可得AB＝AB'＝a，∠ACB＝∠AC'B'＝30°＝∠BAC'，∠CBA＝∠C'B'A＝60°，在Rt△B'CE中，由勾股定理可求B'C的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵将Rt△BAC绕点A旋转，
∴AC＝AC'，
∴∠ACB＝∠AC'C＝30°，
∴∠CAC'＝120°，
∴这个旋转角为120°，
故答案为120；
（2）如图，延长CA交B'C'于E，
设AB＝a，
∵∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，
∴AC＝a，
∵∠CAC'＝120°，
∴∠BAC'＝30°＝∠CC'A，
∴AB＝BC'＝a，
∵将Rt△BAC绕点A旋转，
∴AB＝AB'＝a，∠ACB＝∠AC'B'＝30°＝∠BAC'，∠CBA＝∠C'B'A＝60°，
∴AB∥B'C'，
∴∠CAB＝∠CEC'＝90°，
∴∠B'AE＝30°，
∴B'E＝a，AE＝a，
∴B'C＝＝＝a，
∴＝，
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．（2021•栖霞区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，点P为直线AD上一点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，则点A、Q距离的最小值为 ．
【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】作点A关于BC的对称点E，由轴对称的性质和旋转的性质可得∠PBQ＝60°，BP＝BQ，AB＝BE，∠ABE＝60°，由“SAS”可证△ABP≌△EBQ，可得∠BAP＝∠BEQ＝60°，即点Q在与AE成60°的直线EF上运动，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点E，连接AE，QP，过点A作AF⊥QE于F，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠ABC＝30°，
∵点A，点E关于BC对称，
∴AB＝BE，∠ABD＝∠EBD＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE＝3，∠BAE＝∠BEA＝60°，
∵将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，
∴∠PBQ＝60°，BP＝BQ，
∴∠ABE＝∠PBQ，
∴∠ABP＝∠QBE，
在△ABP和△EBQ中，
，
∴△ABP≌△EBQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BEQ＝60°，
∴∠AEF＝60°，
∴点Q在与AE成60°的直线EF上运动，
由垂线段最短可得，点A、Q距离的最小值为AF的长，
∵sin∠AEF＝＝，
∴＝，
∴AF＝，
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等知识，确定点Q的运动轨迹是本题的关键．
14．（2021•南山区校级二模）如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是 6 ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF．证明△OBD∽△FBC，从而发现C点运动轨迹是以F为圆心，CF＝2为半径的圆．最后根据三角形三边关系，可得AC最大值．
【解答】解：以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF，
∴BF＝OB，∠OBF＝45°，
∵将线段DB绕D点逆时针旋转90°，
∴DB＝DC，∠CDB＝90°，
∴CB＝BD，∠OBF＝∠CBD＝45°，
则＝，且∠OBD＝∠FBC，
∴△OBD∽△FBC．
∴＝，
∴CF＝2，
∴C点运动的轨迹是以F为圆心，CF＝2为半径的圆．
∵AC≤AF+FC，AF＝4，FC＝2
∴AC最大值为4+2＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查的是旋转的性质，相似三角形的应用，确定点C的运动轨迹是解题的关键．
15．（2021•瑶海区模拟）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 2 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 1＜x＜1+ ．
【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，可证四边形ABMD是平行四边形，即可求解，如图2，连接MC，可得点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，即可求解．
【解答】解：如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C，
∴AC＝AB＝B1C＝BB1，
∴四边形ACB1B是菱形，
∴AC∥BB1，
∵AC的中点为D，A1B1的中点为M，
∴AD＝BM，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴MD＝AB＝2，
如图2，连接MC，
∵△A1CB1是等边三角形，点M是A1B1的中点，
∴A1C＝2，∠A1＝60°，A1M＝1，
∴CM＝A1M＝，
∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，
∴当点C在线段DM上时，DM有最大值为1+，
当点D在线段CM上时，DM有最小值为1，
∴x的取值范围是1＜x＜1+，
故答案为2，1＜x＜1+．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．（2021•白云区二模）如图，把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△CDE，且AC＝2，那么AE＝ ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得△CAE是等腰直角三角形即可．
【解答】解：∵把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝90°，AC＝CE，
∵AC＝2，
∴AE＝，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转90°出现等腰直角三角形是解题的关键．
17．（2021•昆山市模拟）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 （﹣，﹣） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】作图题；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．求出OH，B1H即可．
【解答】解：如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．
∵∠BOB1＝150°，
∴∠HOB1＝180°﹣150°＝30°，
∴B1H＝OB′＝，
∴OH＝B′H＝，
∴B1（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2021•靖江市一模）如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为 45°＜α＜60° ．
【考点】菱形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接PC，根据菱形的性质得到BM垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝PC，∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，推出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理得到∠ACQ＝APQ＝α，根据平行线的性质得到∠CDB＝∠ABD＝90°﹣α；求得∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，得到∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，于是得到结论．
【解答】解：连接PC，
∵四边形ABCD是菱形；
∴BM垂直平分AC，
∴AP＝PC，∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，
又∵PQ＝PA，
∴PQ＝PC＝PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ＝APQ＝α，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB＝∠ABD＝90°﹣α；
∵∠CDB＝90°﹣α，且PQ＝QD，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°﹣2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案为：45°＜α＜60°．
【点评】本题主要考查旋转的性质，菱形的性质及圆周角定理、垂直平分线等知识的综合应用，得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键．
19．（2021•拱墅区模拟）矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E是BC边上一点，联结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°，点A的对应点记为点F，如果点F在对角线BD上，那么＝ 2 ．
【考点】矩形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥BC于点G，由旋转可知：EA＝EF，∠AEF＝90°，证明△ABE≌△EGF，可得BE＝FG，AB＝EG＝4，设CG＝x，则BE＝BC﹣CG﹣EG＝10﹣x﹣4＝6﹣x，可得FG＝BE＝6﹣x，根据FG∥DC，可得△BFG∽△BDC，对应边成比例可得x的值，进而可得结论．
【解答】解：根据题意画出图形，过点F作FG⊥BC于点G，
由旋转可知：EA＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，AB＝CD＝4，BC＝AD＝10，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴BE＝FG，AB＝EG＝4，
设CG＝x，则BE＝BC﹣CG﹣EG＝10﹣x﹣4＝6﹣x，
∴FG＝BE＝6﹣x，
∵FG∥DC，
∴△BFG∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CG＝，
∴BG＝BC﹣CG＝10﹣＝，
FG＝6﹣x＝6﹣＝，
∵FG∥DC，
∴＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
20．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ 4 ．在点D运动过程中，CE的最小值 2 ．
【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】动点型；三角形；图形的全等；空间观念；应用意识．
【分析】以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，在Rt△ACB中，BC＝＝4，由△FAD≌△CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时FD＝CH＝AC＝2，故CE的最小值是2．
【解答】解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图：
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
∵正△AFC，等边三角形ADE，
∴AD＝AE，AF＝AC，
在△FAD和△CAE中，
，
∴△FAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝FD，
∴CE最小即是FD最小，
∴当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°，
∴四边形FDCH是矩形，
∴FD＝CH＝AC＝2，
∴CE的最小值是2．
故答案为：4，2．
【点评】本题属动态距离最值问题，将问题转化为一动一静，考虑动点运动轨迹是常用方法，综合性较强，难度较大．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•铁东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，3）．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，面出旋转后的△A2B2C2．
【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22．（2021•长春模拟）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用A点和C点的位置确定平移的方向与距离，然后画出B、C的对应点P、Q即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点M、N即可；
（3）利用网格特点，画出A、B、C关于直线DE的对称点F、G、H即可．
【解答】解：（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．（2021•宁波模拟）图①，图②，图③都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影．请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影：
（1）使得6个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
（2）使得6个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形．
（3）使得6个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图．
（请将三个小题依次作答在图①，图②，图③中，均只需画出符合条件的一种情形）
【考点】几何体的展开图；作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）（2）利用轴对称和中心对称的定义画图；
（3）利用“一四一”画出正方体的表面展开图．
【解答】解：（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
24．（2021•上杭县模拟）将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别为D、E．
（1）若α＝60°，如图1，连接EC，试判断△ACE的形状，并给以证明；
（2）若点D恰好落在BC边上，如图2，且点A，B，E在同一条直线上，∠C＝30°，求旋转角α的度数．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由旋转的性质可得AE＝AC，∠EAC＝α＝60°，可得△ACE是等边三角形；
（2）由旋转的性质可得AD＝AB，∠C＝∠E＝30°，∠B＝∠ADE，∠DAB＝α，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠B+∠ADB+∠DAB＝180°，可求∠B的度数，即可求解．
【解答】解：（1）△ACE是等边三角形，
理由如下：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，
∴AE＝AC，∠EAC＝α＝60°，
∴△ACE是等边三角形；
（2）∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，
∴AD＝AB，∠C＝∠E＝30°，∠B＝∠ADE，∠DAB＝α，
∴∠DAB＝∠E+∠ADE＝∠B+30°，∠ADB＝∠B，
∵∠B+∠ADB+∠DAB＝180°，
∴3∠B+30°＝180°，
∴∠B＝50°，
∴∠DAB＝80°＝α，
∴旋转角α的度数为80°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理列出方程是本题的关键．
25．（2021•千山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．
【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD＝α，由旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝α，由“SAS”可证△ACE≌△ACF，可得CE＝CF．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∵将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝α，
∴∠BAD＝∠CAF＝∠CAE，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
26．（2021•凉山州模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为 （1，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出图形即可；
（2）根据图形平移的性质画出图形即可；
（3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，坐标与图形变化﹣平移，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
27．（2021•安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．
（1）平移△ABC，使得顶点A与点O重合，得到△DEF，画出△DEF，并说明你是怎样平移的？
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出△GHI．
【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用平移变换分别作出A，B，C的对应点D．E．F即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点G，H，I即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作．
（2）如图，△GHI即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
28．（2021•武汉模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作△ABC的中线BD；
（2）在图2中，作△ABC的角平分线BE；
（3）在图3中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）取格点G，H，连接GH交AC于D，线段BD即为所求作．
（2）取格点T，连接BT交AC于E，利用等腰直角三角形的性质，作∠CBE＝45°即可．
（3）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求作．
（2）如图，线段BE即为所求作．
（2）如图，△AB′C′即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的角平分线，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．（2021•江岸区校级模拟）横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（1，4），B（1，1），C（4，1），D（4，4），E（2，1）都是格点．
（1）取格点F，使得BF⊥AE，BF＝AE；
（2）将线段BF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FM；
（3）用无刻度的直尺在AD上取点N，使得FN＝CF+AN，保留作图痕迹，并直接写出点F，M，N的坐标．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）在CD上取格点F，使CF＝BE＝1，则可证明△BCF≌△ABE，从而得到BF＝AE，然后可证明BF⊥AE；
（2）利用网格特点作出B点的对称点M；
（3）连接BM交AD于N，先证明△BFM为等腰直角三角形得到∠FBN＝45°，然后可证明FN＝CF+AN．
【解答】解：（1）如图，点F为所作；
（2）如图，FM为所作；
（3）如图，N点为所作，
在Rt△FDN中，根据勾股定理得，DN2+DF2＝FN2，
∴（3﹣AN）2+22＝（1+AN）2，
∴AN＝1.5，
∴F（4，2），M（3，5），N（2.5，4）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质．
30．（2021•蔡甸区二模）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；
（4）作点C1关于BC的对称点D．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称的性质；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）利用数形结合的思想解决问题即可．
（4）取格点T，作直线TC1，取格点P，连接OP交TC1于点D，点D即为所求作．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2），
∴AB＝5，AC＝，BC＝2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）△A1BC1如图所示．
（3）点G（0，3）．
（4）如图，点D即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
11．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
14．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
15．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
16．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
17．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
18．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
19．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
20．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
21．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
22．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
23．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
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